Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

Решение задач

3 5 7

D> Пример 13.13. Найти сумму ряда--1---1---к.. ,

1-4 4-9 9-16

доказав его сходимость.

Решение. Очевидно, что общий член ряда и„ =—+ ^—

п2(п +1)2

Представим сумму п членов ряда в виде

Так как при п—> оо последовательность Sn имеет конечный предел, то ряд сходится, и его сумма

D> Пример 13.14. Исследовать сходимость ряда:

Решение, а) Проверим выполнение необходимого признака сходимости, найдя предел общего члена:

Для вычисления предела отношения двух бесконечно больших функций натурального аргумента правило Лопиталя непосредственно применять нельзя, ибо для таких функций не определено понятие производной. Поэтому применяя теорему о «погружении» дискретного аргумента (п) в непрерывный (х)[1], полу-

1

чим lim и„ = lim -lg — = lim (lgX) , = 1гаЛ = — *0,

/7—>00 X—>00 In X + 2 X—>00 (In X + 2У x—>00 1 In 10

X

следовательно, ряд расходится.

б) Очевидно, что задан ряд с положительными членами, так

л я я

как sin—> 0, ибо аргумент синуса 0< — <— при любом п. Так

2п 2п 2

как члены данного ряда меньше членов сходящегося геометри-

1 .я я

ческого ряда со знаменателем а = — <1, т.е. sin—<— (ибо при

2 2п 2п

О < х < — sin х < х), то данный ряд сходится.

  • 2
  • в) Представим общий член ряда в виде

xjn + l — xfn 1

un =-=-, -Применим предельный при-

п п{л]п + +у]п)

знак сравнения, сравнив данный ряд со сходящимся «эталонным» рядом (13.12) при а = — >1. Так как предел отношения общих членов двух рядов

г 1 1

= hm , — = — есть конечное число, не равное нулю, то

w->°° I 1 2

J1 + - +1

V п

данный ряд, так же как и «эталонный», сходится.

  • г) Применим признак Даламбера, заметив, что общий член
  • 4-7-10. ..(Зл + 1)

ряда и„ имеет вид и„ --.

" 2-6-10...(4и-2)

^ 4-7-10. ..(3/? + 1)(3/? + 4)

Тогда и„+] =-

"+1 2-6-10...(4«-2)(4я + 2)

ми+1 Зп + 4 3

и lim —— = lim-= — <1, т.е. данный ряд сходится.

и->°° ип о Ап+ 2 4

д) Применим признак Даламбера:

т.е. вопрос о сходимости ряда остается открытым. Проверим выполнение необходимого признака (с этого можно было начать исследование): lim ип = lim-!-= 0, т.е. необходимый

л-»оо оо 1п(я +1)

признак выполнен, но вопрос о сходимости ряда по-прежнему не решен.

Применим признак сравнения в более простой предельной форме. Сравним данный ряд, например, с гармоническим.

и ( 1 П п

lim — = lim -: — = lim-= оо, т.е. ответа о схо-

и_>0° Vn «->«vn(" + l) п) и^°°1п(и + 1)

димости ряда нет. Аналогичная картина ( lim — = 0 или

vn

lim ^- = со) наблюдается и при использовании других «эталон-

Vn

ных» рядов (см. § 13.3)[2] [3] [4] [5] [6]. Применим, наконец, признак сравнения в обычной форме. Сравним данный ряд с тем же гармоническим рядом, у которого отброшен первый член: 11 1

— + — + ——- + ... • Так как члены рассматриваемого ряда

больше членов расходящегося гармонического ряда (—^— >—,

In 2 2

  • 11 ^ 1 1
  • ->— и вообще ->-, что вытекает из очевидного
  • 1пЗ 3 1п(л + 1) (w + 1)

неравенства 1пх<х), то данный ряд расходится. ?

D> Пример 13.15. Исследовать сходимость ряда:

Р е ш е н и е. а) Предел общего члена ряда ,. ,. (-1 )"п[7] ,. (-1)"

lim ип = lim-= lim ——— = со, так как знаменатель дро-

п—>сс п—>оо 7/7[8] +3 п—><х> 7 3

п п[2]

би стремится к нулю, а числитель колеблется, принимая значения 1 (при четном п) и — 1 (при нечетном п). Следовательно, необходимый признак сходимости не выполнен, и ряд расходится.

б) Так как члены знакочередующегося ряда, начиная со второго, убывают по абсолютной величине —

и предел общего члена lim = 0 (это можно установить,

и->=О 2п -1

например, с помощью правила Лопиталя), то по признаку Лейб-

In(jc + 1) ница ряд сходится. Ряд V’_!EZL составленный из абсолютных

^2я-1

величин членов данного ряда, расходится, так как его члены больше членов расходящегося гармонического ряда, умножен-

1 In п 1 1

ного на —: ->->—. Следовательно, данный ряд ус-

2 2/7-1 2/7-1 2/7

ловно сходящийся.

  • в) Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, так как его члены меньше членов сходящегося
  • (—l)"cos— J J

ряда (13.12) при а = 2>1: -— <-< —, следова-

/72 + 1 /72 + 1 П2

тельно, данный ряд сходится и притом абсолютно. ?

УПРАЖНЕНИЯ

Написать в простейшей форме общий член ряда:

Найти сумму ряда, доказав, что он сходится:

Исследовать сходимость ряда, применив необходимый признак сходимости:

Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

Исследовать сходимость ряда с помощью признака Лейбница:

Найти (с точностью до 0,01) сумму ряда:

Исследовать сходимость ряда (для сходящегося ряда с членами произвольного знака установить, сходится он абсолютно или условно):

  • [1] Согласно этой теореме, если lim /(х) существует и равен А (А может рае- Х-»со пяться нулю или бесконечности), то lim f{n) также существует и равен А. и-»ос
  • [2] Следует отметить, что для исследования сходимости данного ряда непри
  • [3] меним и интегральный признак сходимости, так как исследование сходимости
  • [4] 00
  • [5] г dx
  • [6] несобственного интеграла - затруднительно из-за того, что первообраз-
  • [7] ветствующий неопределенный интеграл является «неберущимся»).
  • [8] ная подынтегральной функции не является элементарной функцией (т.е. соот
  • [9] Следует отметить, что для исследования сходимости данного ряда непри
 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы