РАСЧЁТ ОБОЛОЧЕК ПО БЕЗМОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ. ПОНЯТИЯ О РАСЧЁТАХ ПО НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ И ЭЛЕМЕНТЫ РАЦИОНАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

РАСЧЁТ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК

Общие понятия об оболочках. Классификация оболочек. Гипотезы в теории оболочек

Оболочка — конструктивный элемент, ограниченный двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми h намного меньше двух других размеров b и I (рис. 21.1, а). Поверхность, равноотстоящую от наружной и внутренней поверхностей оболочки, назовём срединной поверхностью. Будем рассматривать оболочки постоянной толщины h. Тогда геометрия оболочки будет полностью определена, если заданы форма срединной поверхности, толщина оболочки и граничный контур (рис. 21.1, а).

Нормальным сечением в некоторой точке М назовём сечение плоскостью, содержащей нормаль к поверхности в этой точке (рис. 21.1, б). Это сечение является некоторой кривой линией на поверхности оболочки. В дифференциальной геометрии поверхностей доказано, что в любой точке М поверхности можно указать два ортогональных (взаимно перпендикулярных) направления, для которых нормаль к поверхности, проведённая в соседней точке, пересекает нормаль в точке М. Эти направления обозначены 1-1 и 2-2, это главные линии кривизны. Если провести вдоль этих направлений линии на поверхности, то можно получить два семейства ортогональных линий, называемых линиями кривизны. Через заданную точку М проходит по одной линии каждого семейства. На рис. 21.1, б обозначены: R и Ri — главные радиусы кривизны, 0 и Oi — центры кривизны.

Величины к — HR, кг = l/i?2 назовём главными кривизнами, одна из них имеет максимальное, а другая — минимальное значение. Произведение главных кривизн К = kfa назовём гауссовой кривизной.

Классифицируем оболочки по гауссовой кривизне.

Оболочки нулевой гауссовой кривизны (К = 0) бывают оболочками вращения (конические, рис. 21.2, а) и оболочками переноса — трансляционными (цилиндрические, рис. 21.2, б).

Рис. 21.1

Оболочки двоякой кривизны бывают оболочками положительной гауссовой кривизны (К > 0) и отрицательной гауссовой кривизны (К < 0). Различают оболочки положительной гауссовой кривизны: вращения (рис. 21.2, в) и трансляционные (рис. 21.2, г), аналогично для оболочек отрицательной гауссовой кривизны (рис. 21.2, д, е).

Рис. 21.2

Заметим, что у оболочек положительной гауссовой кривизны (рис. 21.2, в, г) главные кривизны к и kj одного знака (у них центры кривизн расположены по одну сторону от поверхности), а у оболочек отрицательной гауссовой кривизны (рис. 21.2, д, ё) главные кривизны к и ^2 разных знаков (у них центры кривизн расположены по разные стороны от поверхности). Особо следует выделить складчатые поверхности (рис. 21.3). Далее будем рассматривать тонкие оболочки, у которых отношение толщины оболочки h к минимальному

„ 11

главному радиусу кривизны /<_mj_n составляет у^...—.

Рис. 21.3

В теории оболочек вводят следующие гипотезы.

• 1. Гипотеза об отсутствии давления между слоями оболочки. Нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с прочими напряжениями.
• 2. Гипотеза прямых нормалей. Прямолинейный элемент, перпендикулярный к срединной поверхности оболочки, остаётся прямым и перпендикулярным к деформированной срединной поверхности и не изменяет свою длину.

Заметим, что аналогичные гипотезы вводятся и в теории пластинок.