Методы нахождения ранга матрицы

1. Метод элементарных преобразований

Элементарными преобразованиями являются следующие преобразования матрицы:

  • а) перестановка местами двух любых строк или столбцов матрицы;
  • б) умножение любой строки или столбца матрицы на неравное нулю действительное число;
  • в) прибавление ко всем элементам какой-либо строки или столбца соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных на отличное от нуля действительное число.

Пример 2.3. Используя метод элементарных преобразований, найдем ранг матрицы:

Первую строку домножаем последовательно на (-3); (-5); 8 и складываем со второй, третьей и четвертой строками. Тогда получаем:

Первую и вторую строки оставляем неизменными, третью строку умножаем на 3 и складываем с четвертой. После этого получаем:

Первую строку оставляем неизменной, а вторую строку умножаем на (-1) и складываем с третьей и получаем:

Ранг полученной матрицы равен двум, следовательно, и ранг исходной матрицы тоже равен двум, т. е. г(А) = 2. Заметим, что ранг матрицы не меняется при вычеркивании из нее нулевого столбца или строки.

2. Метод окаймления

Данный способ основан на следующей теореме.

Теорема 2.2. Предположим, что матрица А имеет отличный от нуля минор порядка к и все ее миноры + 1)-го порядка, содержащие (окаймляющие) этот минор, равны нулю. В этом случае ранг матрицы А равен к.

Пример 2.4. Используя метод окаймления, найдем ранг матрицы

Выбираем в матрице В не равный нулю минор второго порядка, например минор

Он входит в состав следующих миноров:

Вычислим эти миноры:

Первую строку мы умножили на (-2) и сложили с третьей. Полученный определитель имеет две одинаковые строки и по пятому свойству определителей равен нулю.

Первую строку умножаем на (-2) и складываем с третьей, полученный определитель имеет две одинаковые строки и равен нулю. Поэтому в соответствии с теоремой 2.2 ранг матрицы В равен двум, т. е. г(В)=2.

3. Метод прямоугольников Пусть задана матрица

Предположим, что элемент СпФ 0. Если это не так, то переставляем строки местами. Элемент Сп, строку и столбец, где он находится, назовем разрешающими. Алгоритм метода прямоугольников состоит в следующем:

  • а) элементы разрешающей строки остаются неизменными;
  • б) элементы разрешающего столбца, которые расположены ниже разрешающего элемента, пишем нулями;
  • в) все остальные элементы находим из вычисления определителей второго порядка (их элементы и образуют прямоугольник), в них разрешающий элемент вместе с пересчитываемым составляют главную диагональ (рис. 2.1).

Полученную в результате матрицу преобразуем по такому же алгоритму, взяв разрешающим элемент с' 22Ф 0. После этого алгоритм повторяется, а в качестве разрешающего элемента берется элемент с"33 и т. д.

Процесс вычислений заканчивается, когда исходная матрица приводится к верхней треугольной или верхней трапеци-

Рис. 2.1

евидной форме. А ее ранг будет равен числу ненулевых строк и одинаков с рангом исходной матрицы.

Пример 2.5. Используя метод прямоугольников, найти ранг следующей матрицы:

Поэтому ранг исходной матрицы С равен трем, т. е. г(С)=3.

На первом шаге разрешающим элементом будет 1, элементы разрешающего столбца обнуляются, а остальные элементы матрицы находятся из вычисления определителей:

На втором шаге разрешающим элементом будет (-1), элементы разрешающего столбца обнуляются, а остальные элементы матрицы определяются с помощью вычисления следующих определителей:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >