Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл

Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [а, Ь задана неотрицательная функция y=f(x). Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), прямыми х=а, х = Ь и осью абсцисс у=0 (рис. 11.1). (Говорят также о площади S под кривой у =f(x) на [а, Ь].)

Наметим общий подход к решению этой задачи. Введем в рассмотрение некоторую ломаную, которая расположена доста

Рис. 11.1

Рис. 11.2

точно близко к кривой y=f{x) на [а, b] (рис. 11.2). Фигура под ломаной состоит из трапеций (прямоугольников), и ее площадь 5Л (равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой у =f{x), то справедливо приближенное равенство S ~ Sn. Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому естественно за искомую площадь S взять предел площади под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.

Приведенные рассуждения носят качественный характер. Для того чтобы их можно было использовать на практике, необходимо уточнить в них то, что описывалось нестрого: процедура выбора ломаной и последующий предельный переход. В результате мы получим, в частности, понятие определенного интеграла.

Понятие интегральной суммы. Пусть на [а, b] задана функция y=f(x). Разобьем отрезок [а, b] на п элементарных отрезков точками х0, Xj, хп: а = х0 { < х2 < ...<хп— Ь. На каждом отрезке [хм, хД разбиения выберем некоторую точку и положим AXj = xt — Xj_i, где i = 1, 2, п. Сумму вида

будем называть интегральной суммой для функции y=f(x) на [а, Ь]. Очевидно, что интегральная сумма (11.1) зависит как от способа разбиения отрезка [а, Ь] точками х0, хх, ..., хп, так и от выбора точек •••) на каждом из отрезков разбиения [хм, хД,

/ = 1, 2, п.

Рис. 11.3

Геометрический смысл интегральной суммы. Пусть функция y=f(x) неотрицательна на [а, Ь]. Отдельное слагаемое /()Дхг интегральной суммы (11.1) в этом случае равно площади St прямоугольника со сторонами /(^-) и Дх/5 где / = 1, 2, п (см. рис. 11.3, где х0 — Xj = ДXj, х2~х, = Дх2 и т.д.). Другими словами, Sj — это площадь под прямой у =/(?,.) на отрезке [хм, хД. Поэтому вся интегральная сумма (11.1) равна площади Sn= S] + S2 +...+ Sn под ломаной, образованной на каждом из отрезков [ хм, xi ] прямой у =/( ), параллель

ной оси абсцисс (рис. 11.3).

Понятие определенного интеграла. Для избранного разбиения отрезка [а, b] на части

обозначим через тахДх, мак-

/

симальную из длин отрезков [хм, хД, где / = 1, 2, ..., п.

Определение. Пусть предел интегральной суммы (11.1) при стремлении шах Дх; к нулю существует, конечен и не зависит от

i

способа выбора точек х1?х2,... и точек ^, Ъ,2, ••• Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у =/(х)

b

на [a, b], обозначается ^f{x)dx, а сама функция y=f(x) называ-

a

ется интегрируемой на отрезке [а, Ь], т.е.

При этом число а называется нижним пределом, число b — его верхним пределом; функция / (х) — подынтегральной функцией, выражение / (x)dx — подынтегральным выражением, а задача

ь

о нахождении ^f(x)dx — интегрированием функции / (х) на от-

а

резке [а, Ь].

Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла:

поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы (11.1).

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные

понятия: в то время как J/(x)dx представляет семейство функ-

ь

ций, f(x)dx есть определенное число.

а

Во введенном определении определенного интеграла

ь

|/(x)предполагается, что а < Ь. По определению положим

а

Принимая во внимание (11.2), для нас отныне будет несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.

b b

Полагая в (11.2) b = а, получаем J/(x)

a a

b

или 2 ^f{x)dx = 0, т.е.

a

Геометрический смысл определенного интеграла. Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция у = /(х) неотрицательна на отрезке [а, Ь, где а < Ь,

ь

f{x)dx численно равен площади S под кривой у =/(х) на [а, Ь]

а

(см. рис. 11.1). Действительно, при стремлении max Ах, к нулю

/

ломаная (см. рис. 11.3) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.

Учитывая сказанное, мы можем указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,

(Первый из интегралов — площадь квадрата со стороной единичной длины; второй — площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий — площадь четверти круга единичного радиуса; предлагаем читателю в качестве упражнения выполнить необходимые чертежи самостоятельно.)

Заметим, что равенство (11.3) согласовано с геометрическим смыслом определенного интеграла: в случае, когда отрезок интегрирования стянут в точку, фигура под кривой стягивается в отрезок, площадь которого равна нулю, поскольку это площадь прямоугольника, одна из сторон которого равна нулю.

Экономический смысл интеграла. Пусть функция z = / (t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции и, произведенной за промежуток времени [0, Т ].

Отметим, что если производительность не изменяется с течением времени if (/) — постоянная функция), то объем продукции А м, произведенной за некоторый промежуток времени [/, t + At], задается формулой Дм = /(t)At. В общем случае справедливо приближенное равенство Дм = J{^)At, где ? е [/, t+ Af, которое оказывается тем более точным, чем меньше At.

Разобьем отрезок [О, Т ] на промежутки времени точками: 0= t0 < tx< t2<...< tn= T. Для величины объема продукции Дмг, произведенной за промежуток времени [/м , t{], имеем Aui=f&i)Ati, где е [fM, /,], Ati = ti~ti_], i = 1, 2, п. Тогда м«ХДмг=Х/(^)Л//- 1=1 /=1

При стремлении шах А/, к нулю каждое из использованных

i

приближенных равенств становится все более точным, поэтому

Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем

т

т.е. если f(t) — производительность труда в момент t, то jf(t)dt

о

есть объем выпускаемой продукции за промежуток [0, Т].

Сравнение данной задачи с задачей о площади криволинейной трапеции (см. выше) показывает, что величина и объема продукции, произведенной за промежуток времени [0, Т ], численно равна площади под графиком функции z =f(t), описывающей изменение производительности труда с течением времени, на проме- т

жутке [0, Т] или ^f(t)dt.

о

Достаточное условие существования определенного интеграла (интегрируемости функции). Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она интегрируема на этом отрезке.

Приведем пример нахождения определенного интеграла на основании определения.

D> Пример 11.1. Вычислить ^x2dx.

о

Решение. Запишем выражение для интегральной суммы, предполагая, что все отрезки [ хм, xt ] разбиения имеют одинаковую длину Axt, равную 1 /п, где п — число отрезков разбиения, причем для каждого из отрезков [хм, хг] разбиения точка

^ совпадает с правым концом этого отрезка, т.е. =xi = — , где

п

/ = 1, 2, ..., п. (В силу интегрируемости функции у = х2, выбор такого «специального» способа разбиения отрезка интегрирования на части и точек ^ , ?2 > • • • > ?п на отрезках разбиения не повлияет на искомый предел интегральной суммы.) Тогда

Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна

Следовательно,

Анализ приведенного примера показывает, что успешное решение поставленной задачи оказалось возможным благодаря тому, что интегральную сумму удалось привести к виду, удобному для нахождения предела. Однако такая возможность существует далеко не всегда, поэтому долгое время задача интегрирования конкретных функций оставалась задачей чрезвычайно сложной. Установление связи между определенным и неопределенным интегралами позволило разработать эффективный метод вычисления определенного интеграла, который будет рассмотрен в § 11.4.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы