Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

Уравнение прямой

Рис. 4.3

Пусть прямая пересекает ось Оу в точке В (0; b) и образует с осью Ох

угол а (0 < а < -^) (см. рис. 4.3).

Возьмем на прямой произвольную точку М (х, у). Тогда тангенс угла а наклона прямой найдем из прямоугольного треугольника MBN:

Введем угловой коэффициент прямой k = tg а; получим и

Можно показать, что формула (4.2) остается справедливой и для случая ~< а < п-

Итак, мы доказали, что координаты каждой точки прямой удовлетворяют уравнению (4.2). Нетрудно показать, что координаты любой точки, не лежащей на прямой, не удовлетворяют уравнению (4.2).

Уравнение (4.2) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Рассмотрим частные случаи уравнения (4.2).

Рис. 4.4

Рис. 4.5

Рис. 4.6

  • 1. Если b = 0, то получаем у = кх — уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей при к = tg а > О острый угол а с осью Ох, а при к = tg а < 0 — тупой угол (см. рис. 4.4). В частности, уравнение биссектрисы I и III координатных углов имеет вид у = х (так как к = tg — = 1), а уравнение
  • 4

биссектрисы II и IV координатных углов у = —х (к = tg — = — 1).

  • 4
  • 2. Если а = 0, то к = tg 0 = 0, и уравнение прямой, параллельной оси Ох, имеет вид у = Ь, а самой оси Ох — вид у = О (см. рис. 4.5).
  • 3. Если а = ~ ’ ТО прямая перпендикулярна оси Ох (см.

. . 71

рис. 4.6) и к = tg— не существует, т.е. вертикальная прямая не 2

имеет углового коэффициента. Предположим, что эта прямая отсекает на оси Ох отрезок, равный а. Очевидно, что уравнение такой прямой х = а (так как абсцисса любой точки прямой равна а), а уравнение оси Оу есть х = 0.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Пусть прямая проходит через точку Мххх) и

образует с осью Ох угол а (рис. 4.7).

Рис. 4.7

Рис. 4.8

Так как точка Мххх) лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению (4.2), т.е.

Вычитая равенство (4.3) из равенства (4.2), получим уравнение искомой прямой

Уравнение пучка прямых. Если в уравнении (4.4) к — произвольное число, то это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку Мххх), кроме прямой, параллельной оси Оу и не имеющей углового коэффициента (рис. 4.8).

Рис. 4.9

О Пример 4.2. 1. Составить уравнение

прямой, проходящей через точку А (3;—2):

а) под углом 135° к оси Ох б) параллельно оси Оу. 2. Найти уравнение пучка прямых.

Решение. 1. а) угловой коэффициент прямой k = tg 135° = — 1.

Уравнение прямой, проходящей через точку А (3; —2) (см. рис. 4.9), по формуле (4.4) имеет вид у + 2 = — 1 —3) или у = —х + 1.

  • б) Уравнение прямой, параллельной оси Оу, х = 3.
  • 2. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку А (3; —2),

имеет вид у + 2 = к (х —3). ?

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Пусть даны две точки Мхх, ух), М2 (х2, у2) и *i ф х2 , ух ф у2 .

Рис. 4.10

Для составления уравнения прямой Мх М2 (рис. 4.10) запишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку Мх:

Так как точка М22,у2) лежит на данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки М2 в уравнение пучка у2х = = к(х2j) и найдем угловой коэффициент прямой

Теперь уравнение искомой прямой примет вид или

[> Пример 4.3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А (-5; 4) и В (3; —2).

у — 4 х + 5

Р е ш е н и е. По уравнению (4.6): —- = ———, откуда по

Рис. 4.11

сле преобразований у = — х + —. ?

4 4

Уравнение прямой в отрезках. Найдем уравнение прямой по заданным отрезкам аФ 0 и b ф 0, отсекаемым на осях координат. Используя (4.6), уравнение прямой, проходящей через точки А {а; 0) и В (0; Ь)

/ и 1 Т-0 х-а

(рис. 4.11), примет вид - = -

Ъ-0 0

или после преобразований

О Пример 4.4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; —1), если эта прямая отсекает от положительной полуоси Оу отрезок, вдвое больший, чем на положительной полуоси Ох (рис. 4.12).

Рис. 4.12

Р е ш е н и е. По условию b = 2а (а >0, b > 0). Подставляя это выражение в

х у

уравнение (4.7), получим — + — = 1.

а 2 а

Так как точка А (2; —1) лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют 2 1

этому уравнению, т.е. — — — =1, от- а 2 а

куда а = 1,5.

х у

Итак, уравнение искомой прямой имеет вид — + — = 1 или у = —2х + 3. ?

Общее уравнение прямой и его исследование. Рассмотрим уравнение первой степени с двумя переменными в общем виде

в котором коэффициенты А и В не равны одновременно нулю, т.е. А2 + В2 ф 0.

1. Пусть В ф 0. Тогда уравнение (4.8) можно записать в виде = А _ С

у вх В'

Обозначим к = ~А/В, b = —С/В. Если А ф 0, С ф 0, то получим у = кх + b (уравнение прямой с угловым коэффициентом); если А ф 0, С = 0, то у = кх (уравнение прямой, проходящей через начало координат); если А = 0, С ф 0, то у = b (уравнение прямой, параллельной оси Оу); если А = 0, С = 0, то у = 0 (уравнение оси Ох).

2. Пусть В = 0, А ф 0. Тогда уравнение (4.8) примет вид С

х =--. Обозначим а = —С/А. Если С ф 0, то получим х = а

А

(уравнение прямой, параллельной оси Оу); если С = 0, то х = 0 (уравнение оси Оу).

Таким образом, при любых значениях коэффициентов Л, В {не равных одновременно нулю) и С уравнение {4.8) есть уравнение некоторой прямой линии на плоскости Оху.

Уравнение (4.8) называется общим уравнением прямой. Заметим, что в отличие от уравнения пучка прямых (4.4) общее уравнение (4.8) включает и уравнение любой вертикальной прямой, параллельной оси Оу.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы