Уравнения плотности тока (или диффузионно-дрейфовые уравнения)

Как было сказано выше, в полупроводнике существуют свободные электроны и валентные электроны. В то время как все свободные электроны могут участвовать в переносе заряда без любого ограничения, число валентных электронов, которые могут осуществлять перенос заряда, ограничено числом доступных дырок. Значит, в валентной зоне носителем заряда является дырка. Для движения носителей в полупроводнике характерны следующие основные свойства (рис. 1.4).

  • 1. Кристалл полупроводника упакован неподвижными атомами и имеет подвижные носители заряда. Носители при прохождении через кристалл часто сталкиваются с неподвижными атомами, передавая свою энергию кристаллу.
  • 2. Носитель восстанавливает свою энергию после столкновения, поглощая тепловую энергию кристалла, и перемещается в произвольном направлении.
  • 3. Если на кристалл действует электрическое поле, то носитель в полете между двумя последовательными атомами подвержен действию этого поля. Это действие - определенное (непроизвольное) ускорение в произвольном тепловом движении.

Следовательно, траектория движения носителя направлена вдоль действия поля для дырки и в противоположном направлении - для свободного электрона. Поскольку движение носителя фактически является трехмерным движением, легко вообразить сложность аналитического описания этого движения. Мы попытаемся создать одномерную модель движения носителя, которая должна достаточно точно описать реальные процессы.

Рассмотрим произвольное движение дырок, изображенных на рис. 1.5, в предположении, что все носители во время t = 0 имели встречу с дыркой и что

Одномерное движение дырок (кружками показаны дырки в момент времени t = 0, когда движение начинается с произвольной тепловой скоростью V

Рис. 1.5. Одномерное движение дырок (кружками показаны дырки в момент времени t = 0, когда движение начинается с произвольной тепловой скоростью Vth,

равной по величине как справа, так и слева, так как направление движения произвольно; в сечении S (х = 0)

их следующая встреча будет во время t = т. Время т называют временем жизни носителя. При принятии нами одномерного движения по направлению х ожидаем половину дырок справа от какого-то сечения, а другую слева, так как направления, по которым движутся носители, являются произвольными.

Разместим это сечение в середину между t = 0 и t = т, скажем, в точке х = 0. Мы вправе ожидать, что все дырки слева от сечения, размещенные внутри достаточно малого расстояния /j (например, дырка В),

перейдут в свободном пробеге направо в течение периода наблюдения. Тем временем все дырки справа, которые первоначально размещены внутри расстояния /2 от сечения (например дырка В'), перейдут влево. Разница этих двух противостоящих потоков дырок есть плотность 1р на единицу площади сечения, она может быть

выражена как

Решив это уравнение и разложив в ряд Тейлора р{х) в первом и втором членах, преобразуем его:

В этом уравнении 1Х и /2 по определению являются начальными границами, от которых дырки достигают сечения S за время t = т [1.2].

Как показано на рис. 1.5, если Е > О, находящиеся слева дырки ускорены, а справа замедлены, если поле Е отрицательно, т. е. Е < 0, то наоборот. Стрелки указывают конечные позиции дырок в момент времени t = т, когда дырка встретилась с электроном.

Участвуют в переносе заряда через сечение только те дырки, которые изначально располагались в позициях -1Х < х < 0 и 0 < х < /2.

Дырка А начинает свободный пробег от точки х = -1х с начальной (тепловой) скоростью Vth . Это движение для t > 0 описывается как

где еЕ - сила, возникающая из-за воздействия электрического поля; тр - эффективная масса дырки.

Интегрируя это уравнение с начальными условиями от t = 0 и х(0) = -1Х до t-x и х = 0, получаем

Здесь

называется дрейфовой скоростью дырок.

Описание расположенных справа дырок, начинающих движение из точки х = 12 (например, дырка А'), дает

Как следует из (1.8) и (1.10), к произвольной тепловой скорости добавляется дрейфовая скорость, создаваемая полем с разными знаками. Это добавление и отличает среднюю скорость дырок при движении слева (vth + vp) и справа

(vth — v_). Подставляя (1.8) и (1.10) в (1.7) и считая, что электрическое поле очень мало, т. е. |v^| ((vth, получаем уравнение плотности тока для дырок:

Здесь

называется коэффициентом диффузии дырки, который является структурным параметром материала.

При подстановке в (1.11) значения vp из (1.9) получаем более известную форму уравнения плотности тока дырок

где параметр

известен как коэффициент подвижности дырки.

Из уравнений (1.9) и (1.14) можно вывести связь между дрейфовой скоростью, подвижностью и полем:

Подвижность непосредственно связана с коэффициентом диффузии через уравнение Эйнштейна. Чтобы получить эту связь, вспомним, что средняя кинетическая энергия дырки при одномерном движении равна — кТ , при трех3 / зВ

мерном —кТ , где к = 8,614-10-5 — - постоянная Больцмана; Т - абсолют- 2 V К )

1 2 1

ная температура. Следовательно, можно записать уравнение — mpvth = —kT,m

кТ

которого получаем vfh = —. При замене в (1.12) и сравнении полученного

ГПр

результата с (1.14) приходим к соотношению Эйнштейна кТ

где--величина, называемая тепловым потенциалом, имеет значение 25,8 мВ

е

для комнатной температуры Т = 300 К [1.3].

Заменяя дырки электронами в предшествующем анализе, получаем уравнение плотности тока для электронов. При этом е заменяем на -е, а тр на тп

соответственно. Итак, получаем: из (1.11)

из (1.13)

где

и

Уравнения плотности тока (1.13) и (1.18) входят в пять фундаментальных уравнений для анализа устройств на полупроводниках.

Их многомерные формы выглядят так:

Эти уравнения плотности потока носителей в правой части имеют два члена. Первое слагаемое представляет компонент дрейфа, а второе - компонент распространения (диффузии). Дрейф возникает из-за смещения носителей электрическим полем. Как следует из (1.13) и (1.18), дрейфовые потоки ориентированы в том же самом направлении, как и электрическое поле, независимо от типа носителя, а диффузионные потоки направлены противоположно полю в случае свободных электронов и совпадают с полем в случае дырок. Это происходит из-за противоположных полярностей зарядов этих двух типов носителей. Как показывают уравнения плотности тока, концентрация носителей изменяется с расстоянием. Действительно, если концентрация носителей на одной стороне сечения полупроводника выше чем на другой, то в силу случайности теплового движения большее количество носителей за единицу времени перейдет от стороны с высокой концентрацией к стороне с низкой концентрацией.

Очевидно, что суммарная плотность потока носителей в полупроводнике - сумма плотностей потока дырок и свободных электронов

В двух полученных уравнениях плотности тока перемещение носителя определяется параметром подвижности. Рассмотрим этот важный параметр подробнее. Во-первых, свободные электроны и дырки имеют различную подвижность, так как эффективные массы этих носителей тр и тп неодинаковы.

Во-вторых, подвижность носителя пропорциональна среднему времени т, как это подтверждается уравнениями (1.14) и (1.20). Очевидно, что т уменьшается с увеличением плотности рассеивающих центров (атомов). По этой причине хр и хп уменьшаются при увеличении концентрации примеси, как показано

на рис. 1.6.

Важно обратить внимание на то, что данные, приведенные на рис. 1.6, не могут быть применены к случаю переноса носителей вблизи кристаллической поверхности, где присутствуют дополнительные рассеивающие центры, и подвижность носителей уменьшается еще больше. Это касается полупроводниковых устройств, называемых МОП-транзисторами, в которых перенос зарядов ограничен узкой областью, граничащей с поверхностью. Данные рис. 1.6 применимы для биполярного транзистора, у которого носители движутся в объеме полупроводника. Подвижность также зависит от температуры. Эта зависимость больше проявляется в собственном или слабо примесном полупроводнике, в котором преобладает тепловое движение носителей. Из выражений (1.14) и (1.20) видно, что подвижность не зависит от электрического поля. Это действительно имеет место, когда поле слабое, в сильных же полях для некоторых типов полупроводников, например GaAs, подвижность падает. Существует нелинейная связь между дрейфовой скоростью носителей и полем, как показано на рис. 1.7. В конечном счете дрейфовая скорость достигает значения приблизительно 107 — для обоих типов носителей в кремнии.

с

Изменение подвижности носителей от концентрации примеси

Рис. 1.6. Изменение подвижности носителей от концентрации примеси

в кремнии [1.5]

Дрейфовая скорость носителей как функция электрического

Рис. 1.7. Дрейфовая скорость носителей как функция электрического

поля [1.5]

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >