Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид

где / (х) и g (х) — некоторые (непрерывные) функции переменной х. В случае, когда функция g (х) тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае — неоднородным.

Рассмотрим один из возможных способов решения уравнения (12.27): будем искать решение в виде у = и (x)v (х) (тем самым искомыми становятся функции и (х) и v (х), одна из которых может быть выбрана произвольно, а другая — должна определяться из уравнения (12.27).

Так как у' = u'v + uv', то из (12.27) следует u'v + uv' +f (x)uv =g (x) или

Найдем сначала какое-либо частное решение v = v (х) уравнения

Тогда (см. (12.28)) функция и = и{х) — решение уравнения

Тем самым решение исходного уравнения (12.27) сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными (см. (12.29) и (12.30)).

[> Пример 12.13. Решить уравнение

Решение. Разделив левую и правую части (12.31) на х, приходим к линейному неоднородному уравнению:

Пусть у = mv, т.е. у' = u'v + uv', тогда уравнение (12.31) при- 2

мет вид u'v + uv' — —uv = 2х3 или

х

2 . dv 2 dv _ dx

Положим v' — —v = 0 или — = — v, откуда — = 2—.

х dx х v х

Проинтегрировав, найдем какое-либо частное решение этого

уравнения, например, при С = 0 In I v| = 21п х и v = х2 . При v = х2 равенство (12.32) обратится в уравнение и'х2 = 2х3, или

— = 2х. Решая это уравнение с разделяющимися переменны-

dx

ми, получаем и = х2+ С. Тогда окончательно имеем у = uv = ( х2 Т С) х2 = х4 + Сх2 . ?

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы