Идентификация системы автоматического управления скоростными ежимами сложного динамического объекта

Анализируется метод идентификации на основе построения функциональных рядов и полиномов. Ставится задача изучения свойств и особенностей формирования, транспортирования и наматывания волокнистого материала при его движении через управляемые объекты по наблюдаемым данным — входным и выходным параметрам.

Учитывая сложность электромеханической системы производства синтетических волокон и нетканых материалов, проведена идентификация промежуточного звена, которое включает в себя дозирующие насосы, аэродинамическую камеру, каландр и наматывающее устройство. Идентификация в данном случае позволяет построить математическую модель и определить численные значения параметров исследуемого звена, необходимых для расчета системы автоматического регулирования в целом.

Существуют различные подходы к идентификации нелинейных объектов, решающих задачи автоматического управления. Некоторые из этих подходов пригодны для исследования только конкретных систем или узких классов схем, т.е. носят частный характер.

Авторами проведена идентификация объекта на основе построения операторов, позволяющих определить зависимость выходных сигналов от входных. Идентификация, позволяет построить оператор, связывающий только входные и выходные сигналы в цепи, что дает возможность существенно упростить описание цепи, исключив промежуточные переменные. Получение явной аналитической зависимости выходных сигналов от входных — весьма трудная задача, так как она эквивалентна аналитическому решению системы нелинейных уравнений. Точные решения такого рода, как правило, отсутствуют, и можно говорить лишь о приближенном решении, справедливом для ограниченного класса входных воздействий и начальных условий. Но и такое решение получить непросто, поскольку возникают проблемы выбора формы оператора, оценки точности решения и т.д. Полученные аналитические выражения обладают рядом бесспорных достоинств, так как не требуют решения нелинейных уравнений, позволяют исследовать общие свойства решений и их зависимость от параметров объектов. Следует отметить, что методы и алгоритмы решения задач управления электромеханическими системами, а также применяемый математический аппарат существенно зависят от формы тестовых воздействий, используемых при идентификации.

Задачи идентификации можно классифицировать следующим образом:

  • 1. Идентификация в режиме постоянного воздействия.
  • 2. Идентификация при гармонических и полигармонических воздействиях.
  • 3. Идентификация в режиме случайных тестовых воздействий.
  • 4. Идентификация при импульсных тестовых сигналах.

При анализе САР используются методы идентификации, основанные на построении операторов, дающих явную зависимость выходных сигналов от входных.

Рассматривается метод идентификации, связанный с применением функциональных рядов и функциональных полиномов. Предположим, что исследуемый объект удовлетворяет некоторым дополнительным условиям:

1. Рассматриваются только стационарные объекты, т.е. объекты, параметры которых явно не зависят от времени.

  • 2. Если считать, что внешние воздействия подаются при t > 0, то при t < 0 все фазовые координаты этого объекта равны нулю. Если в реальной САР это не так, то при t > 0 фазовые координаты заменяются эквивалентными величинами с дополнительными поправками.
  • 3. Реакция объекта на внешние воздействия определяется однозначно при t > 0.
  • 4. Объект не может самовозбуждаться. В частности, если внешние воздействия при t—> оо стремятся к постоянному значению, то и реакции объекта стремятся к постоянному значению.
  • 5. Система управления должна быть причинной. Это значит, что все реакции цепи равны нулю, пока равны нулю воздействия.

Отметим, что не все из перечисленных условий являются полностью независимыми. Условие 5 кажется излишним, так как, если опыты проводятся с реальным объектом, то принцип причинности выполняется автоматически.

Перечисленные условия характерны для таких объектов, как тракты усилителей, фильтры, корректоры, функциональные преобразователи, выпрямители, детекторы, трансформаторы и т.д.

Как уже отмечалось, если нелинейные объекты описываются аналитическими зависимостями, то при определенных ограничениях на свойства цепи и достаточно малой амплитуде входного воздействия х(/) реакцию у(г) можно представить в виде сходящегося функционального ряда Вольтерра (ФРВ):

Такое представление обладает многими достоинствами. Оно определяет аналитическую зависимость выходного сигнала от входного, оно универсально, изучение ядер hk(T|,...,xk) позволяет определить зависимость у(/) от свойств цепи и подсказывает методы синтеза нелинейных цепей. Поэтому вопросам идентификации цепей на основе ФРВ уделяется в литературе значительное внимание, хотя нужно помнить, что такая идентификация возможна лишь в слабонелинейном режиме, т.е. при малых амплитудах входных воздействий.

Задача идентификации заключается в выборе формы тестовых воздействий х(7) и разработке методики, которая позволяла бы по измеренным реакциям у(7) определить ядра hk(т,,..., т*) в (6.46). Обычно ограничиваются определением очень небольшого числа ядер (первых двух, трех, четырех), так как, во-первых, высшие слагаемые в (6.46) дают, как правило, малый вклад в общую сумму, а во-вторых, вычислительные трудности при расчете ядер более высокого порядка резко возрастают.

Наряду с определением ядер hk{т,,..., тА.) не меньшее внимание уделяют и задаче определения Фурье-изображений ядер Hk(jоо|,...,усоА:).

Прежде чем описывать методику определения ядер, остановимся на двух проблемах. Одна из них заключается в выборе амплитуды входных воздействий. Она должна быть такой, чтобы ряд (6.46) сходился. Однако исследуемый объект представляет собой «черный яшик», поэтому априорная информация о радиусе сходимости ряда, как правило, отсутствует. Следовательно, единственным выходом является экспериментальное определение амплитуды входного воздействия. Для этого вначале на систему управления подают настолько малое по амплитуде воздействие, чтобы в реакции практически не отмечались нелинейные эффекты. Например, при чисто гармоническом воздействии реакция не должна содержать нулевую и высшую гармоники. Затем увеличивают амплитуду входного воздействия до тех пор, пока измерительная аппаратура не будет уверенно отмечать те нелинейные составляющие реакции, которые необходимы для идентификации нескольких первых ядер Вольтерра.

Вторая проблема состоит в том, что при идентификации ядра Вольтерра к-го порядка > 1) существенное влияние на точность оказывают соседние члены ряда Вольтерра. Как было сказано выше, сами амплитуды нелинейных слагаемых ряда Вольтерра должны быть малы. Поэтому необходимо применять специальные приемы, позволяющие минимизировать указанное влияние. Опишем один из этих приемов. Его идея заключается в конструировании из реакций цепи такого выражения, которое было бы с определенной точностью равно А:-му слагаемому ряда Вольтерра.

Если х(/) — воздействие на цепь, y’(z) — реакция, то будем записывать ряд Вольтерра (6.46) в виде:

Пусть а — произвольное вещественное число. Тогда реакция цепи на воздействие ах(?) равна

Подадим на вход цепи поочередно воздействия а,л:(/), a2x(t), ..., а„х(/), (а15 а2, ..., а„) — различные вещественные числа, не равные нулю, и измерим соответствующие реакции y[a,x(i) = 1,..., п. Образуем выражение

где аг вещественные числа, которые выбираются из следующих соображений. Если подставить в (6.48) вместо j>[arx(/)] его выражение из (6.47), то получим:

Выберем числа аг таким образом, чтобы в правой части (6.49) обратились в нуль все первые п членов, кроме m-го, а коэффициент при m-кратном интеграле стал равным единице. Таким образом, следует решить систему уравнений:

Система (6.50) всегда имеет решение, и притом единственное, так как определи-

п

тель системы лишь множителем ]^[а, отличается от определителя Вандермонда.

;=1

Таким образом, при любых вещественных числах ак, отличных от нуля и попарно различных, можно найти такие числа а„ при которых комбинация (6.48) из реакций цепи равна п-му члену ряда Вольтерра (6.46) с точностью до отброшенных членов порядка п + 1 и выше. Поэтому выражение (6.48) удобно использовать при идентификации ядра Вольтерра m-го порядка.

Выражения, подобные (6.48), можно построить бесчисленным множеством способов, беря различные числа (а1} а2, ..., ая) и определяя по ним из (6.50) коэффициенты аг Целесообразно выбирать а* так, чтобы выполнялось условие |а*| < 1, к = 1, ..., п. При невыполнении этого условия существует опасность расходимости ряда (6.47). Кроме того, можно указать систему чисел (а,, а2,..., а„), в определенном смысле минимизирующих влияние оставшихся членов ряда Вольтерра (п + 1)-й степени и выше в выражении (6.48). Опишем вкратце суть алгоритма получения таких чисел.

Так как погрешности определяются членами ряда Вольтерра, имеющими степень выше п, то обозначим в (6.47) эти члены через е(а):

Подставим (6.51) в (6.48), выбрав коэффициенты аг в соответствии с (6.50). Тогда получим:

Чем меньше по модулю последнее слагаемое в правой части (6.52), тем точнее левая часть, найденная экспериментально, аппроксимирует член k-го порядка ряда Вольтерра. Запишем следующее неравенство:

Представляется естественным для уменьшения левой части (6.53) потребовать минимизации сомножителя |аг|, в правой части, поскольку управлять величиной другого сомножителя в правой части (6.53) затруднительно. Так как коэффициенты аг однозначно определяются через аг из (6.50), то приходим к следующей оптимизационной задаче: найти такие вещественные различные и отличные от нуля числа ar,г|<1, к= 1,..., п, чтобы минимизировать целевую функцию Xr-iKI • Определим для некоторых конкретных значений п числа а, и ar. Для этого необходимо решить п — 2п оптимизационных задач линейного программирования или методом перебора всех допустимых значений — 1 < а, < 1 с определенным шагом. Так как современная ЭВМ может за незначительное время справиться с поставленной задачей, то выберем второй метод для определения ar г = 1, ..., п; п= 1, п = 2, п = 3 с шагом 0,01 (табл. 6.1).

Линейная комбинация реакций цепи (6.48) дает возможность выделить для идентификации один член ряда Вольтерра. Опишем способ определения ядра этого ряда. Начнем с ядра первого порядка. Пусть внешним воздействием будет импульсная функция Дирака х(/) = 5(/).

Тогда

Из теории линейных электрических цепей известно, что ядро первого порядка — это реакция цепи на воздействие в виде единичной импульсной функции.

Перейдем к идентификации ядра второго порядка. Пусть внешнее воздействие состоит из двух импульсных функций, сдвинутых на время Т:

Тогда

Таблица 6.1

Расчет аг методом перебора допустимых значений

л

m

а.

а = 2

аз

Э4

а5

Ж1

1

1

0,01

0,01

2

1

-1

1

1

2

-1

1

1

3

1

-1

0,5

-0,5

3

2

-1

1

-0,5*

1

3

-1

1

0,5

4

4

1

-1

1

-0,5

0,5

3

2

-1

1

-0,64

0,64

4,829

3

-1

1

-0,5

0,5

4

4

-1

1

-0,64

0,64

5,829

5

1

-1

1

-0,30

0,81

0,31

5,047

2

-1

1

-0,64

0,64

0,5*

4,829

3

-1

1

-0,81

0,81

0,31

20

4

-1

1

-0,64

0,64

0,5*

5,829

5

-1

1

-0,81

0,81

0,31

16

Значение амплитуды не влияет на значение целевой функции.

Так как ядро симметризовано, то h2{t,t-T') = h1{t-T,t'). Для определения (/, /) достаточно положить x(f) = §(/), ибо

Таким образом, полный алгоритм определения ядра второго порядка в соответствии со сказанным состоит в следующем:

  • 1. Предполагаем, что ряд Вольтерра с достаточной точностью можно заменить суммой первых п его членов. Дать общие рекомендации по выбору числа п затруднительно. Часто берут п = 3—5. Чем больше п, тем меньше влияние отброшенных членов, однако тем больше проводится тестовых испытаний и тем больше погрешность при обработке результатов экспериментов.
  • 2. Подаем на вход цепи поочередно воздействия a,.6(f) и измеряем реакции у(аг5(/))г = 1, ..., п.
  • 3. Находим hj (t, t)

Так как это равенство справедливо при любом t > 0, то тем самым определена и функция (/ - Т, t - Т) при любом Т < t.

  • 4. Подаем на вход цепи поочередно воздействия аг(5(/) + 5(/-Г)) и измеряем реакции у(аг (б(/) + 5(t-T))).
  • 5. В соответствии с (6.54) находим

Левая часть этого выражения — известная функция, а в правой части уже найдены h2(<t,t)n /^{t-Tj-T). Отсюда находим /гД/, t-T).

6. Повторяем пп. 4 и 5 при различных Тдо тех пор, пока ядро (/, t-T) не будет определено в необходимом диапазоне переменных.

Ядра более высоких порядков определяются по аналогичной методике. Для идентификации ядра &-го порядка используются воздействия вида:

Следует отметить, что при всей простоте методики ее практическая реализация вызывает трудности, связанные с погрешностями эксперимента, измерений и отброшенными слагаемыми ряда Вольтерра. Для преодоления этих трудностей приходится применять специальные приемы, основанные на методах решения некорректных задач.

Определение ядер первого и второго порядков методом Данилова

По описанному выше алгоритму проведем идентификацию нелинейного объекта, который включает дозирующие насосы, аэродинамическую камеру, каландр, наматывающее устройство, и описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

где x — входное воздействие (давление расплава); уьу2, Уз, Ул — скоростные режимы дозирующих насосов, аэродинамической камеры, каландра, наматывающего устройства; у0 реакция системы на входное возмущающее воздействие в виде меняющегося давления расплава; Кь К2, К2, К4 статические коэффициенты объектов САР; Ть Т2, Тъ Т4 соответственно постоянные времени объектов САР.

Структура, описываемая системой (6.55), может быть представлена схемой на рис. 6.П.

Под идентификацией в дальнейшем будем понимать определение ядер Вольтерра 1-го и 2-го порядков.

Для определения ядер Вольтерра использовался метод Данилова, идентификация предложенного объекта проводится на отрезке 0 < t < 10 и К = 1. Так как в методе Данилова используется 8-функция, которая является математической абстракцией, то в качестве тестового воздействия использовался _П_-образный импульс с единичной площадью и длительностью 0,05 с (эмпирически установлено, что для данного объекта такая длительность наиболее рациональна). При проведении эксперимента в реальных условиях на истинное значение выходного сигнала аддитивно накладывается помеха, которая вносит погрешность в результат идентификации.

Структурная схема объекта идентификации

Рис. 6.11. Структурная схема объекта идентификации

Определение ядер Вольтерра по реакции объекта на тестовые воздействия производила программа, написанная в приложении Math-CAD7.0. Professional.

Ниже приведем краткое описание этой программы:

  • 1. Объект описывается системой дифференциальных уравнений (СДУ).
  • 2. Реакция объекта на тестовое воздействие определяется решением СДУ; СДУ решается методом Рунге Кутта 4-го порядка по 1000 точкам.
  • 3. Ядро Вольтерра второго порядка определяется по 50 сечениям, т.е. проводится 100 экспериментов.
  • 4. На истинное значение реакции системы накладывается помеха вида

где s — вектор помехи; утах — максимальное значение выходной величины; А — амплитуда помехи в процентах от максимального значения выходной величины; random — вектор случайной величины с равномерным законом распределения и диапазоном —0,5 < random, < 0,5.

  • 5. Определение ядер проводится при различных Т(см. табл. 6.1).
  • 6. Результат идентификации записывается в текстовый ANSI файл.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >