Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

Ранг матрицы

Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.

В матрице А размера тхп вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы к-го порядка, где к < min (m; п). Определители таких подматриц называются минорами к-го порядка матрицы А.

Например, из матрицы А3х4 можно получить подматрицы первого, второго и третьего порядков.

Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы А обозначается rang А, или г {А).

Из определения следует: а) ранг матрицы Атхп не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. r(A) < min (т; п);

  • б) г(А) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А = 0;
  • в) для квадратной матрицы п-го порядка г (А) = п тогда и только тогда, когда матрица Аневырожденная.

> Пример 1.11. Вычислить ранг матрицы

Решение. Матрица А имеет четвертый порядок, поэтому г (А)< 4. Однако |Л| = 0, так как матрица А содержит нулевой

столбец, поэтому г(А)< 3. Все подматрицы третьего порядка тоже содержат нулевой столбец и поэтому имеют нулевые определители, значит г (А) <2. Все подматрицы второго порядка либо имеют нулевой столбец (второй или четвертый), либо имеют пропорциональные столбцы (первый и третий), поэтому тоже имеют нулевые определители; таким образом г (А) < 1. Поскольку матрица А содержит ненулевые элементы, т.е. невырожденные подматрицы первого порядка, то г (А) = 1. ?

> Пример 1.12. Вычислить ранг матрицы

Решение. Для матрицы А3х4 г (А)< min (3; 4) = 3.

Проверим, равен ли ранг 3-м, для этого вычислим все миноры третьего порядка, т.е. определители всех подматриц третьего порядка (их всего 4, они получаются при вычеркивании одного из столбцов матрицы):

Поскольку все миноры третьего порядка нулевые, г {А) < 2. Так как существует ненулевой минор второго порядка, например,

В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются преобразования, сохраняющие ранг матрицы.

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:

  • 1) Отбрасывание нулевой строки {столбца).
  • 2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.
  • 3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.
  • 4) Прибавление к каждому элементу одной строки {столбца) соответствующих элементов другой строки {столбца), умноженных на любое число.
  • 5) Транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

? При изучении свойств определителей было показано, что при преобразованиях квадратных матриц их определители либо сохраняются, либо умножаются на число, не равное нулю. В результате сохраняется наивысший порядок отличных от нуля

миноров исходной матрицы, т.е. ее ранг не изменяется. ?

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.

Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид:

где аи Ф 0, i = 1, 2,..г; г < к.

Замечание. Условие г < к всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен г, так как имеется минор r-го порядка, не равный нулю:

Покажем на примере алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. t> Пример 1.13. Найти ранг матрицы

Решение. 1°. Если ап= 0, то при перестановке строк или столбцов добиваемся того, что аиФ 0. В данном примере поменяем местами, например, 1-ю и 2-ю строки матрицы (см. ниже).

  • 2°. Если апФ0, то умножая элементы 2-й, 3-й и 4-й строк на подходящие числа (именно на —а21аи= 0, 31и=2,
  • 4Х/ап=) и прибавляя полученные числа соответственно к элементам 2-й[1], 3-й и 4-й строк, добьемся того, чтобы все элементы 1-го столбца (кроме аи ) равнялись нулю[2]:

3°. Если в полученной матрице а22*0 (у нас а22=-Ф$), то умножая элементы 3-й и 4-й строк на подходящие числа (а именно, на -й3222 =-3, -я4222 =-3), добьемся того, чтобы все элементы 2-го столбца (кроме ах2, а22) равнялись нулю. Если в процессе преобразований получаются строки (или столбцы), целиком состоящие из нулей (как в данном примере), то отбрасываем эти строки (или столбцы):

Последняя матрица имеет ступенчатый вид и содержит миноры второго порядка, не равные нулю, например,

2 -4

q ^ = -2 ^ 0. Поэтому ранг полученной ступенчатой, а следовательно, и данной матрицы равен 2. ?

Для рангов матриц справедливы следующие соотношения:

  • 1) г(А + В) < г(Л) + г(В), 2) г(А + В)> г(А) - г(В),
  • 3) г(АВ)<тт{г{А)г{В)}, 4) г(А'А) = г(А),
  • 5) г(АВ) = г(А), если В — квадратная матрица и |2?| * 0,
  • 6) г(АВ) > г(А) + г(В) - п, где п — число столбцов матрицы А или строк матрицы В.

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов[3].

В матрице А обозначим ее строки следующим образом:

е =(аиап-а1п)’ е2 =(д21«22-«2Л

ет=(ат1ат2-атЛ

Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы: ек =es, если akj -aSJ-,j = 1, 2,п.

Арифметические операции над строками матрицы (умножение строки на число, сложение строк) вводятся как операции, проводимые поэлементно:

Строка е называется линейной комбинацией строк еь е2,es матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа:

meA,j,A,2, А,5 — любые числа.

Строки матрицы ех, е2т называются линейно зависимыми, если существуют такие числа Х{, Х2,, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

где 0 = (О О...О).

Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

? Действительно, пусть для определенности в формуле (1.17) Хт Ф 0 , тогда

где Xi={XilXm) i = 1, 2, т~ 1.

Таким образом, строка ет является линейной комбинацией остальных строк. ?

Если линейная комбинация строк (1.17) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты А, равны нулю, т.е. Aj = А2 = ... = Aw = 0, то строки ех, е2,..ет называются линейно независимыми.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки {столбцы).

? Пусть матрица А размера тхп имеет ранг г (r< min(т;п)).

Это означает, что существует отличный от нуля минор r-то порядка. Всякий ненулевой минор r-го порядка будем называть базисным минором. Пусть для определенности это минор

Тогда строки матрицы е12,...,ег линейно независимы. Действительно, предположим противное, т.е. одна из этих строк, например ег, является линейной комбинацией остальных:

Вычтем из элементов г-й строки элементы 1-й строки, умноженные на Aj, элементы 2-й строки, умноженные на А2, и т.д., наконец, элементы {г— 1)-й строки, умноженные на АгЧ. На основании свойства 8 (см. § 1.4) при таких преобразованиях матрицы ее определитель А не изменится, но так как теперь г-я строка будет состоять из одних нулей, то А = 0 — противоречие, и наше предположение о том, что строки ех, е2,..., ег матрицы линейно зависимы, неверно.

Строки ех, е2,..., ег назовем базисными.

Покажем, что любые (г + l) строк матрицы линейно зависимы, т.е. любая строка выражается через базисные.

Рассмотрим минор (г + 1)-го порядка, который получается

при дополнении рассматриваемого минора элементами еще одной строки / и столбца у

Этот минор равен нулю, так как ранг матрицы равен г, поэтому любой минор более высокого порядка равен нулю.

Раскладывая его по элементам последнего (добавленного) столбца, получаем aXjAXj +a2jA2j +... + arjArj +а^Ау =0, где последнее алгебраическое дополнение А совпадает с базисным минором А и поэтому отлично от нуля, т.е. А- Ф 0 .

Разделив последнее равенство на , можем выразить элемент atj как линейную комбинацию:

где Xs = asj / Ay.

Фиксируем значение / (/ > г) и получаем, что для любого j (у = 1, 2,п) элементы /-й строки е( линейно выражаются через элементы строк ех, е2,..., ег, т.е. /-я строка есть линейная

г

комбинация базисных: е,- = sesj-. Ш

5=1

Теорема о ранге матрицы играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности при исследовании систем линейных уравнений.

  • [1] В данном примере а2 j = 0 , поэтому вторая строка не меняется.
  • [2] Знак ~ означает равенство рангов матриц.
  • [3] В дальнейшем материал излагается для строк матрицы, для столбцов матрицыизложение аналогично.
 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы