УЧЕТ ОГРАНИЧЕНИЙ ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ ОСНАЩЕНИЮ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ ЛИНИЙ

Выбор числа и назначений поездов при заданной загрузке станции

Пример ЗЛ. Определить число и назначения поездов, обеспечивающих освоение заданных пассажиропотоков, при минимальных затратах и условии, что загрузка станции должна находиться в пределах 0,7—0,85. Максимальное число составов, перерабатываемых станциями Mj, С, М₂, Б, соответственно равно 28, 2, 24, 18. Густота пассажиропотока в сутки в прямом направлении между станциями MjC — 13 731; СМ₂ — 10 873; М₂Б — 5 826, в обратном соответственно 13 854; 11 033; 5 678. Исходные данные о вместимости составов и оценках поездов соответствующих назначений приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Примечание. Числитель — расчетная вместимость, чел; знаменатель — оценка поезда, руб.

Решение. Будем рассматривать сеть массового обслуживания, состоящую из четырех систем массового обслуживания (СМО) — железнодорожных станций: Ml, С, М2, Б. Роль заявок выполняют железнодорожные составы, поступающие на станцию.

Предположим, что сеть массового обслуживания замкнутая, т.е. общее число составов, курсирующих между станциями, не изменяется в процессе работы системы. Если каждая входящая в сеть СМО работает в стационарном режиме, то число поступающих на вход этой СМО заявок (составов) в единицу времени (сутки) равно числу обслуженных заявок в единицу времени. Каждая рассматриваемая СМО — одноканальная, и ее загрузка определяется формулой

где А, — интенсивность поступающего на вход СМО потока заявок;

р — интенсивность обслуживания составов.

При р < 1 СМО работает в стационарном режиме.

Задача состоит в том, чтобы определить, сколько составов в сутки нужно отправлять с каждой станции, на какие станции их нужно отправлять, а также определить интенсивность обслуживания составов на каждой станции, чтобы режим работы сети был стационарным. Для решения поставленной задачи введем следующие обозначения (табл. 3.2).

Таблица 3.2

Каждый х и каждый у в этой таблице означают число поездов, отправляемых в сутки с одной станции на другую. Например, из Mj в течение суток отправляются х^+ х₂ + х₃ составов, а в Mj прибывают + у₂ + Уз составов. Это условие будем в дальнейшем называть условием стационарности сети. Для того чтобы обеспечивалась перевозка всех пассажиров, необходимо выполнение неравенств:

(перевозка пассажиров в прямом направлении) и

(перевозка пассажиров в обратном направлении).

Суммарная стоимость обращения всех поездов должна быть минимальной, что связано с минимизацией функции

где

Условие стационарности сети выражается четырьмя уравнениями:

Поставленная задача сводится к минимизации функции F на системе ограничений (3.1)—(3.3), т.е. к задаче линейного программирования.

Если не рассматривать уравнения (3.3), связывающие системы (3.1) и (3.2), то решение задачи [min Fна (1, 2)] дает решение задач [min F, на (1)], [min F₂ на (2)] и наоборот: решение задач [min F_] на (1)] и [min F₂ на (2)] будет решением задачи [min /’на (1, 2)].

В том случае, когда Г. = Г.(1 = 1, 2, 3), задачи [min на (1)] и [min F₂ на (2)] эквивалентны, т.е. множества их решений совпадают (х₍ = y_t для i = 1, 6).

Следовательно, если соответствующие густоты в прямом и обратном направлениях совпадают, то решение задачи [min F на (1, 2, 3)] сводится к решению задачи [min /) на (1)].

В рассматриваемом примере Г, = Г. Решение задачи [min F_l на (1)] дало следующий результат: х_х = 3,62318; х₂ = 7; х₃ = 7,999. Поэтому решение задачи [min Fна (1, 2, 3)] с точностью до целых дает результат, приведенный в табл. 3.3.

При равенстве соответствующих густот пассажиропотоков в прямом и обратном направлениях оптимальное решение может быть достигнуто при парных поездах.

Загрузка станций должна находиться в заданных пределах. Интенсивность поступающих на вход СМО потоков заявок: по станциям Mj — 19; С — 4; М₂ — 7; Б — 8.

Неравенство 0,7 < — <0,85 дает следующий результат: 27,14 > ц, > И/

>22,35; 5,7>ц₂>4,7; 10 > ц₃ > 8,23; 11,42 > ц₄ > 9,41.

Таким образом, для стационарного режима работы сети массового обслуживания необходимо, чтобы интенсивности обслуживания составов на станциях удовлетворяли этим неравенствам.

Сравнивая полученные результаты с данными табл. 3.1, видим, что интенсивность обслуживания составов на станции С мала для обеспечения стационарного режима работы сети массового обслуживания, а интенсивность обслуживания на станциях М₂ и Б намного превышает потребности. Поэтому необходимо перераспределение средств обслуживания: на станции Mj можно обслуживать от 23 до 27 составов, на станции С — 5 составов, на станции М₂ — 9 или 10 составов и на станции Б — 10 или 11 составов.

Предположим теперь, что густоты пассажиропотоков в обратном направлении отличаются от густот пассажиропотоков в прямом направлении. Положим, что Г{ = 10 880; Г₂ = 12 240; Г₃ = 4080. В этом случае решение задачи [min Т^на (1, 2, 3)] не сводится к решению задач [min на (1)] и [min F₂ на (2)] и дает результат, приведенный в табл. 3.4.

Это решение позволяет сделать следующий вывод: при несовпадении соответствующих густот пассажиропотоков в прямом и обратном направлениях оптимальное решение поставленной задачи не влечет введения парных поездов.

Интенсивность поступающих на вход СМО потоков заявок по станциям: Mj — 15; С — 16; М₂ — 16; Б — 6. Нет прямых поездов из М] в М₂ и Б. Это объясняется самой постановкой задачи. Нужно учесть, что требование наличия прямых поездов между теми или иными станциями определяется, например, введением вместо неизвестных Xj (или yj) неизвестных Xj + k_t (или y_t + к_{), где k_t — минимальные числа прямых поездов.

Решенные до сих пор задачи нужно рассматривать как задачи, связанные с перспективой развития станций, так как при их решении не использовались данные таблицы по интенсивности обслуживания составов в сутки.

1

Если же учесть эти данные и условия —<0,85, то мы получим

И/

следующие неравенства:

Решение задачи [min F на (1, 2, 3, 4)] при условии Г- * Г- дает следующий результат, приведенный в табл. 3.5 и 3.6.

Таблица 3.6

Сравнение таблиц дает следующие результаты: при ограниченной интенсивности обслуживания составов на станциях их число в сутки уменьшилось с 53 до 46; суммарная стоимость обращения поездов при ограничении интенсивности обслуживания увеличилась.

Результаты расчета позволяют сделать следующие выводы:

• 1. Учет перерабатывающей способности пассажирских станций существенно меняет число и назначение поездов, закладываемых в график движения.
• 2. Для обеспечения оптимальной системы освоения пассажиропотока на направлении необходимо уделять больше внимания развитию пассажирских станций, так как недостаточная перерабатывающая способность станций приводит к дополнительному, не связанному со структурой пассажиропотока пробегу свободных мест и потерям пропускной способности линий.