ОСОБЕННОСТИ АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Особенности анализа линейных систем с постоянным запаздыванием

При исследовании некоторых систем встречаются устройства, обладающие постоянным запаздыванием. Это означает, что выходной сигнал в таких устройствах появляется не сразу при подаче входного воздействия, а через некоторый постоянный промежуток времени т. Это постоянное запаздывание объясняется ограниченной скоростью распространения сигнала в устройстве. Для удобства анализа вводится понятие звена с постоянным или чистым запаздыванием.

Звеном с постоянным запаздыванием (звеном с ПЗ) называют звено, у которого выходная величина полностью совпадает с входным сигналом, сдвинутым по времени на интервал т.

Уравнение звена с постоянным запаздыванием имеет вид:

где входной сигнал х_вх(/) может быть произвольной функцией времени. На рис. 10.1 показаны выходные сигналы звена с постоянным запаздыванием для входных сигналов вида ](/) и kt, где к = arctg а.

Для определения передаточной функции звена с постоянным запаздыванием найдем изображение по Лапласу выражения (10.1)

Рис. 10.1. Входные (а) и выходные (б) характеристики звена с запаздыванием при единичном и линейном воздействиях

Если произвести замену в выражении (10.2), то получим:

Из уравнения (10.3) определяем искомую передаточную функцию

Теперь можно найти выражение для амплитудно-фазовой характеристики звена с постоянным запаздыванием:

Как видно из формулы (10.5) модуль амплитудно-фазовой характеристики равен единице, а сама характеристика представляет собой окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 10.2). Выражения для амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик звена с постоянным запаздыванием имеют вид:

Эти характеристики показаны на рис. 10.3, а, б. Как видно из формулы (10.6) амплитудно-частотная характеристика звена с постоянным запаздыванием не зависит от частоты и пропускает сигнал любой частоты, не изменяя его амплитуды (рис. 10.3, а).

Рис. 10.2. Амплитудно-фазовая характеристика звена с ПЗ

Рис. 10.3. Амплитудно-частотная (а) и фазочастотная (б) характеристики звена с ПЗ

Фазочастотная характеристика звена с постоянным запаздыванием (рис. 10.3, б) линейно зависит от частоты и представляет собой прямую, угол наклона которой зависит от постоянной запаздывания X (т₃ > т₂ > Т|).

В общем случае, если система имеет постоянное запаздывание, для удобства исследования ее представляют в виде двух частей — звена с постоянным запаздыванием и остальных звеньев системы, не имеющих запаздывания (рис. 10.4). Тогда передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид:

где W{p) — передаточная функция всех звеньев системы без запаздывания; е^_/п — передаточная функция звена с запаздыванием т.

Рис. 10.4. Выделение звена с ПЗ

Выражение для амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы может быть получено из (10.7) путем замены р = усо

или, учитывая, что W_x(ju>) = Л,(со) где Л,(со) и 0,(со) — со

ответственно амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики звеньев без запаздывания, получаем:

Таким образом, амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы оказалась равной амплитудно-частотной характеристике звеньев без запаздывания, а фазочастотная характеристика разомкнутой системы получает дополнительный сдвиг на угол -сох по сравнению с фазочастотной характеристикой звеньев без запаздывания. Следовательно, для построения амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы Ж(у'ю) по амплитудно-фазовой характеристике звеньев без запаздывания ЖДу'со) необходимо каждый вектор И', (/со) повернуть по часовой стрелке на угол сот.

Необходимым и достаточным условием устойчивости линейных систем с постоянным запаздыванием так же, как и линейных систем без запаздывания, является требование, чтобы вещественные части всех корней трансцендентного характеристического уравнения 1 + (р)е= 0 были отрицательными. Так как трансцендентные уравнения имеют бесконечное число корней, то анализ устойчивости таких систем по корням характеристического уравнения представляется затруднительным. Разработанные алгебраические критерии устойчивости систем с постоянным запаздыванием сложны для практического применения. Поэтому целесообразно при исследовании систем с постоянным запаздыванием использовать частотные критерии.

Рассмотрим критерий устойчивости Найквиста. Этот критерий формулируется следующим образом: для устойчивости системы с постоянным запаздыванием в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы амплитуд но-фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до оо не охватывала точку (— 1; уО). То есть этот критерий используется при анализе систем с запаздыванием точно так же, как и при исследовании устойчивости линейных систем без запаздывания.

При анализе устойчивости системы с запаздыванием строится амплитудно-фазовая характеристика звеньев без запаздывания ЩМ) (рис. 10.5). Из рисунка видно, что если на некоторой частоте со* вектор | K(j(n_k) | = 1 повернуть по часовой стрелке на угол (р* = со*х, то характеристика пройдет через критическую точку (-1, /0) и система окажется на границе устойчивости. Поэтому может быть найдено критическое значение постоянной запаздывания х* = —. Очевидно, что система будет устойчивой,

если выполняется условие х < х*, при х > х* система теряет устойчивость.

Рис. 10.5. Применение критерия Найквиста к звену с ПЗ

Рис. 10.6. Построение амплитудно-фазовой характеристики устойчивой разомкнутой системы с ПЗ

На рис. 10.6 проиллюстрирован процесс построения амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы с ПЗ W(jo) по заданной характеристике системы без запаздывания W^ijсо). Из рисунка следует, что система с запаздыванием будет устойчива.

Контрольные вопросы

• 1. Как изменяется от частоты амплитуда и фаза звена е постоянным запаздыванием?
• 2. Каким образом строится амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы с запаздыванием по амплитудно-фазовой характеристике звеньев системы без запаздывания?
• 3. Как определяется критическое значение постоянной запаздывания?