Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки

Определение. Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и противоположное число —х, если х отрицательно:

Очевидно, по определению, что х > 0.

[> Пример 5.2. Найти |х-|х||.

Решение. Если х > 0, то |х| = х и | х - |х| | = |х - х| = |0| = 0.

Если х < 0, то |х| = —х и | х — |х| | = |х-(-х)| = |2х| = -2х.

Отметим свойства абсолютных величин:

|х + у|<|х|+Ы, ху = ху ,

X - у > х - у , — = М .

у у

Рис. 5.2

Абсолютная величина разности двух чисел I х — а I означает расстояние между точками х и а числовой прямой как для случая х < а, так и для х > а (см. рис. 5.2).

Рис. 5.3

Поэтому, например, решениями неравенства I х — а I < е (где s >0) будут точки х интервала (а— г, а + е) (рис. 5.3), удовлетворяющие неравенству a— s < х < а + s.

Всякий интервал, содержащий точку а, называется окрестностью точки а.

Интервал (а— s, а + s), т.е. множество точек х таких, что I х — а I < s (где s > 0), называется е-окрестностью точки а.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >