Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

Свойства определенного интеграла

В данном параграфе мы будем предполагать интегрируемость всех рассматриваемых функций на выделенных отрезках интегрирования.

Рассмотрим сначала свойства определенного интеграла, которые имеют аналоги в случае интеграла неопределенного.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

где а — некоторое число.

? Пусть фиксированы разбиение отрезка [а, Ь и выбор точек ^, Е,2> на каждом из отрезков разбиения. Используя

ассоциативный (распределительный) закон умножения чисел, имеем

Перейдем к пределу в левой и правой части последнего равенства при max Ах,- —> 0 :

/

По определению определенного интеграла первый из пределов равен левой части равенства (11.4), последний — правой. ?

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

Нетрудно видеть, что это свойство остается справедливым для любого числа слагаемых.

Доказательство свойства 2 аналогично свойству 1.

Перейдем теперь к свойствам определенного интеграла, которые не имеют аналогов в случае неопределенного интеграла.

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых а, Ь, с:

Рассмотрим геометрический смысл свойства 3. Пусть а < с < b и функция /(х) неотрицательна на [а, Ь. Согласно геометриче-

с

скому свойству определенного интеграла ^f{x)dx = S{,

а b b

Jf{x)dx = S2 (рис. 11.4), Jf{x)dx = S, где S — площадь под

с a

кривой у =f(x) на отрезке [а, b] (площадь всей заштрихованной фигуры на рис. 11.4). Тогда при сделанных предположениях равенство (11.6) утверждает наличие следующего (очевидного) соотношения между площадями: S = 5) + S2 .

Рис. 11.4

Пусть а < b < с, и функция у = fix) неотрицательна на отрезке [а, с]. Применяя равенство (11.2) ко второму интегралу из правой части (11.6), запишем этот интеграл так, чтобы верхний предел был больше нижнего (для остальных интегралов (11.6) верхний предел больше нижнего по предположению):

Тогда равенство (11.7) утверждает наличие следующего (очевидного) соотношения между площадями криволинейных трапеций (рис. 11.5): 5)= S — S2, где S — площадь под кри

Рис. 11.5

вой у =/(х) на отрезке [а, с].

4. Если на отрезке [а, Ь] f(x)

т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

? Пусть фиксированы разбиение отрезка [а, Ь и выбор точек ^ , Ъ,2, ...,

Ъ,п на каждом из отрезков разбиения. Тогда из неравенства fix) < g(x) вытекает аналогичное неравенство для интегральных сумм:

Переходя к пределу при max Ах, -» 0 , получим (11.8). ?

/

Следствие. Пусть на отрезке [а, Ь], т < / (х) < М, где т и М — некоторые числа. Тогда

? По свойству 4 имеем

Остается заметить, что по свойству 1 и геометрическому

ь ь

смыслу определенного интеграла jm dx= т Jafr = т (b а) и

а а

Ь

аналогично J*Mdx = M(b — а). ?

а

5. Теорема о среднем. Если функция у =/(х) непрерывна на отрезке [а, Ь (где а < Ь), то найдется такое значение ?, е [а, Ь], что

? По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения х из [а, b] верно, что т где т и М — наименьшее и наибольшее значения функции на [а, Ь. Тогда, согласно (11.9), имеем

Рис. 11.6

Но функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между ее наименьшим и наибольшим значениями. Поэтому, в частности, найдется такое число 4 е а> Ь], что

Пусть/(х) > 0 на [а, Ь. Тогда теорема о среднем утверждает: найдется такая точка ?, из отрезка [а, Ь], что площадь под кривой у = fix) на [а, Ь равна площади прямоугольника со сторонами / (4) и (Ь — а) (см. рис. 11.6 и геометрический смысл

определенного интеграла). Еще одно возможное объяснение геометрического смысла теоремы о среднем см. в § 11.6.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы