Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

Приближенное вычисление определенных интегралов

Важным средством вычисления определенных интегралов является формула Ньютона—Лейбница (см. § 11.4). Однако ее применение на практике связано с существенными трудностями, возникающими при нахождении первообразной в случае усложнения подынтегральной функции. Поэтому в приложениях используют так называемые численные методы, позволяющие найти приближенное значение искомого интеграла с требуемой точностью. Этот подход оказывается еще более предпочтительным в связи с возрастающими возможностями современной вычислительной техники, реализующей алгоритмы с необходимой скоростью.

В данном параграфе мы рассмотрим одну из приближенных формул вычисления определенного интеграла — формулу трапеций.

Пусть на отрезке [а, Ъ] задана непрерывная функция y=f(x). Предположим дополнительно, что /(х)>0 на [а, Ь. Тогда

ь

jf(x)dx численно равен площади под кривой y=f(x) на отрез-

а

Рис. 11.26

ке [а, b]. Мы получим приближенное значение искомого интеграла, если вместо площади под кривой возьмем площадь под ломаной, расположенной достаточно близко к исходной кривой (см. также § 11.1). Для построения этой ломаной поступим следующим образом: разобьем отрезок интегрирования на п равных частей длиной , Ь-а

И = -и на каждом из от-

п

резков разбиения [хм, х;], где 1—1, 2, ..., я; xi =x0+ih, заменим участок кривой y=f(x) хордой, стягивающей концевые точки (рис. 11.26). ъ

Тогда |/(x)1 + S2+... + Sn,

а

где Sb S2,Sn — площади трапеций (площади под хордами на каждом из отрезков разбиения), на рис. 11.26 эти трапеции заштрихованы. Но

Тогда

Вынося множитель h, заметим, что все слагаемые данной суммы, отличные от /(х0)/2 и f(xn)/2, встречаются в ней

дважды. Приводя подобные члены и учитывая, что h = ———,

п

окончательно получаем

где х0 = a, xi = x0+ih, /= 1, 2, п. Формула (11.32) носит название формулы трапеций. Она получена нами в предположении неотрицательности функции у=/(х), но можно доказать, что этот результат остается справедливым также и в общем случае.

Рассмотрим теперь вопрос об оценке погрешности от применения формулы трапеций (существенно, что без рассмотрения этого вопроса формула (11.32) будет носить лишь качественный характер).

Обозначим через S(n) выражение, стоящее в правой части формулы (11.32). Тогда

— абсолютная погрешность от применения формулы трапеций (11.32). Обозначим через М2 максимальное значение модуля второй производной f{x) подынтегральной функции y=f(x) на [а, Ь, т.е. М2 = шах |/"(х)|.

хе[а,Ь]

Доказано, что абсолютная погрешность А от применения формулы трапеций

[> Пример 11.13. Вычислить по формуле трапеций при п = 5

1,5 dx

[ — . Оценить погрешность.

1 *

Решение. Поскольку число п отрезков разбиения равно 5,

то длина h отрезков разбиения равна -—— = ——- = 0,1 и так

п 5

как Xi = x0+ih, i = 1, 2, ..., 5, х0=1, имеем Х]=1,1; х2 = 1,2;

х3 = 1,3; х4 = 1,4; х5 = 1,5. Подынтегральная функция /(х) = —,

х

поэтому согласно (11.32) получаем

t

/ '

ГО 2

Перейдем теперь к оценке погрешности./"(*) = — =— .

W V у

Эта функция монотонно убывает на [1; 1,5], поэтому достигает своего максимального значения в левой концевой точке

2

этого отрезка (т.е. при л: = 1). Тогда М2 = /"(1) = —= 2 и согласно (11.33) имеем

Заметим, что по формуле Ньютона—Лейбница

и поэтому найденное значение 0,4059 нашего интеграла является также приближением (с указанной точностью) для числа In 1,5. Таким образом, формула трапеций может оказаться также удобным средством вычисления значений некоторых функций. ?

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы