Построение линии пересечения поверхностей

Задача на построение линии пересечения двух поверхностей решается на чертеже путем введения вспомогательных поверхностей или плоскостей, которые называют посредниками.

Алгоритм решения (рис. 4.4):

Рис. 4.4

  • 1) вводится у - посредник;
  • 2) у П а = а,у П Р = Ь;
  • 3) аГ)Ь= 1,2, 3,4, ... ,N.

Многократно повторяя алгоритм

введения посредника у,-, получают множество точек, общих для обеих поверхностей. Это множество определит линию пересечения т = а П |3.

Алгоритм решения такой обобщенной позиционной задачи можно представить в виде блок-схемы (рис. 4.5), которую используют при аналитических вычислениях:

Исходя из анализа исходно заданных поверхностей аир, выбирают и назначают вид посредника. В качестве посредника на практике чаще используют плоскость и сферу. Поэтому чаще применяют способы:

  • - плоскостей уровня;
  • - вращающейся плоскости;
  • - концентрических сфер;
  • - эксцентрических сфер.

Построение линии пересечения начинают с определения экстремальных точек и точек видимости.

Экстремальные точки принадлежат граничным посредникам в пределах области их использования (действия). Они определяют пределы изменения параметра посредника (блок 3). Графически экстремальные точки могут быть построены точно, если поверхности аир имеют общую плоскость симметрии. В противном случае их строят приближенно.

Точки видимости отделяют видимую часть линии пересечения от невидимой на плоскости проекций. В этих точках проекция линии пересечения касается очерковых линий пересекающихся поверхностей.

Способ плоскостей уровня применяют для построения линии пересечения поверхностей, несущих на себе графически простые однотипные линии уровня (прямые или окружности). Поэтому вначале рассмотрим случаи пересечения плоскости и важнейших поверхностей вращения: конуса, цилиндра и сферы.

В общем случае вид сечения конуса плоскостью оценивают углом накло

Рис. 4.6

на секущей плоскости к оси конуса (рис. 4.6):

  • 1) (pf = ф° - парабола, плоскость у параллельна одной образующей конуса;
  • 2) ф2° > ср° - эллипс или окружность, плоскости 5 и к пересекают все образующие конуса;
  • 3) фз° < ф°- гипербола, плоскость ц параллельна двум образующим конуса.

Для построения проекций конических сечений используют линии каркаса конуса - параллели (окружности) и меридианы (прямые).

Рис. 4.7

Цилиндр вращения рассекается плоскостью по эллипсу (у 'L г), окружности (5.L /)> по двум параллельным прямым (ц || /) - рис. 4.7.

Сфера рассекается плоскостью только по окружности.

Задача. Построить линию т пересечения конической поверхности вращения а со сферой (3 (рис. 4.8).

Рис. 4.8

I. АИД - Поверхности вращения несут на себе в качестве горизонталей окружности - так как i || j. Посредник - горизонтальные плоскости уровня у.

II. АРЗ -

  • 1. Определение экстремальных точек А и В - высшей и низшей точек, а значит, и области действия секущих плоскостей посредников у*?:
    • - вводится дополнительная плоскость 8 || V, но в общем случае 8 = / и j, то есть, это 8 - плоскость симметрии поверхностей;
    • - 8 П а = главный меридиан, а - треугольник;
    • - 8 П Р = главный меридиан, b - окружность;
    • - аГЬ = А, В.
  • 2. Построение массива точек линии пересечения т:
    • - задается шаг изменения параметра положения посредника плоскости у (Zb < Zyi < ZA);
    • - строятся точки (определяются координаты точек) линии пересечения У/П а = к{, у;Г) р =/,•; ktП/) = 1, 2,..., N;
    • -линия т — 1 и 2 и ... и N.
  • 3. Определение точек видимости кривой т на проекциях.
  • 4. Кроме того, для пересекающихся поверхностей дополнительно точно или приблизительно могут быть найдены такие характерные точки кривой т, как ближняя и дальняя, левая и правая, верхняя и нижняя. В рассматриваемом случае точка А - верхняя, точка В - левая и нижняя.

III. MX точек линии пересечения т.

Параметрическое выражение конуса а [а, /; R*a] в системе Oxyz:

где tj - переменный параметр, определяющий расстояние от точки L на образующей a; t° - переменный угол поворота а вокруг оси г; г ь ф° — постоянные параметры.

Параметрические выражения сферы |3 [b, j; RJb] с центром Oi (Х0ь 0, Z0i) и радиусом г2:

где t2° - переменный угол, образуемый подвижным радиусом г 2 с осью х, t3° - переменный угол поворота окружности b вокруг оси j.

Объединив (35) и (36), получим систему уравнений, которая определяет линию т. Легко видеть, что здесь неизвестных семь - t°, tj, t2°, t3°, x, у, z, - a уравнений шесть. Это обстоятельство предполагает множество решений системы, соответствующее множеству координат х, у, z точек линии т.

Аппликаты точек А и В найдем на пересечении а и Ь:

Окружность b представим в виде:

(x-X01)2 + (z-Zo,)2 = r22

Если из выражений прямой а выразить t = z/sin ср°, х = r - z ctg ср°, а затем подставить значение х в выражение для b и решить его относительно z, то получим:

Таким образом, область действия секущих плоскостей у,- расположена между ZA и ZB (блок 3 блок-схемы, рис. 4.5).

Задав шаг изменения параметра Z плоскостей у,-, приступаем к расчету координат точек линии пересечения (блок 5 блок-схемы).

Плоскость у, определяется заданием z - Z2, ZB < Z2 < ZA.

Пересечение у,- П а = - окружность:

или

Пересечение у,- П р = /,- - окружность:

или

Объединив (39) и (40) в систему, решим ее относительно х и у: где D, Е, Т - коэффициенты, определяемые выражениями:

Выполнив вычисления координат X/, Y/ по заданным значениям Z, секущей плоскости у строят кривую линию т пересечения конуса и сферы.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >