Анализ и реализация адаптивных наблюдающих устройств идентификации

Анализируется возможность реализации на основе микроЭВМ наблюдателя состояний типа Люенберга для электромеханической системы агрегата при производстве нетканых материалов. Рассматриваются два типа реализаций для линейной системы автоматического регулирования (САР) при использовании дискретновременной модели и блочно-импульсной функции. Поскольку наблюдения неизменно загрязнены шумом, первый подход должен включать фильтрацию выходных сигналов.

Системы управлений требуют доступности контроля состояний динамической системы во времени. Обычно посредством обратной связи по переменной состояния возможно обеспечить работу системы в оптимальном режиме. Кроме того, для нелинейных систем необходимо контролировать значения переменных состояния для отслеживания перехода от одной приближенной линейной модели к другой.

На практике состояния редко доступны непосредственному измерению, кроме того, выходные сигналы часто загрязнены шумом.

В случае наблюдаемых линейных систем имеются два достаточно известных подхода для оценки состояний: один предложен Калманом и Вики (1961 г.), а другой — Люенбергером (1964 г.). Разработано несколько вариантов этих методов с расширениями для нелинейных систем. Фильтр Калмана был реализован с целью получения оптимальных оценок определения конечных квадратов при наличии аддитивного шума, но требует знания матрицы ковариации шума, а также первоначальной матрицы ковариации ошибок. Матрица коэффициента усиления Калмана должна затем оцениваться по решению дифференциального уравнения матрицы типа Риккати, хотя для устойчивого случая оно сокращается до решения алгебраического уравнения. Наблюдатель Люенбергера был первоначально предназначен для детерминированного случая, то есть для случая, когда наблюдения выходных сигналов оказываются без шума. В этом случае наблюдатель генерирует ряд состояний, которые приближаются к действительным состояниям асимптотическим образом. Скорость, на которой ошибка приближается к нулю, может регулироваться посредством выбора коэффициентов усиления наблюдателя состояния. При наличии шума необходимо соответственно фильтровать выходной сигнал перед тем, как он подается в наблюдатель состояния. Оба подхода предполагают, что точно известны уравнения динамики системы.

Поскольку наблюдатель типа Люенбергера требует намного меньше вычислений, чем фильтр Калмана, далее в настоящем параграфе будет обсуждена реализация наблюдателя состояний на основе микроЭВМ. Рассмотрен ряд модификаций для учета влияния шума и нелинейностей на динамику электромеханической системы. Кроме того, хотя сама система отличается аналоговой сущностью, использование ЭВМ требует применения замеров данных ввода-вывода в наблюдателе состояний. Следовательно, наблюдатель состояний необходимо спроектировать с использованием эквивалентной дискретно-временной модели системы. Альтернативно можно использовать непрерывную временную модель методом блочно-импульсной функции. Последний метод обладает тем преимуществом, что сглаживающее влияние интегрирования разрешает наблюдателю состояния давать приемлемые оценки при нулевом среднем значении флуктуационного шума даже без фильтра.

Рассмотрим электромеханическую систему привода приемного вала экструдера, описываемую уравнением состояний:

где Eg R" есть вектор состояния, а ugR'" представляет входной вектор.

Выходной сигнал системы задается посредством

где у g Rp есть выходной вектор и vgRp есть нулевое среднее значение вектора флуктуационного шума, загрязняющего выходной сигнал.

Тогда проблема может быть определена как получение наилучшей возможной оценки состояния х(0 в результате измерений входа u(t) и выхода y(t).

На основании теории обычных дифференциальных уравнений следует, что можно получить x(t)) в качестве однозначного решения уравнения (6.29) для заданного входа u(t) при условии, что известно первоначальное состояние х(0). Однако на практике х(0)) неизвестно. Основная идея применения наблюдателя типа Люенбергера, который первоначально предлагался для линейной системы, состояла в использовании модели для генерации оценки состояний. Действительный выход системы сравнивался с выходом модели, а разница подавалась обратно в модель таким образом, что ошибка оценки асимптотически снижалась до нуля. Это определяется посредством следующей линейной модели:

где предполагается, что выход не имеет шума.

Наблюдатель состояний описывается следующей моделью:

Определение ошибки наблюдения выглядит следующим образом:

Посредством вычитания (6.33) из (6.31) и используя (6.30) и (6.32), можно получить следующее

Таким образом, ошибка наблюдения х(г) будет приближаться к нулю асимптотически, если все собственные значения матрицы A-КС имеют отрицательные вещественные части. Кроме того, для наблюдаемой системы можно выбрать матрицу коэффициентов усиления К таким образом, что собственные значения A-КС (называемые полюсами наблюдателя состояний) могут быть помешены в произвольно указанные места. Следовательно, имеется значительная степень свободы при выборе К.

Реализация наблюдателя состояний для линейной системы требует постановки модели наблюдателя состояний на ЭВМ после того, как выбрана соответствующая матрица коэффициентов усиления К. Тогда оценка состояний системы определяется из модели.

При использовании микроЭВМ для постановки модели наблюдателя состояний необходимо использовать замеры ввода u(t) и вывода y(f). В этом случае необходимо либо заменить непрерывно-временную модель, либо использовать метод блочно-импульсной функции.

Измерения, как правило, загрязнены шумом, что оказывает влияние на реализацию наблюдателя состояний, поскольку разница между х(/) и х(/) не равна нулю. Фильтрование сигналов перед подачей в наблюдатель состояний требует знания статистики шума. Вариант с использованием блочно-импульсной функции основан на интегрировании уравнений состояния и стремится снизить влияние шума.

Необходимо учитывать, что электромеханические системы отличаются нелинейностями. Наблюдатель типа Л юенбергера можно использовать для отслеживания отдельных нелинейностей.

Для получения дискретно-временного эквивалента линейной системы, описываемой уравнением (6.33), предположим, что сигнал поддерживается постоянным между константами дискретизации. В данном случае дискретно-временная модель задается следующим образом:

где Т — интервал дискретизации, а матрицы Fи С определяются как и

Поскольку ввод в непрерывно-временную систему редко поддерживается постоянным между интервалами дискретизации, лучшей аппроксимацией оказывается замена уравнения (6.35) на уравнение

Тогда наблюдатель состояний описывается следующим дифференциальным уравнением

Следовательно, реализация наблюдателя состояний на микроЭВМ получается выполнением умножений и сложений матриц, указанных с правой стороны уравнения (6.36), чтобы получить оцениваемое состояние х(кТ + Т) при различных значениях к. Для запуска алгоритм х(0) можно взять как нулевой вектор. Поскольку матрицы А и В известны, необходимо в начальной стадии вычислить матрицы F и G. При соответствующем выборе интервала дискретизации спектральный радиус АТ оказывается меньше 0,5, и системные ряды, заданные в уравнениях (6.36) и (6.37), сходятся быстро. Кроме того, матрица коэффициентов усиления К должна быть выбрана таким образом, чтобы все собственные значения (F — КС) находились внутри единичного круга.

Обобщим основные положения теории блок-импульсных функций. /-й элемент А-элементной блочно-импульсной функции в пределах интервала 0 0, где Т0= NT, может быть определен следующим образом:

и показан на рис. 6.4.

Блочно-импульсная функция в данном случае определяется как вектор

Если задана функция времени у(/), которая интегрируема в пределах интервала 0 0, ее можно аппроксимировать следующим образом:

;'-элемент 0 блочно-импульсной функции

Рис. 6.4.;'-элемент 0t блочно-импульсной функции

где

с надписью сверху, представляющей транспозицию у, — среднее значение W/) в пределах интервала (J1)Т

Поскольку N-> со блочно-импульсные функции образуют полное ортогональное множество, поэтому произвольно будет получаться небольшая среднеквадратичная ошибка при аппроксимации в результате увеличения числа членов в ряду. На практике интервал дискретизации Тможет быть выбран на основании спектра частоты у(/), следуя теореме дискретизации.

Рассмотрим интегрирование у- го элемента 0(/) блочно-импульсной функции. Интеграл показан на рис. 6.5.

При использовании аппроксимации, указанной в уравнении (6.38), можно получить

где

Интеграл 0(Г)

Рис. 6.5. Интеграл 0((Г)

Видно, что Яявляется треугольной (сверху) матрицей Тоуплица. Это необходимо учесть для многократного интегрирования и разработки рекурсивного алгоритма.

Интеграл функции времени y(t) может быть аппроксимирован следующим образом:

где

Благодаря треугольной (сверху) матрицы Тоуплица получается следующее рекурсивное соотношение:

которое должно быть идентично трансцендальному правилу интегрирования. Отметим, что,уу является средним значением в пределах интервала (J — 1 Если замеры ^(1Г)известны, целесообразно сделать следующую аппроксимацию:

Рассмотренная выше процедура интегрирования может быть непосредственно применена для решения уравнений состояния.

Решение линейной системы (6.37) может быть задано следующим образом:

где Е является матрицей тождественности пхп:

и /о и /о задаются как нулевые векторы.

Следует отметить, что требуется инверсия матрицы (Е — АТ/2). Поскольку это постоянная матрица для данного выбора Т, ее можно вычислить и сохранить для последующего использования.

Для реализации наблюдателя состояний, использующего метод блочно-импульсной функции, необходимо решить итеративно уравнение состояния для наблюдателя, заданного моделью (6.33), которая может быть перегруппирована в уравнение

Уравнение (6.40) подобно уравнению (6.33); кроме А, которое заменено на (А —КС), имеет дополнительный ввод Ky(t). В случае нулевого начального условия для х,

можно получить рекурсивное решение для (6.40), подобно тому, что задано в уравнении (6.39), то есть,

где

и /(0) и J(0) являются нулевыми векторами.

Вычисление уравнения (6.41) может быть выполнено по мере поступления информации, если ранее вычисляется и запоминается инверсия (Е — 0,5А0Т). Кроме того, интегрирование выхода оказывает сглаживающее воздействие на шум.

Наблюдатель типа Люенбергера не учитывает влияние шума в выходном сигнале, который неизменно присутствует. В таком случае ошибка между х(/) и x(t) не будет приближаться к нулю.

Если доступна информация относительно статистических свойств сигнала, а также шума, нужно осуществить фильтрацию выходных сигналов прежде, чем они поступят в наблюдатель. Этот фильтр может быть спроектирован на основании критерия наименьшей средне-квадратичной ошибки, следуя принципам фильтра Винера. Требование знания статистики сигнала и шума соответствует требованию знания матриц ковариации в фильтре Калмана.

В большинстве практических случаев редко доступно предварительное знание статистических свойств сигнала и шума. Выходом является использование адаптивного фильтра Уидроу с применением метода наискорейшего спуска для поиска оптимального решения. Конфигурация фильтра показана на рис. 6.6, где w е R2 является вектором взвешивания адаптивного фильтра, выбираемого таким образом, чтобы минимизировать

если выходной сигнал фильтра представлен в виде:

Конфигурация фильтра Уидроу

Рис. 6.6. Конфигурация фильтра Уидроу

Вектор взвешивания w(&) модифицируется при каждом интегрировании согласно соотношению

где

Реализация фильтра Уидроу показана на рис. 6.7.

Наблюдатель типа Л юебергера первоначально получен для линейных систем.

Для нелинейных систем применена линеаризованная версия нелинейной динамической модели с необходимостью соблюдения условия линеаризации после каждого шага, используя текущие оценки состояний.

Нелинейный наблюдатель Люенбергера для электромеханических систем, описываемых уравнениями (6.29) и (6.30), может быть определен дифференциальным уравнением

где у есть выходной сигнал, получаемый из оценки состояния х посредством соотношения

Для того, чтобы наблюдатель состояний мог дать оценки, которые сходятся с их действительным значением, необходимо, чтобы ошибка оценки состояния х, определяемая в уравнении (6.42), приближалась к нулю по мере того, как увеличивается 1. При вычитании уравнения (6.42) из (6.43) можно получить

Следовательно, проблема состоит в выборе матрицы коэффициентов усиления к, таким образом, чтобы уравнение (6.44) представляло асимптотически устойчивую систему.

Реализация фильтра Уидроу

Рис. 6.7. Реализация фильтра Уидроу

Необходимо отметить, что в отличие от линейных систем правая сторона уравнения (6.44) не является точной функцией ?(/). Для упрощения можно использовать расширения ряда Тэйлора /(.) и g(.) относительно рабочей точки х0. Оставляя члены первого порядка, можно получить следующую аппроксимацию:

где

Следовательно, необходимо выбрать матрицу коэффициентов усиления таким образом, чтобы вещественные части собственных значений (А — КС) имели отрицательные значения. Поскольку уравнение (6.44) является аппроксимацией, действительной только для небольших изменений в состоянии, то не следует вычислять А и С как изменения рабочей точки и повторно вычислять А-для каждого случая.

Необходимо отметить, что действительное местонахождение собственных значений (А — КС) не важно, поскольку эти значения имеют довольно большие отрицательные вещественные части. Поэтому можно выбрать элементы матрицы К таким образом, чтобы удовлетворялись условия устойчивости, даже если рабочая точка изменяется в пределах большого диапазона значений. Для очень больших изменений в рабочей точке необходимо отрегулировать значения элементов К. При решении практических задач возможно разделить пространство состояний на небольшое число областей так, что для каждой из них будет достаточно определенного значения А'-матрицы. Эти значения можно сохранять в ЭВМ в виде просмотровой таблицы и использовать адаптивным образом.

Структурная схема моделирования электромеханической системы с адаптивным наблюдателем состояний приведена на рис. 6.8.

Система управления приводом экструдера без учета влияния гибких и упругих связей в кинематических передачах и наличии наблюдателя положения приемного вала может рассматриваться как линейная система второго порядка, описываемая следующими уравнениями:

Прикладываемый к системе входной сигнал задан посредством

Выходной сигнал системы при отсутствии шума может быть вычислен следующим образом:

где константы с, и с2 зависят от начальных условий.

Блок-схема наблюдателя состояний с фильтром для нелинейной электромеханической системы

Рис. 6.8. Блок-схема наблюдателя состояний с фильтром для нелинейной электромеханической системы

Линейная система, а также функция входного сигнала были промоделированы на ЭВМ при сх = с2 = 0. Выбран интервал дискретизации, равный 0,05 с, и реализованы обе версии наблюдателя состояния, рассмотренные выше для двух случаев: а) выходной сигнал без шума и б) выходной сигнал, загрязненный белым шумом в отношении сигнала к шуму, равный 10%.

Эквивалентная дискретно-временная модель для системы рассчитана в форме, заданной уравнением (6.37) с учетом:

Собственные значения /’помещены в точках ^-плоскости —0,9512 и 0,9048. Для того, чтобы поместить оба собственных значения наблюдателя на 0,5 в ^-плоскости, была получена матрица коэффициентов усилений следующего вида:

При установке начального условия

установлено отсутствие влияния шума в течение 15 интервалов дискретизации. При наличии шума и отсутствии фильтра характеристика наблюдателя оказалась неудовлетворительной, поскольку после 40 интервалов дискретизации имело место значительное различие между состояниями наблюдателя и системы. С наличием фильтра характеристика стала более стабильной, а разница состояний уменьшилась до 1% после 25 интервалов дискретизаций.

Далее моделировался наблюдатель, использующий блочно-импульсные функции. В этом случае выбрана следующая матрица коэффициентов усиления

при помещении полюса наблюдателя на —6 в /7-плоскости. Наблюдатель тестировался при нулевом начальном условии и выявил удовлетворительные характеристики при наличии шума и без фильтра. По истечении 25 интервалов дискретизации ошибка снизилась примерно до 2%. С использованием фильтра ошибка стала 0,5% по истечении 25 интервалов дискретизации.

Затем моделировалась нелинейная системы второго порядка:

Используя линеаризацию системы относительно хх = 0 и х2 = 0, был спроектирован наблюдатель состояний второго порядка для получения собственных значений на —3 и —4:

Нелинейная система (6.45) промоделирована на ЭВМ при ступенчатом входном сигнале. Получены оценки для бесшумового случая, а также с 10% шумом, добавляемым к выходному сигналу. Результаты приведены на рис. 6.9, из которого видно, что нелинейный наблюдатель с фильтром работает удовлетворительно даже в присутствии шума.

Оценка переходного процесса для нелинейного случая

Рис. 6.9. Оценка переходного процесса для нелинейного случая:

1 — отсутствие шума; 2 — наличие шума без фильтра; 3 — наличие шума (с фильтром)

Результаты имитационного моделирования указывают на то, что состояния наблюдателя отслеживают достаточно точно действительные состояния системы. Однако устойчивость алгоритма можно гарантировать только в случае незначительной ошибки наблюдения.

В данном разделе анализировались два метода реализации наблюдателя типа Люенбергера для линейной системы посредством микроЭВМ. При использовании для наблюдателя дискретно-временной модели системы необходимо отфильтровать выходной сигнал системы перед применением в наблюдателе. При реализации блочно-импульсной функции нет необходимости в фильтре для шума низкого уровня. В указанных случаях необходимо тщательно определить тип микропроцессора. Для оперативной (в темпе поступления информации) работы необходимо, чтобы вычисления для наблюдателя завершались в пределах одного интервала дискретизации. Важен выбор интервала дискретизации, который зависит от постоянных времени системы. В качестве общего эмпирического правила необходимо выбирать интервал дискретизации Ттак, чтобы 0,5 0,2, где w — величина полюса системы, наиболее удаленного от начала р-плоскости.

На рис. 6.10 представлена блок схема программы расчета наблюдателя состояний.

Блок схема программы расчета наблюдателя состояний

Рис. 6.10. Блок схема программы расчета наблюдателя состояний

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >