Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

Производные основных элементарных функций. Понятие о производных высших порядков

Выведем формулы производных основных элементарных функций.

Производная логарифмической функции, а) у = 1пх. Воспользуемся схемой нахождения производной, приведенной в § 7.3.

_ _ Ах

Обозначив — = у , найдем Ах = ху и

х

В силу непрерывности логарифмической функции, используя (6.25), меняем местами символы предела и логарифма, а затем используем определение числа е (6.19); получим

Итак,

t

б) у = loga х. Найдем у' = (log^x) = = -^-(ln*)' =

VI па J In a

1

= -, т.е.

xln a

Производная показательной функции, а) у = ex (другое обозначение у = exp х). Прологарифмируем обе части равенства по основанию е, получим In у = х. Дифференцируя обе части по переменной х и учитывая, что In у — сложная функция, получим с учетом

у'

  • (7.16) (In у)' — х' или — = 1, откуда у' = у, т.е.
  • 7

Рис. 7.8

Заметим, что кривая у = ехэкспонента, обладает отличающим только ее свойством: в каждой точке х ордината кривой у = ех равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к кривой в этой точке: ех = tga (рис. 7.8). б) у = ах.

?

у ' = х)' = [(elna)-v] ={ехХпа)' и по

правилу дифференцирования сложной функции (7.16)

у' = ех1па {хп.а)' = ах Лпа . Итак,

Производная степенной функции. Теперь мы можем доказать формулу производной степенной функции у = хп для любого п. Действительно, In у = ппх. Дифференцируя обе части равенст-

1,1 1 1

ва, получим —у =п — , откуда у' = пу— = пхп ?— = пхп~1, т.е. ух хх

Производная степенно-показательной функции, у = Дх) .

Найдем In у = (р(х) 1пДх). Дифференцируя, получим

Учитывая, что у =Дх)<, получим после преобразований

т.е. для того чтобы найти производную степенно-показательной функции, достаточно дифференцировать ее вначале как степенную, а затем как показательную и полученные результаты сложить (напомним, что п)' = пип~1 и иУ = аипа-и').

Замечание. Производная логарифмической функции

г

у

(In у) = —называется логарифмической производной. Ее удобно

У

использовать для нахождения производных функций, выражения которых существенно упрощаются при логарифмировании.

у'

Логарифмическую производную (In у)' = — называют также

У

относительной скоростью изменения функции или темпом изменения функции.

О Пример 7.8. Найти производные функций: а) у = хх;

Р е ш е н и е. а) По формуле (7.27) дифференцируем функцию вначале как степенную, а затем как показательную и полученные результаты складываем: у' = х- хх~] + хх Inх = х*(1 + Inх).

б) Производную можно найти, используя правила дифференцирования (7.9) — (7.15). Но проще это сделать с помощью логарифмической производной. Действительно,

In у = ^-[ln(x +1) + 1п(х2 - 2) - 1п(3 - х)] . Дифференцируя, находим или

Подставив выражение для у, окончательно получим

Производные тригонометрических функций, а) у = sin х.

Воспользуемся схемой нахождения производной (см. § 7.3):

(учли

первый замечательный предел (6.15) и непрерывность функции cosx).

Итак,

(доказательство аналогично п. а).

  • (доказательство аналогично п. в).
  • д) у = arcsin х, где — 1 < х < 1 и —п/2 < у < п/2.

Обратная функция имеет вид х = sin у, причем х' = cos у ф О,

если — п/2 < у < л/2.

Используем правило дифференцирования обратной функции (7.22)

При х = ±1 производной не существует.

Итак,

е) у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х.

Вывод формул аналогично п. д — формулы соответствующих производных приведены в таблице.

п/п

Функция у

Производная у

t

п/п

Функция у

Производная у

t

1

14

2

15

3

16

4

17

5

18

6

19

7

20

8

21

9

22

10

23

11

24

12

25

13

Производная неявной функции. Выше было рассмотрено дифференцирование явных функций, заданных в виде у =/(х). Рассмотрим дифференцирование неявной функции, заданной уравнением F{x, у) = 0 (см. § 5.5).

Для нахождения производной функции у, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, рассматривая у как функцию от х, а затем из полученного уравнения найти производную у'. Фактически этим методом мы пользовались при выводе производных функций у = ех ,у = хп ,у = /(х)фМ и в примере 7.86 после логарифмирования рассматриваемых функций.

Е> Пример 7.9. Найти производную функции у, заданной уравнением х2 -ху + пу= 2, и вычислить ее значение в точке (2; 1). Решение. Дифференцируя обе части равенства и учитывая,

у

что у есть функция от х, получим 2х — у — ху' + — = 0, откуда

У

Значение производной при х = 1, у = 1 .у'(2) = 3. ?

Производные высших порядков. До сих пор мы рассматривали производную f'(x) от функции / (х), называемую производной первого порядка. Но производная /'(х) сама является функцией, которая также может иметь производную.

Производной п-го порядка называется производная от производной (« 1)-го порядка.

Обозначение производных: f"{x) — второго порядка (или вторая производная), f"'(x) — третьего порядка (или третья производная).

Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры, например, /Н)(х), ...,/(")(х) или /IV(x) ИТ.Д.

Выясним механический смысл второй производной. Выше было установлено, что если точка движется прямолинейно по закону s = s(t) (где s — путь, t — время), то s'(to) представляет скорость изменения пути в момент t0. Следовательно, вторая производная

г

пути по времени s"(t0 ) = jV(/0)] = v'(/0) есть скорость изменения скорости или ускорение точки в момент t0 .

[> Пример 7.10. Найти производные до «-го порядка включительно от функции у = In х

г г

Решение. . /' = {!) =-±. /" = (--!} =?,

2-3

j(4) = —--и т.д. Очевидно, что производная «-го порядка

(4^-1)!

хп

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы