Зонная схема кристалла. Гофрировка зон. Анизотропия эффективной массы

При решении уравнения (1.8) предполагалось, что эффективная масса т* и диэлектрическая проницаемость е — константы, что верно, если кристалл изотропен и зоны обладают сферической симметрией. Однако в общем случае эти величины являются тензорами, компоненты которых для разных кристаллографических направлений отличаются друг от друга. Анизотропия эффективной массы и диэлектрической проницаемости могут возникать в силу анизотропии кристаллической решетки или в силу особенностей зонной структуры. Анизотропию кристалла, зависящую от относительного изменения величии т7; и для разных направлений, можно характеризовать параметром анизотропии:

где mjj и т*± — продольная и поперечная эффективные массы, а ?у и — значения диэлектрической проницаемости среды вдоль выделенного направления и перпендикулярно ему. В зависимости от величины параметра анизотропии существуют разные подходы к рассчету энергетического спектра примеси.

1. Случай малой анизотропии. Если кристаллическая решетка анизотропна, значения эффективной массы и диэлектрической проницаемости различны для разных направлений, и это уже не константы, а тензоры. Если анизотропия решетки невелика, компоненты тензора отличаются друг от друга незначительно. Это справедливо, например, для кристалла сульфида кадмия (CdS), который имеет гексагональную решетку вюрцита (Се/г)- В направлении кристаллографической оси С компоненты тензоров т* и ? будут иметь одно значение, а в двух направлениях, перпендикулярных кристаллографической оси С,—другое.

Если анизотропия мала, для вычисления смещения энергетических уровней используется теория возмущений. При этом вводится преобразование координат: (x,y,z) —*? z' Jm/rri^). После

преобразования координат гамильтониан системы можно представить в виде:

где

— малое возмущение, если параметр а мал. Эффективный Ридберг (энергия связи для примеси) в этом случае дается выражением:

Теория возмущений позволяет получить выражения для отклонений энергий орбиталей от водородоподобной модели в виде рядов по степеням а. Расщепление уровней примеси, связанное с анизотропией кристалла, определяется различием энергетических сдвигов для состояний с разными орбитальными моментами. Сдвиг для s-орбиталей:

Сдвиг для р-орбиталей:

Таким образом, s-орбитали с различными главными квантовыми числами смещаются параллельно самим себе, р-орбитали с разными модулями проекций момента на направление оси С имеют разные сдвиги. Отметим, что в анизотропных кристаллах s- и (/-состояния смешиваются.

Рассмотрим положение энергетических уровней примесного центра в кристалле CdS с учетом слабой анизотропии его решетки. Поскольку параметр анизотропии для CdS мал: а = 0.054, для основного состояния Is расчет дает значение сдвига орбитали 1 + 0.018 + 0.0001 = 1.0181. Величина спии-орбиталыюго расщепления для первого возбужденного уровня (2s-2po) составляет 0.017 эВ, при этом экспериментальное значение равно 0.014 эВ. Удовлетворительное согласие связано с малой анизотропией кристалла сульфида кадмия.

Изоэнергетические поверхности кремния около абсолютных минимумов зоны проводимости

Рис. 1.6. Изоэнергетические поверхности кремния около абсолютных минимумов зоны проводимости

2. Случай сильной анизотропии. Как уже говорилось выше, анизотропия эффективной массы возможна не только в анизотропных, но и в кубических кристаллах, например, в кубических полупроводниках с непрямыми переходами—в кремнии и германии. Рассмотрим зонную схему кремния. В /с-пространстве минимумы зоны проводимости лежат в направлениях типа [100]

/с-пространства и соответствуют ко = 0.8А;шах. Изоэнергетиче-

ская поверхность в области непрямых минимумов является эллипсоидом вращения (рис. 1.6).

Для кремния имеем и соответственно

где 7 = -— определяется анизотропией массы. Поскольку 7 «

  • ?||Шц
  • 0.2, параметр анизотропии а « 0.8 сильно отличается от нуля, и в этом случае нельзя пользоваться теорией возмущений.

В приближении эффективной массы гамильтониан для электрона (дырки) в кулоновском поле в случае анизотропного кристалла запишется в виде:

где г* = (гцг^)1/3. Если ввести новые единицы энергии и длины nj. теА ± h2e*

brt = —7—- и at = -7, гамильтониан можно представить в

2nz?*z rn*±ez'

виде:

В этом случае уравнения для энергий решаются вариационным методом. Найдены решения для s-, ро~, -состояний. С состояниями ф).±1.±2 дело обстоит сложнее, так как они смешиваются с 5-состояпием. Для сравнения с экспериментом удобно ориентироваться на р-уровни, так как в этом случае использование кулоновского потенциала при описании свойств примеси наиболее оправдано. Наименьшие отклонения от водородоподобиой модели получаются при условии, что электрон проводит мало времени вблизи центра. В случае р-состояиия на центре расположен узел волновой функции электрона, поэтому отсутствие строгого учета отклонения потенциала от кулоновского вблизи ядра примеси не приведет к большой ошибке. Уравнение (1.20 а) позволяет изучить зависимости энергий уровней от 7. Установлено, что теория возмущений дает приемлемый результат при 7 < 0.1 (значения гаи и т± пахо-

дят экспериментально, измеряя циклотронную частоту и>с = jfjf:)- На рис. 1.7 в качестве примера приведен спектр поглощения атома лития в кремнии (Li находится в междоузлиях кристалла кремния и является мелким донором), в этом случае разрешены переходы с правилом отбора Al = 1 (переходы типа s —> р).

Спектр поглощения кремния, легированного Li с концентрацией N — 10 см (переходы с уровня Is). На рисунке указаны конечные состояния

Рис. 1.7. Спектр поглощения кремния, легированного Li с концентрацией N — 1015 см-3 (переходы с уровня Is). На рисунке указаны конечные состояния

Теория не дает точного положения ls-уровня, поскольку не учитывается отличие реального потенциала примесного центра от кулоновского (что существенно для ls-состоя- ний). В табл. 2 приведено сравнение экспериментальных данных с расчетом для разностей между p-уровнями. Данные приведены для лития (донор в междоузлиях) и для фосфора (замещающий донор). Видно, что экспериментальные данные хорошо согласуются с расчетом по базе водородоподобной модели. Для s- состояний согласия теории и эксперимента добиться труднее.

Таблица 2. Смещение энергетических уровней относительно 2р±х-уровня

Расчет, мэВ

Li, мэВ

Р, мэВ

2ро - 2р±1

5.11

5.13

5.06

Зро - 2р±х

0.92

0.88

0.93

4ро - 2p±i

3.07

3.09

3.11

3p±i - 2p±i

3.28

3.28

3.27

5ро - 2р±1

4.17

4.19

4.21

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >