Аналитические зависимости моделей нелинейных объектов на ПРНС для расчета по экспериментальным данным

Для вывода общих выражений расчета весовых коэффициентов ПРНС воспользуемся последовательностью рассуждений, используемых при расчете весовых коэффициентов степенных рекуррентных НС. Объект в пространстве состояний описывается в виде нелинейной системы уравнений:

где х—вектор состояния объекта; х = [х,, х2,..., х9]т; и — вектор входных сигналов; и = [щ, и2,...,ит]т; Ап В— нелинейные матрицы размером qxqnqx.ni соответственно. Будем считать, что измеряется весь вектор состояния (тогда выход объекта равен вектору состояния).

В общем случае (теоретически) для нелинейного объекта элементы матриц Л и В могут быть нелинейными от всех элементов вектора состояния объекта, а также от всех входных (управляющих и возмущающих) воздействий. Каждый нелинейный элемент матриц А и В может быть представлен с любой точностью полиномом необходимой степени, составленным из соответствующих переменных. В модели нелинейного объекта необходимо определить все коэффициенты полиномов для каждого нелинейного элемента матриц А и В. Расчет коэффициентов полиномов удобно выполнять, представляя модель объекта в виде ПРНС.

С целью получения общих выражений для расчета коэффициентов полиномов по экспериментальным данным выполним ряд преобразований.

Запишем уравнение объекта (1.1) в виде:

где Y= [х,,х2,..., хч, иь и2, ..., ит]Т вектор размера 1 хК (где К = q + щ), объединяющий векторы состояния объекта и входных сигналов; С — нелинейная матрица размером qx К, полученная объединением матриц ,4 и В с добавлением (конкатенацией) справа к строкам матрицы А соответствующих строк матрицы В

где aip big, cin(i= 1,..., q,j = 1,..., q, g = 1,..., m, v = 1,..., AT) — элементы соответственно матриц А, В н С.

Для удобства описания переобозначим элементы вектора Yчерез (где I = 1,

..., К):

Модель объекта на ПРНС (рис. 1.1.) строится по разностным уравнениям этого объекта. При записи уравнения (1.2) в разностном виде для п-го такта счета вектор Yимеет вид:

xm-v ДЛЯ /= - •»?;

где Уь - |иуя(у = /_0), для /' = q + , q + 2,...,K.

Общая структура ПРНС для представления модели нелинейного объекта

Рис. 1.1. Общая структура ПРНС для представления модели нелинейного объекта

Для расчета ПНРС необходимо найти коэффициенты полиномов заданной степени для всех элементов матрицы С. В принятых обозначениях элементы с (/ = 1,q, j = 1, К) могут быть функциями в общем случае от всех элементов у,-

(/= 1,К) вектора Y

Значения реальных физических сигналов объекта имеют различные единицы измерения и могут выражаться числами, отличающимися между собой на десятки порядков. При этом возникает явление, когда с ростом степеней полиномов точность описания нелинейностей резко снижается. В этом случае для обеспечения высокой точности модели, созданной на ПРНС, необходимо выполнять нормализацию сигналов, формирующих полиномы. С учетом сказанного необходимо объединяющий вектор Y представить в нормализованном виде:

где У/ = уt/у,гпах (/= 1, •••, А') — нормализованное значение /-й переменной вектора Y; у,тах — максимальное по модулю значение переменной у, для рассматриваемого режима работы объекта.

В разностном виде уравнение (1.2) при такте счета Т и вычислении производной из выражения х = (х„ — х„_ Х)/Тимеет вид:

При расчете ПРНС по известной математической модели объекта элементы матрицы С (в общем случае нелинейные) представляются полиномами, по коэффициентам которых определяются весовые коэффициенты ПРНС. Исходя из этого, матрица весовых коэффициентов ПРНС описывается выражением:

где Pol,(ГС) — функция, определяющая вектор коэффициентов полинома степени г для выражения, находящегося в скобках; Wy = Ро1ДТс,7) — элементы матрицы весовых коэффициентов.

Для удобства описания ПРНС и выполнения дальнейших расчетов воспользуемся полиномиальными блоками POL (рис. 1.2). Эти блоки формируют произведения (с единичными коэффициентами), получаемые от умножения полиномиальных членов степени г от нормализованных сигналов у} вектора Y на соответствующий ненормализованный сигнал. Внутри блока возле каждого входного сигнала устанавливается число без скобок (например, возле входов у2п и у3п записано г), обозначающее, что выходные сигналы блока содержат полиномиальные члены со всеми степенями от 0 до г переменных у2п и у3п. Сигналы, поступающие на эти входы, нормализуются с помощью блоков нормализации с коэффициентами передачи l/vimax. Если число возле входного сигнала находится в скобках (например, запись «(1)» возле входа у,„), тогда все полиномиальные члены умножаются на эту переменную у,,, только в той степени, которая указана в скобках. При этом сигналы, поступающие на входы, обозначенные числами в скобках, не нормализуются. Выходы блоков POL обозначим векторами h(i с такими же индексами, как у элементов векторов весовых коэффициентов и элементов Су матрицы С. В общем случае при нелинейной зависимости элементов с у от всех К элементов вектора Yи степени полинома г вектор hl} определяется следующим образом:

Полиномиальный блок POL, формирующий для элемента с произведение ненормализованного сигнала у, на полиномиальные члены степени г (от нормализованных сигналов у и у„)

Рис. 1.2. Полиномиальный блок POL, формирующий для элемента су произведение ненормализованного сигнала у,п на полиномиальные члены степени г (от нормализованных сигналов у2п и у3„)

Размерность вектора hу равна ((г + 1)*х 1). Соответственно, размерность вектора wjp на который умножается вектор hip равна (1 х (г + 1)С С учетом приведенных выше обозначений систему уравнений (1.7) можно представить в следующем виде:

или в более компактном виде:

где Axin = xjnxin_,; hin векторы-столбцы, полученные добавлением (конкатенацией) соответственно к векторам hn снизу последовательно элементов векторов- столбцов hi2n, ..., hiKn векторы-строки, полученные добавлением соответственно к векторам-строкам wn справа последовательно элементов векторов-строк

W/2, W/K.

Определим число неизвестных коэффициентов полиномиальных зависимостей для общего случая, когда все элементы матрицы С зависят от всех элементов вектора Y. Число коэффициентов полинома степени г для /^сигналов равно:

Число неизвестных коэффициентов полиномов всех элементов матрицы С определяется из выражения:

В каждом такте счета, согласно системе уравнений (1.11), можно составить q уравнений. Тогда минимальное число тактов счета для определения всех неизвестных весовых коэффициентов ПРНС определяется следующим образом:

Для расчета неизвестных коэффициентов ПРНС по экспериментальным данным необходимо иметь количество уравнений, равное числу неизвестных или больше этого числа. Для этого выполним измерение входных сигналов и вектора состояния объекта в последовательных^ > NT) тактах счета. Тогда каждое из уравнений системы (1.11) дает Муравнений:

где w — lw„ ..., WjT вектор с одинаковыми элементами размера (Мх 1); И] — [hin, ...,

hi„ - М + ll’ AXj п [ДХ, ..., A Xim — M+ i] •

Если число уравнений равно числу неизвестных коэффициентов ПРНС (M=NT), то матрица искомых весовых коэффициентов определяется через обратную матрицу.

В реальных условиях работы электромеханических объектов возможны ситуации, когда изменения вектора состояния объекта за такт счета Т не превышает точности измерения датчиков, и тогда при количестве NTизмерений отсутствует обратная матрица. В этом случае необходимо число измерений взять больше NT и выполнять определение весовых коэффициентов посредством расчета минимального среднеквадратичного отклонения для всех уравнений с помощью псевдо- обратных матриц (И')+ по выражению:

Обеспечение точной работы модели в первые моменты времени достигается заданием вектора начальных состояний в блоках временных задержек обратных связей ПРНС (см. рис. 1.1).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >