ОБОБЩЕННЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

Построение точек пересечения кривой линии а с поверхностью а

Рис. 4.1

Этапы решения (рис. 4.1):

• 1) кривую а заключают во вспомогательную цилиндрическую поверхность или плоскость, если а - плоская кривая;
• 2) строят вспомогательную линию пересечения b = а П Р;
• 3) на пересечении линий а и b получают искомые точки.

Как видно, приведенный алгоритм в обобщенном варианте повторяет этапы построения точки пересечения прямой с плоскостью.

В большинстве случаев на чертеже в качестве вспомогательных секущих цилиндрических поверхностей или плоскостей используют проецирующие цилиндры или плоскости. Рассмотрим два примера.

А. Построить точку К пересечения кривой а с цилиндрической поверхностью а общего вида (рис. 4.2):

I. АИД - a - цилиндрическая поверхность общего вида,

а - кривая общего вида.

II. АРЗ -

• 4. а а Р, P-LV, р - фронтально-проецирующий цилиндр;
• 5. р П а = Ь, при построении линии b использованы линии каркаса цилиндрической поверхности;
• 6. ЬСа = К = а Па.
• 7. Из анализа взаимного положения конкурирующих точек 1 и 2, 3 и 4, определяется видимость участков кривой а (а а") по отношению к поверхности а на плоскостях проекций Н и V.

III. MX точки К (К’, К"). Координаты точки К - Хк, Yk, Z_k находят при совместном решении уравнений плоскости а и кривой а, заданных (если это возможно) в параметрической форме (см. § 16):

В системе шесть параметрических выражений и шесть неизвестных - х, у, z, t, t_b t₂.

Б. Построить точки пересечения прямой а со сферой а (рис. 4.3):

Рис. 4.3

I. АИД-af,ZH, V, а-сфера (О,,г).

II. АРЗ-

• 1. а а р, Р _1_Н;
• 2. а П Р = b - окружность радиуса г Так как Ь" - эллипс, то для простоты графического решения выполняют замену плоскостей проекций

V z-const Н „ , „

х— -jj—Г- ^xi— и строят «1 и Ь ;

Н ^xi II« V!

• 3. яП6 = К, L = a Па.;
• 4. Определяется видимость участков а' и а”.

III. MX. Координаты точек К (Х_к, Y_K, Z_K) и L (X_L, Y_L, Z_L) находят при совместном решении уравнений сферы а и прямой а -

N.

Уравнение сферы, если исключить переменные параметры t° и ti°, имеет вид: (х - Xoi)² + (у - Y₀i)² + (z - Z₀,)² = г².

Подставив в это уравнение значения х, у, z прямой а и решив его относительно г, найдем:

Координаты точек К и L получим после подстановки значений t2 в уравнение прямой а.