ПРЯМОЕ ИЗМЕРЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Модели прямого измерения надежности технических объектов

Модели надежности, лежащие в основе прямых измерений, известны и освещены в научно-технической литературе. Они сводятся к определению функций распределения, интенсивности, математического ожидания и дисперсии отказов и других показателей надеж-

143

ности для различных объектов (восстанавливаемых и невосстанавли- ваемых) и типовых случайных процессов (с учетом и без учета стационарности, ординарности, последействия). При этом делают допущения, что модели надежности основаны на неизменности принятых условий и законов распределения в процессе измерения. Используемые модели можно разделить на два класса в зависимости от типа событий, фиксирующих потерю работоспособности объекта. Одни основаны на непрерывных случайных событиях, другие — на дискретных. Наибольшее распространение получили модели надежности, связанные с показателями безотказной работы объекта.

Надежность объектов характеризуется показателями, которые учитывают как свойство безотказности, так и свойство ремонтопригодности. Невосстанавливаемые объекты работают до первого отказа. Степень их надежности полностью определяется свойством безотказности. Для них существуют определенные критерии безотказности, по которым определяют работоспособное или неработоспособное состояние. Соответственно надежность (безотказность) невосстанавливаемых объектов оценивается показателями безотказной работы, которые могут быть определены установленным способом, т.е. путем прямого измерения.

Для восстанавливаемых объектов необходимо учитывать возможность возобновления работоспособности путем ремонта. Если рассматривается работоспособность восстанавливаемого объекта до возникновения первого (или очередного) отказа, то к оценке его надежности также применимы показатели безотказности.

Критерием надежности называют условия, при которых технический объект переходит из работоспособного состояния в неработоспособное или наоборот. При построении моделей отказов основной и явственной характеристикой является время безотказной работы. Условие, определяющее работоспособное состояние объекта, называют критерием безотказной работы или критерием надежности. Условие, определяющее неработоспособное состояние объекта, называют критерием отказа или условием ненадежности. Поэтому другой характеристикой надежности является число отказов за определенный промежуток времени.

При оценке надежности на основе времени безотказной работы в качестве критерия чаще всего используют неравенство

где %.р — время безотказной работы объекта; /3 — заданное (директивное) время выполнения задачи объектом. В этом случае время t3 144

выступает в качестве величины, с которой сравнивают фактическое время безотказной работы.

Исходя из этого критерия, все объекты, время безотказной работы которых больше /3, являются надежными, а те, у которых к.? < t3, — ненадежными, так как они наверняка (с полной достоверностью) откажут во время выполнения задачи. Здесь использована двоичная мера надежности: надежно и ненадежно.

Однако, в силу ряда обстоятельств, связанных со случайностью как внешних, так и внутренних факторов, приводящих объект к отказу, время его безотказной работы /б.Р случайно.

Тогда критерий надежности принимает вид

где «А» — символ случайного объекта.

Обозначив f6 = t, условие надежности можно записать в виде

В качестве показателя надежности может быть принята вероятность реализации условия (4.6):

где Rf(t) — вероятность того, что время безотказной работы окажется больше или равно заданному времени t3 (величину R(t) называют также показателем надежности); Ff(t) — вероятность того, что время безотказной работы окажется меньше заданного времени /3 (показатель ненадежности).

Случайность или неопределенность времени безотказной работы технического объекта с неизбежностью влечет использование математического аппарата теории вероятностей, применяемого для количественной оценки случайных величин.

Полной количественной характеристикой случайной величины является функция ее распределения, т.е. соотношение между возможными ее значениями и соответствующими им вероятностями.

Следовательно, функция распределения Ft (/) равна:

Она определяет меру возможности того, что случайное время безотказной работы t окажется меньше заданного (рассматриваемого) времени t выполнения задачи. По сути дела, если отказ объекта равнозначен невыполнению задачи, то она определяет меру возможности невыполнения задачи или меру ненадежности. Более удобной мерой надежности, соответствующей смыслу термина «надежность» (в узком смысле для невосстанавливаемых объектов — безотказность), является дополнительная функция распределения случайной величины t.

Таким образом, мерой надежности, или показателем надежности, может служить случайная величина t времени безотказной работы, выраженная в форме дополнительной функции ее распределения R}(t).

Возможные графики функций надежности (7) и ненадежности (2) изображены на рис. 4.1.

Основные свойства функций Ff(t) и R}(t) таковы:

Область изменения показателя надежности

Функция надежности невосстанавливаемого объекта независимо от характера распределения времени безотказной работы всегда убывает. Однако особенности распределения времени безотказной работы более рельефно проявляются, если рассматривать не функцию надежности, а функцию, называемую плотностью распределения времени безотказной работы (плотность распределения вероятности), определяемую как:

Если плотность известна, то функция распределения равна

Возможный график плотности распределения t имеет вид, показанный на рис. 4.2.

Функции надежности

Рис. 4.1. Функции надежности

Функция (р?(/) неотрицательная, причем она удовлетворяет требованию:

Отсюда ф? (/) — нормированная функция.

Вероятность отказа на некотором отрезке времени [/, t + Af] можно выразить так:

где ф? (/)А/ — элемент вероятности, геометрически выражается площадью элементарного заштрихованного прямоугольника (см. рис. 4.2).

Для определения вероятности отказа на некотором конечном интервале времени [t, t2 следует просуммировать элементы вероятности по нему. В результате предельного перехода от суммы к определенному интегралу получим

Вероятность, определенную по формуле (4.11), можно трактовать также как вероятность того, что конец отрезка t (времени безотказной работы) придется на интервал [t, t2. Принимая во внимание условие нормировки функции <р?(0> можно записать:

Как видно из рис. 4.3, для заданного времени /3 функционирования объекта ненадежность выражается площадью под кривой плотности распределения, расположенной левее t3, а надежность — площадью правее этой точки.

Практика расчетов надежности показывает, что во многих случаях приходится определять вероятность безотказной работы за время от t до t2 при условии, что к началу рассматриваемого интер-

Плотность распределения случайной величины

Р и с. 4.2. Плотность распределения случайной величины

Линия раздела между надежным и ненадежным объектами вала времени объект не отказал. Полученная при таких условиях вероятность безотказной работы называется условной

Рис. 4.3. Линия раздела между надежным и ненадежным объектами вала времени объект не отказал. Полученная при таких условиях вероятность безотказной работы называется условной.

Обозначим А — событие, заключающееся в безотказной работе объекта за время t, т.е. A(t >/,), а В/А — событие, заключающееся в безотказной работе на интервале [t, t2] при условии, что событие А совершилось. Тогда вероятность совместного наступления событий А и В на основании теоремы произведения вероятностей равна

Откуда условная вероятность отсутствия отказа на интервале равна

meP(B/A)=P(te[tl,t2/(i > *1»; Р(лпв) = P[t >tx+{t2~h)]=

= P(t >t2) = R} (t2); P(A) = P{t >t,) = Rt (h).

На основании формулы (4.14) вероятность противоположного события (отказа) на интервале [t, t2 при условии, что имело место событие A(t >tx), можно выразить как:

Смысл формулы (4.15) заключается в следующем. Условная вероятность отказа на любом интервале времени есть разность значений функции надежности на его концах, отнесенная к значению вероятности безотказной работы, имеющему место в начале рассматриваемого интервала.

Приведем формулу (4.15) к дифференциальной форме, для чего рассмотрим два момента времени t и t + At, разделенных интервалом At, и устремим последний к нулю. При переходе к пределу получим

R- (t)

или, обозначая —-— = X(t)

R}

где A,(t) — интенсивность отказа, определяет относительную скорость его наступления.

Разделив левую и правую части выражения (4.17) на dt, получим

Воспользовавшись формулой (4.9), получим выражение интенсивности отказа в дифференциальной форме через плотность распределения:

В литературе по надежности можно встретить определение, что интенсивность отказа есть условная вероятность отказа за единицу времени и при условии, что до момента t отказа не было.

Пользуясь А(0, легко определить вероятность безотказной работы объекта на любом интервале времени при условии, что до этого интервала отказ не наступил.

Интегрируя обе части равенства (4.17) по времени, получим откуда

Используя определение логарифма, полученное выражение можно записать в виде

Если принять, что t = 0, t2 = t, то интервал времени — [0, t. Поскольку Rf (/, = 0) = 1, то можно записать

где R} (t) — безусловная вероятность безотказной работы на интервале [0, /], выраженная через интенсивность отказа.

Формулу (4.21) иногда называют основной формулой теории надежности. Ее удобство в том, что исходные (определенные экспериментально) характеристики надежности нередко выражают в виде интенсивности отказа. Отсюда, используя выражение (4.21), легко найти другие показатели надежности.

Рассмотренные модели надежности устанавливают связь между плотностью распределения вероятностей и интенсивностью или вероятностью отказа. В качестве показателей надежности иногда (особенно в приближенных расчетах надежности) удобно пользоваться не законами распределения времени безотказной работы, а числовыми характеристиками распределения случайной величины. Наиболее употребительными из них являются математическое ожидание случайной величины времени безотказной работы т{ и дисперсия Df. Выразим их через другие характеристики надежности.

Как известно, математическое ожидание случайной величины находится по формуле

Интегрируя (4.22) по частям, получим

Во всех практически встречающихся случаях член [tR} (/)]q обращается в нуль, так как имеет место соотношение Пт/7?Д/) = 0. Это следует из того, что срок службы любого объекта ограничен, и поэтому Rf(t) быстрее стремится к нулю, чем t —» оо. Таким образом,

Из формулы (4.23) следует, что геометрически среднее время безотказной работы (средняя наработка до отказа) выражается площадью, ограниченной осями координат и кривой R} (t) (рис. 4.4).

Средняя наработка до отказа

Рис. 4.4. Средняя наработка до отказа

Изменения надежности в различных периодах эксплуатации

Рис. 4.5. Изменения надежности в различных периодах эксплуатации:

I — приработка; II — нормальная эксплуатация; III — износ

Дисперсия определяется как математическое ожидание центрированной случайной величины по формуле

Из выражений (4.23) и (4.24) следует, что для определения числовых характеристик надежности должна быть известна плотность распределения случайной величины срД/), а измерения необходимо проводить бесконечно долго.

На практике измерения проводят за конечный период времени. При этом в поведении объектов, характеризующемся тенденцией изменения показателя надежности, можно выделить три периода. Они отличаются друг от друга как показателем надежности, так и физической природой отказов, присущих каждому из них. На рис. 4.5 приведено поведение во времени одной из наиболее часто применяемых характеристик надежности — интенсивности отказа.

При рассмотрении конкретных испытаний объектов на надежность необходимо найти некоторые признаки, которые позволяют упростить анализ результатов или, по крайней мере, отнести отказы к какому-либо классу изученных процессов и применить к ним уже известные методы описания и анализа.

К характерным свойствам, наличие или отсутствие которых позволяет установить тип отказов или восстановлений, относятся: ординарность, стационарность, последействие. Рассмотрим последовательно, в чем проявляются эти свойства потоков.

Поток отказов (восстановлений) называется ординарным, если вероятность того, что на некотором элементарном интервале времени At произойдет два или большее число отказов (восстановлений), настолько мала по сравнению с вероятностью одного отказа (восстановления), что практически такое совмещение можно считать невозможным. Ординарность — свойство потока отказов, заключающееся в том, что вероятность появления в интервале [/, t + At] двух и более отказов есть величина высшего порядка малости по сравнению с вероятностью появления в этом интервале хотя бы одного отказа.

Очевидно, что поток отказов одного простейшего объекта всегда ординарный, так как второй отказ может иметь место только после восстановления (замены) отказавшего объекта.

Предположение об ординарности потока отказов элементов СТС достаточно обосновано, так как сами отказы сложных дорогостоящих систем — редкие события и возможность одновременного отказа двух их элементов практически исключена. Тем не менее свойство ординарности в каждом конкретном случае должно быть доказано.

Поток отказов (восстановлений) называется стационарным, если вероятность появления к отказов на интервале [/, t + At] зависит только от длины интервала At, но не зависит от его положения на оси времени, или, иными словами, свойство стационарности выражается в неизменности вероятностных характеристик потока во времени.

Стационарность значительно упрощает анализ потока отказов. Ее доказывают соответствующей статистической обработкой результатов наблюдений в различные интервалы времени наступления отказов.

Потоки отказов (восстановлений) называются потоками без последействия, если для любых неперекрывающихся интервалов времени число отказов (восстановлений), происходящих на одном из них, не зависит от числа отказов (восстановлений) в других. Следовательно, последействие потока означает, что вероятность появления к отказов на интервале времени [/, t + At] зависит от того, как распределились отказы, имевшие место до него.

Если последействие в потоке отказов отсутствует, то число отказов, наблюдаемых в интервале времени At, не зависит от отказов, произошедших в непересекающемся с ним таком же интервале времени. Допущение об отсутствии последействия существенно упрощает статистическую модель потока. Его можно выдвинуть и обосновать только на основе исследования физической природы отказов и проверить с помощью соответствующих методов статистического анализа результатов наблюдений.

Ординарные потоки отказов без последействия называются пуассоновскими потоками отказов.

Вероятность появления в интервале [0, /] ровно к отказов в этом случае определяют по формуле Пуассона:

где Q — среднее число событий, происходящих в промежутке времени t.

Пуассоновское описание ординарных потоков намного проще других. Распределение случайной величины n0(t), в данном случае, полностью определяется одним параметром Q, который зависит только от длины интервала Т. Поток отказов, подчиняющийся закону (4.25), называют пуассоновским потоком с переменным параметром. Этим переменным параметром является интенсивность потока отказов Л(/):

Формулу (4.25) можно записать так:

Вероятность безотказной работы Rf(t) в интервале [0, /] согласно формуле (4.26) принимает вид:

Когда пуассоновский процесс стационарный (такой поток называют простейшим), приведенные формулы принимают вид:

Для простейшего потока интенсивность Л потока отказов численно равна интенсивности отказа X невосстанавливаемого объекта для периода нормальной эксплуатации (А, = const). При обосновании отсутствия последействия в реальных потоках отказов руководствуются следующими соображениями.

Системы, как правило, состоят из большого числа элементов, каждый из которых достаточно надежен, и их отказы — редкие события. Поток отказов системы является суммой большого числа редких потоков отказов ее элементов. Составляющие потоки в большинстве случаев независимы. Отсюда вытекает, что появление какого-либо числа отказов на одном интервале времени не меняет вероятности появления какого-либо числа отказов на другом интервале, не пересекающемся с первым. Если же в системе имеется хотя бы один элемент, поток отказов которого по интенсивности соизмерим с интенсивностью отказов всей системы, то условия отсутствия последействия нарушаются. Такой поток нужно выделить для самостоятельного рассмотрения, а оставшийся поток системы можно рассматривать как пуассоновский.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >