ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ БРУСА

Статические моменты сечения. Координаты центра тяжести сечения

Сопротивление бруса различным видам нагружений зависит не только от материала бруса и размеров поперечника, но и от формы сечения и расположения его по отношению к некоторым осям, то есть от геометрических характеристик.

Рассмотрим произвольное поперечное сечение бруса (фигуру). Системой вертикальных (параллельных оси у) и горизонтальных (параллельных оси х) плоскостей разобьём фигуру на элементы (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Назовём статическими моментами фигуры относительно осей х (S_x) и у (S_y) соответственно следующие интегралы:

где у их — расстояния от элементарной площадки dA до осей х и у соответственно; А — площадь плоской фигуры; D — область интегрирования; S_x и S_y измеряются в м³, см³, мм'. Статические моменты сечения могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.

Если отождествить площадь с силой, действующей перпендикулярно плоскости чертежа, то интегралы (2.1) можно рассматривать как суммы моментов сил относительно осей Ох и Оу. По известной из теоретической механики теореме Вариньона о моменте равнодействующей можно написать:

где у_с и х_с — расстояния от центра тяжести фигуры до осей Ох и Оу (см. рис. 2.1).

Из формул (2.2) следуют формулы для определения координат центра тяжести сечения:

Из формул (2.2) вытекает, что если центр тяжести С совпадет с началом координат О, то S_x = S_y = 0, а оси х_с и у_с назовём центральными осями.

Если фигура сложная, то её можно представить состоящей из простых. Используя теорему Вариньона для каждой простой фигуры, а потом — для всей заданной получим:

Из формул (2.4) получим формулы для определения координат центра тяжести сложной (составной) фигуры:

где x_cj и y_cj — координаты центров тяжести простых фигур в выбранных осях; А,- — площади этих фигур; площадь всей фигуры

П

A = YjAj, i — номер простой фигуры, п — общее их число.

1 = 1

Определим статический момент треугольника относительно оси, совмещённой с его основанием (рис. 2.2).

Двумя горизонтальными сечениями у, у + dy выделим элементарную площадку dA в виде элементарной трапеции с нижним основанием b(y). По малости высоты трапеции заменяем её элементарным прямоугольником. Из подобия треугольников BDE и BDE найдём

Тогда получим

Рис. 2.2

Найденный результат подставим в первую из формул (2.1):

Убедимся в правильности результата, использовав первую из формул (2.2):