Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

Предел функции в бесконечности и в точке

Предел функции в бесконечности. С понятием предела числовой последовательности ап= / (п) тесно связано понятие предела функции у = f (х) в бесконечности. Если в первом случае переменная п, возрастая, принимает лишь целые значения, то во втором случае переменная х, изменяясь, принимает любые значения.

Определение. Число А называется пределом функции у = / (х) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого даже сколь угодно малого положительного числа s > 0 найдется такое положительное число S > 0 (зависящее от е; S = 5(s)), что для всех х, таких, что I х | > S, верно неравенство:

Этот предел функции обозначается lim /(х) = А или /

X—>00'

при X —» 00.

С помощью логических символов определение имеет вид:

Смысл определения остается тем же, что для предела числовой последовательности: при достаточно больших по модулю значениях х значения функции f[x) как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине).

Рис. 6.3

Рис. 6.4

Выясним геометрический смысл предела функции у = /(х) в бесконечности. Неравенство (6.3) I/(х)~А < е равносильно двойному неравенству А — е соответствующему расположению части графика в полосе шириной 2е (см. рис. 6.3).

Итак, число А есть предел функции у — f (х) при х ->• оо, если для любого е > 0 найдется такое число S > 0, что для всех х, таких, что I х | > S, соответствующие ординаты графика функции / (х) будут заключены в полосе А — е < у < А + г, какой бы узкой эта полоса ни была.

[> Пример 6.2. Доказать, что

5х+ 1

Решение. Для любого е > 0 неравенство (6.3)--5 < 8

х

или т—г < е выполняется при Ы >-.

х 8

Итак, для любого е > 0 существует такое число S= - >0, что

8

для всех л:, таких, что |х| > S, будет верно неравенство |/(х) — 51 < е, 5х +1

где / (х) = -; а это и означает, что lim f(x) = 5. ?

X *->оо

Замечание. Приведенное выше определение предела при х -> оо предполагает неограниченное возрастание независимой переменной л; по абсолютной величине. В то же время можно сформулировать понятие предела при стремлении х к бесконечности определенного знака, т.е. при х +оо и при х -> — оо. В первом случае основное неравенство (6.3) должно выполняться для всех х, таких, что х > S, а во втором — для всех х, таких, что х < —S.

Предел функции в точке. Пусть функция у = /(х) задана в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0.

Определение. Число А называется пределом функции / (х) при х, стремящемся к х0 (или в точке х0), если для любого даже сколь угодно малого положительного числа s > О найдется такое положительное число 5 > 0 (зависящее от е, 8 = 5(e)), что для всех х, не равных х0 и удовлетворяющих условию

выполняется неравенство

Этот предел функции обозначается lim /(х) = А или У(х)-ь4 при X -> х0 .

С помощью логических символов определение имеет вид:

Смысл определения предела функции / (х) в точке х0 состо-

ит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х0, значения функции / (х) как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине).

Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Как отмечалось выше, неравенство 1/(х) — А <г равносильно двойному неравенству А — г < / (х) < А + е, соответствующему расположению части графика в полосе шириной 2s (см. рис. 6.4). Аналогично неравенство | х — х0 | < 8 равносильно двойному неравенству х0 — 8 < х < х0 +8, соответствующему попаданию точек х в 8-окрестность точки х0.

Число А есть предел функции /(х) при х-> х0, если для любого s > 0 найдется такая Ъ-окрестность точки х0 , что для всех х фх0 из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции /(х) будут заключены в полосе А—&<у<А + е, какой бы узкой эта полоса ни была.

О Пример 6.3. Доказать, что lim(2x + 3) = 5.

х-»1

Решение. Пусть е = 0,1. Тогда неравенство (6.5) I (2х + 3)—

— 5 | < 0,1 будет выполняться при | х — 11 < 0,05. Аналогично при е = 0,01 то же неравенство (6.5) будет верно при х— 11 < 0,005.

Для любого е > 0 неравенство (6.5) I (2л: + 3) — 51 < е будет

выполняться при х~ 11 < ^.

?

Итак, при любом е > 0 существует такое число 6 = — (для

е = 0,1 5 = 0,05; для е = 0,01 5 = 0,005 и т.д.), что для всех 1 и удовлетворяющих условию х— 11<5 верно неравенство |.Дх) —

— 51 < е, гдеДх) = + 3; а это и означает, что lim /(х) =5. ?

х-Я

Замечание 1. Определение предела не требует существования функции в самой точке х0, ибо рассматривает значения х*х0 в некоторой окрестности точки х0. Другими словами, рассматривая lim /(х), мы предполагаем, что х стремится

х-»х0

к х0, но не достигает значения х0. Поэтому наличие или отсутствие предела при х -»х0 определяется поведением функции в окрестности точки х0, но не связано со значением функции (или его отсутствием) в самой точке х0.

3 а м е ч а н и е 2. Если при стремлении х к х0 переменная х принимает лишь значения, меньшие х0, или наоборот, лишь значения, большие х0, и при этом функция / (х) стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах функции / (х) соответственно слева lim /(х) и справа lim /(х) = А. Оче-

X->Xq-0 X-»Xq+0

видно, что определение этих пределов будет аналогично рассмотренному выше при х -» х0, если вместо значений х, удовлетворяющих условию (6.4), при которых верно неравенство (6.5), рассматривать значения х такие, что х0 —6 < х < х0 при х -» х0 — 0 (слева), или значения х такие, что х0 < х < х0 +5 при х -» х0 + 0 (справа).

Разумеется, если lim /(х) = lim /(х) = А, то lim /(х) = А.

х—>xq-0 х-»Х0+О х-»*о

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы