ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Дифференциальное исчисление — это раздел математического анализа, связанный в основном с понятиями производной и дифференциала функции.

Производная первого порядка. Дифференциал. Производные высших порядков

Производной функции у = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при произвольном стремлении последнего к нулю.

т. е. производная функции

есть некоторая функция, полученная по определенным правилам из заданной функции.

Значение производной функции у = f(x) в какой-то точке xQ обозначают обычно так:

Механический смысл производной — это предел средней скорости за бесконечно малый промежуток времени, т. е. мгновенная скорость.

Геометрический смысл производной вытекает из следующей теоремы.

Теорема 4.1. Если значение производной от функции У = Дат) при х = х0 равно ), то прямая, проведенная через точку MQ(x0, у0) с угловым коэффициентом, равным у является касательной к графику функции в точке MQ.

Геометрический смысл производной иллюстрируется на рис. 4.1.

Рис. 4.1

Проведем через точки М0 и Мг секущую, угол а между секущей и положительным направлением оси Ох равен:

Будем перемещать точку М1 по кривой в сторону точки М0 т. е. устремим Ах к нулю. Предельным значением секущей будет касательная, проходящая через точку М . Тогда получим:

Установим связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Она видна из следующей теоремы,

Теорема 4.2. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке она непрерывна. Обратное утверждение неверно. В качестве примера возьмем функцию у = |х|. Ее график показан на рис. 4.2.

Рис. 4.2

Из него видно, что в точке х = 0 данная функция не имеет определенной касательной, а значит, не имеет в этой точке и производной.

Из определения производной следует способ ее вычисления.

Найдем производную функции у = хп, где n G Z, исходя из определения производной

Итак, (хп)' = nxn_1, например (х8)' = 8х7.

Можно доказать, что полученная формула верна для всех nGjR [42, 44].

Из приведенного примера видно, что использовать определение производной для ее вычисления дело достаточно трудоемкое. Поэтому гораздо проще, используя определение производной, вывести производные основных элементарных функций и сформулировать правила дифференцирования алгебраической суммы, произведения, частного функций, сложной функции, обратной функции. По полученным формулам и правилам можно будет находить производные любых элементарных функций.

Производные основных элементарных функций

Дополним таблицу производных производными от гиперболических и обратных гиперболических функций, которые не являются основными элементарными функциями, но часто используются в различных приложениях.

К гиперболическим функциям относятся гиперболические синус (shx), косинус (chx) и тангенс (thx), которые находятся по формулам:

Все эти функции определены на множестве действительных чисел (R) и связаны между собой следующими соотношениями:

Функции, обратные shx, chx, thx, являются обратными гиперболическими функциями и обозначаются Archx (ареа-ко- синус гиперболический), Arshx (ареа-синус гиперболический), Arthx (ареа-тангенс гиперболический):

Производные гиперболических и обратных гиперболических функций находятся по формулам:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >