Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Высшая математика для экономистов

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

С каждой точкой z (х, у) комплексной плоскости связан ра-

—^

диус-вектор этой точки Oz, длина которого г называется модулем комплексного числа z и обозначается |z| (см. рис. 16.1):

—^

Угол ф, образованный радиусом-вектором Oz с осью Ох, называется аргументом комплексного числа z и обозначается Argz. Из значений ф = Arg z выделяется главное значение arg z, удовлетворяющее условию — л < arg z < л. Например, arg 5 = О, arg (-3/) = —л/2, arg (1 - /) = -л/4.

Очевидно (см. рис. 16.1), что

Следовательно, комплексное число z = x+ iy можно представить как

Представление комплексного числа в виде (16.6), где г = |z| >0, ср = Arg z, называется тригонометрической формой комплексного числа.

Рис. 16.2

Сформулируем некоторые свойства арифметических операций над комплексными числами.

1. При сложении (вычитании) комплексных чисел их радиусы- векторы складываются (вычитаются) по правилу параллелограмма.

На рис. 16.2 показаны радиусы-векторы комплексных чисел z и Z2, их суммы z + Z2 и разности zj Z2*

2. Модуль произведения (частного) двух комплексных чисел равен произведению (частному) модулей этих чисел, а его аргументсумме (разности) аргументов этих чисел, т.е.

если Z = Z|Z2, ТО | Z I = ГГ2 = z * | Z2 I,

Z, | | к zA . |

если z = —— (z2 Ф 0), то z = — =1—- (г 2= z2 * 0),

z2 г2 Ы

Геометрически умножение числа z на Z2 означает изменение длины радиуса-вектора г (или /*2) в Г2 (или г) раз и его поворот вокруг точки О против часовой стрелки на угол ф2

(ИЛИ ф|).

[> Пример 16.2. Комплексные числа z = —1+/, z2=V3+/ представить в тригонометрической форме и найти zjz2 и zi/z2.

Решение. По формуле (16.4) найдем модуль комплексного числа z. г{ = + 12 = лД. а из соотношений (16.5)

COS ф = - 1/V2, sin9 = получим аргумент числа z (берем его

главное значение): ф1 = argzi = Зл/4, т.е. zx=42 cos—+ /sin — 1.

У 4 4 )

Аналогично r2 = z2| = + 1 = 2, costp2 = у/з/2, sin ф2 = 1/2,

т.е. cp2 = arg Z2 = л/6 и z2 = 2^cos-^ + /sin^j.

Теперь по формулам (16.7) и (16.8)

Так как в соответствии с формулами (16.7) и (16.8) при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, легко получить формулу возведения комплексного числа в натуральную степень п, известную как формула Муавра:

D> Пример 16.3. Найти (-1+/)20.

Решение. В примере 16.2 мы получили, что -1 + * = cos^ + /sin^j. Поэтому по формуле Муавра (16.9)

Обратимся к извлечению корня из комплексного числа.

Пусть

Тогда, используя определение корня и формулу Муавра (16.9), получим

или

Отсюда следует, что

Т/Г пГ у + 2пк

Итак, р = <]г и vj/ =-, &ez, т.е.

п

где к = 0, 1,2, ..., п—1.

При к=п, п + 1, ... значения корня уже будут повторяться. Таким образом, корень п-й степени из комплексного числа (не равного нулю) имеет п различных значений.

[> Пример 16.4. Найти л/—1 + /.

Решение. В примере 16.2 было получено

z = - + i = V2^cos-^ + /'sin^j. По формуле (16.10) откуда получаем три значения корня

На комплексной плоскости найденные значения корня представляют равноотстоящие друг от друга точки z, Z2, Z3, расположенные на окружности радиуса л/2 (рис. 16.3). ?

Рис. 16.3

форма комплексного числа:

Связь между тригонометрическими и показательными функциями выражается формулой Эйлера'.

Отсюда следует показательная

где г — |z|, ф = Arg z.

В заключение отметим, что в показательной форме, так же как и в тригонометрической, легко проводить операции умножения, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексных чисел.

УПРАЖНЕНИЯ

16.5. Даны комплексные числа z=5—12/, Z2=~6+8/. Найти

zl+z2> zl~z2, zz2> zlz2- _

16.6. Комплексные числа z = 1 —/, z2 = -V3 - / представить в тригонометрической форме и найти Z]Z2, и zi/z2.

/1 Л100

  • (1+0
  • 16.7. Найти z = —--——.

ОМ

  • 16.8. Найти все значения
  • 1 В приводимом здесь частном случае формулы Эйлера ф — действительное число.
 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы