ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

б КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Определение устойчивости и условия устойчивости линейных систем автоматического управления

В основе работы всякой системы автоматического управления лежит принцип обратной связи, т. е. необходимость получения сигнала ошибки. Вследствие этого они являются системами, склонными к колебаниям. Для того чтобы любая система была работоспособной, она прежде всего должна быть устойчивой. Впервые математически строгое и в то же время удобное с инженерной точки зрения определение устойчивости системы было дано выдающимся русским математиком А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения».

Рассмотрим линейную систему автоматического управления, имеющую по одному входу и выходу. Связь между входной и выходной величинами системы определяется ее уравнением движения, которое в общем случае имеет вид:

где сij и bj — коэффициенты уравнения, определяемые параметрами системы; х_ВЬ|Х и jc_bx — выходная и входная величина системы.

Высший порядок производных правой части уравнения (6.1) не больше высшего порядка производных левой части, т. е. т < п.

Для определения реакции системы на входное воздействие необходимо найти решение уравнения (6.1), которое является неоднородным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Как известно, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения слагается из общего решения jc_cb однородного уравнения и частного решения х:_в неоднородного уравнения, т. е. реакция линейной системы на входное воздействие (управляющее или возмущающее) всегда состоит из двух составляющих:

где х_св(/) — переходная составляющая или составляющая свободного (собственного) движения системы; х_в(/) — составляющая вынужденного движения.

Если поведение системы рассматривается при действии на нее управляющего воздействия, то для того, чтобы она могла его воспроизводить, переходная составляющая должна стремиться к нулю или затухать, т. е.

При действии на нормально функционирующую систему возмущающего воздействия ее реакция уменьшается до нуля или до допустимо малой величины, что возможно прежде всего тогда, когда переходная составляющая реакции системы затухает.

Следовательно, для того чтобы система автоматического управления выполняла свое назначение, необходимо, чтобы переходная составляющая движения системы, возникающая в силу различных причин, с течением времени уменьшалась до нуля.

Линейная система называется устойчивой, если переходная составляющая (свободное или собственное движение) затухает со временем, т. е.

Если переходная составляющая движения системы расходится, т. е. lim jc_cb (/) =оо, то такая система называется неустойчивой.

Для определения устойчивости линейной системы необходимо определить переходную составляющую х_св (г), для чего следует решить однородное дифференциальное уравнение:

Решение уравнения (6.4) можно представить в виде

где с,, с₂, ..., с„ — постоянные интегрирования; А.,, Х₂, ..., А.„ — корни характеристического уравнения, имеющего вид:

Они являются полюсами передаточной функции системы.

Корни характеристического уравнения определятся только видом левой части уравнения (6.1). Постоянные интегрирования определяются также и видом правой части этого уравнения. Вследствие этого такие качественные показатели, как форма переходного процесса, его быстрота затухания, определяются как левой, так и правой частями уравнения (6.1).

При исследовании устойчивости системы нас интересует только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса, независимо от его качественных показателей. Поэтому устойчивость линейной системы совершенно не зависит от вида правой части исходного дифференциального уравнения (6.1) и определяется только характеристическим уравнением (6.6).

Следовательно, для исследования устойчивости системы необходимо исследовать ее характеристическое уравнение. Рассмотрим, каким условиям должны удовлетворять корни характеристического уравнения, чтобы система была устойчива. Для этого рассмотрим различные случаи.

1. Все корни характеристического уравнения (6.6) вещественные и различные (неравные).

Если все корни отрицательные, то каждая из экспоненциальных составляющих c,e^x,i решения (6.5) уравнения (6.4) будет затухающей (рис. 6.1, а), а, следовательно, вся переходная составляющая с течением времени будет апериодически стремиться к нулю. Система будет устойчивая.

Рис. 6.1. Виды решений однородного дифференциального уравнения в зависимости от значений его корней:

а — монотонно затухающие решения (система устойчивая); б — неограниченно монотонно нарастающие решения (система неустойчивая); в — затухающие гармонические колебания (система устойчивая); г — неограниченно возростающие по амплитуде гармонические колебания (система неустойчивая); д —незатухающие гармонические колебания (система на границе устойчивости); е — расположение корней хорактеристического уравнеия (6.6) (полюсов передаточной функции) на комплексной плоскости в случае устойчивых решений

Если среди корней характеристического уравнения будет хотя бы один положительный корень Х_к > 0, то составляющая c_ke^XJ в решении уравнения (6.4) будет с течением времени неограниченно возрастать (рис. 6.1, б) и весь процесс будет расходящимся, неустойчивым. Система будет неустойчивая.

2. Характеристическое уравнение имеет пару комплексных сопряженных корней Х_к = а_к + jfi_k; X_k+l =а_к -jр*. Остальные корни вещественные и отрицательные. В этом случае решение (6.5) уравнения (6.4) будет содержать гармоническую составляющую с частотой р* и амплитудой, изменяющейся по экспоненциальному закону. Если вещественная часть комплексных корней отрицательная, то гармоническая составляющая будет затухающей (рис. 6.1, в) и переходная составляющая в целом будет затухать. Система будет устойчивая.

Если вещественная часть комплексных корней будет положительная, то амплитуда гармонической составляющей будет с течением времени неограниченно возрастать (рис.6.1, г) и переходная составляющая в целом будет расходиться. Система будет неустойчивая.

Сделанные выводы будут справедливы и в случае, если характеристическое уравнение будет иметь несколько пар комплексных сопряженных корней.

3. Характеристическое уравнение имеет пару мнимых сопряженных корней к_к = А._а+) =-у'Р_А. Остальные корни вещест

венные и отрицательные или комплексные с отрицательной вещественной частью. В этом случае в решении (6.5) уравнения (6.4) появляется гармоническая составляющая y4sin(p*/ + у) в виде незатухающих гармонических колебаний с частотой $_к (рис. 6.1, д). Переходная составляющая по истечении некоторого промежутка времени будет носить характер незатухающих гармонических колебаний. В этом случае система будет находиться на границе устойчивости.

Сделанный вывод будет справедлив и для случая нескольких пар мнимых корней, при этом переходная составляющая будет носить характер несинусоидальных незатухающих колебаний.

4. Характеристическое уравнение имеет нулевой корень Х_к =0. Остальные корни вещественные и отрицательные или комплексные с отрицательной вещественной частью. В этом случае в решении (6.5) уравнения (6.4) имеется составляющая, соответствующая ^ =0 и равная величине с_к, определяемой начальными условиями. Следовательно, выходная величина системы в данном случае будет иметь произвольное значение. Такие системы в этом случае называют нейтрально-устойчивыми. Замкнутые системы автоматического управления, работающие по принципу измерения отклонения, в случае нулевого корня не будут работоспособными и не будут отвечать своему назначению.

Таким образом, знаки вещественных корней и знаки вещественных частей комплексных корней характеристического уравнения независимо от начальных условий и вида воздействия, приложенного к линейной системе, целиком и полностью определяют затухание или незатухание переходной составляющей движения системы, т. е. ее устойчивость или неустойчивость.

Линейная система устойчивая, если все вещественные корни ее характеристического уравнения отрицательные, а все комплексные корни имеют отрицательную вещественную часть.

Если хотя бы один из вещественных корней характеристического уравнения положительный или хотя бы пара комплексных сопряженных корней имеет положительную вещественную часть, то система будет неустойчива. Эти выводы будут справедливы и в случае кратных корней.

Сформулированным выводам можно дать геометрическую интерпретацию. Если рассмотреть расположение корней на комплексной плоскости, то для устойчивой системы все корни ее характеристического уравнения должны лежать в плоскости корней слева от мнимой оси (рис. 6.1, е). Если хотя бы один корень характеристического уравнения системы будет расположен справа от мнимой оси, то система будет неустойчивая. Мнимая ось плоскости корней соответствует границе устойчивости, так как переход через мнимую ось из левой полуплоскости корней в правую полуплоскость хотя бы одного вещественного корня или пары комплексных сопряженных корней приведет к превращению устойчивой системы в неустойчивую. Мнимая ось, являясь границей перехода корней, представляет границу устойчивости системы.

Рассматривая условия, которым должны удовлетворять коэффициенты характеристического уравнения устойчивой системы, можно показать, что необходимым, но недостаточным условием устойчивости системы является условие положительности всех коэффициентов ее характеристического уравнения. Это необходимое условие устойчивости является также достаточным условием устойчивости для линейных систем не выше второго порядка.

Таким образом, исследование устойчивости систем сводится к определению знаков вещественных частей корней характеристического уравнения. Очевидно, что об устойчивости системы можно было бы судить, вычислив значения корней характеристического уравнения. Такое исследование устойчивости связано со значительными трудностями. Как известно, весьма просто находятся корни только уравнений первой и второй степеней. Уравнения третьей и четвертой степеней также решаются по известным формулам, но весьма сложным. Что касается полных уравнений степеней выше четвертой, то их корни могут быть определены только с помощью приближенных методов путем громоздких вычислений. Кроме того, при таком способе исследования весьма трудно выяснить влияние отдельных параметров системы на ее устойчивость.

Все эти соображения послужили причиной появления ряда критериев устойчивости, дающих возможность определять устойчивость системы, не прибегая к вычислению корней характеристического сравнения.

Все критерии устойчивости, которые мы будем рассматривать, можно разделить на две группы: алгебраические критерии устойчивости и частотные критерии устойчивости.

Алгебраические критерии устойчивости определяют условия устойчивости в виде алгебраических неравенств, составленных из коэффициентов характеристического уравнения системы. Из алгебраических критериев мы будем рассматривать критерий устойчивости Гурвица.

Частотные критерии устойчивости выражаются в виде условий, которым должны удовлетворять частотные характеристики системы для того, чтобы система была устойчивая. Из частотных критериев устойчивости мы будем рассматривать критерии устойчивости Михайлова и Найквиста.

Отметим, что все критерии устойчивости, независимо от их природы, определяют условия, при которых корни характеристического уравнения системы будут иметь отрицательные вещественные части.

Контрольные вопросы

• 1. Зависит ли характеристическое уравнение системы от того, какие возмущающие и управляющие воздействия вводятся в систему?
• 2. Почему исследование устойчивости системы можно свести к исследованию ее характеристического уравнения?
• 3. В чем заключается необходимое условие устойчивости системы? Докажите, что это условие не является достаточным.