Расчет надежности по критерию сравнения случайных величин нагрузки и сопротивляемости.

Более информативным методом, по сравнению с рассмотренными, является метод расчета показателя надежности, основанный на описании отказа в форме двухместного дважды неопределенного предиката:

где Ал случайное событие, зависящее от случайной величины х.

Предикат, т.е. высказывание х>й, относительно возможности безотказной работы объекта в данном случае становится дважды неопределенным: случайное событие Ая =(х< й) выражает условие

отказа оборудования, Ая =(х>й) — условие безотказной работы (последнее будем отмечать верхней чертой).

Вновь поставим задачу: определить вероятность события Ал. Для решения необходимо найти закон совместного распределения случайного вектора (й,х). Предположим, что плотность совместного распределения Ф<й)х >((«,*)) случайных величин й и х известна. Тогда вычисление вероятности события Ах можно осуществить по формуле

Интегрирование в выражении (5.10) осуществляется по области Н, в которой выполняется условие и < х.

Преобразуем выражение (5.10) к следующей форме:

где (рй/$(и,х) и Fa/St{u,x) — условная плотность и условная функция распределения случайной переменной й относительно х соответственно.

Выражение (5.11) служит для определения искомой вероятности безотказной работы. Величину, определяемую по нему, можно трактовать как вероятность того, что отказа не произойдет (событие А), если случайная величина нагрузки й в процессе работы (испытания) примет некоторое значение и, равное или меньшее некоторого (неопределенного) значения сопротивляемости х. Выражение (5.11) является решением задачи расчета надежности механического объекта по критерию сравнения случайных величин нагрузки и сопротивляемости в общем случае, но его использование для практических целей затруднительно из-за отсутствия типовых практических условных функций распределения случайной переменной й относительно х.

Наиболее важным для практических приложений является случай, когда нагрузка и сопротивляемость не зависят друг от друга. При этом случайные величины х и й независимы, и формула (5.11) принимает простой вид:

При вычислении вероятности события по формуле (5.12) необходимо интегрировать функции распределения случайных величин х и й в областях очень малых вероятностей их появления. Это, прежде всего, относится к объектам, обладающим высокими значениями показателей надежности. Получение закона распределения случайной величины в области малых значений вероятности ее появления также сопряжено со значительными трудностями. Достоверность статистических оценок вероятностей в области «хвостов» распределений весьма низкая.

Точность оценок показателей надежности объекта по формуле

(5.12) полностью зависит от достоверности исходной информации, т.е. достоверности законов распределения вероятностей случайных величин в области «хвостов».

Для практических приложений Н.С. Стрелецким была предложена довольно простая модель оценки надежности (гарантии неразрушимости) механических объектов, которая при достаточно больших запасах прочности обеспечивает приемлемую точность расчета.

Пусть известны плотности распределения нагрузки фй (и) и сопротивляемости (р*(х) (рис. 5.2).

Среднее значение сопротивляемости равно математическому ожиданию случайной величины:

Совершенно очевидно, что если нагрузка в процессе использования объекта будет приближаться к среднему значению, то надежность будет достаточно низкой. Для ее повышения предельное значение необходимо назначать в области «хвоста» распределения плотности вероятности.

Метод оценки надежности заключается в следующем: найдем некоторую точку щ = Хо, при которой фй(«) = ф*рс).

Найдем вероятности выполнения событий А{ =(й> и0) и А2 = = (х<х0). Они соответственно равны

Учитывая предположение, что нагрузка и сопротивляемость не зависят друг от друга, можно с определенным основанием утверждать, что вероятность разрушения удовлетворяет неравенству

Плотности распределения нагрузки и сопротивляемости

Рис. 5.2. Плотности распределения нагрузки и сопротивляемости

Действительно, произведение wv2 выражает вероятность одновременного выполнения двух событий: Ах =(й>и0) и А2 = (х<х0). Однако эти события не исчерпывают всех сочетаний нагрузки и сопротивляемости, при которых наступает отказ. Из рассмотрения выпадают такие события, приводящие к отказу, как А3 = (й > х) при

х > хо или при х < *о- Поэтому полученная приближенная оценка вероятности является оценкой снизу, т.е. это заниженная оценка вероятности разрушения.

Если составить произведение (1 — Wi)(l — w2), выражающее произведение вероятностей Р(й<и0) и Р(х>х0), то очевидно, что вероятность неразрушения, соответствующая этому событию, не учитывает всех событий, приводящих к неразрушению (например, события й < х при х < х0). Поэтому Р(й < х) > (1— w{ )(1— w2) является оценкой снизу для вероятности неразрушения, а вероятность 1- Р(й < х) = 1—(1—Wj )(1— w2) — оценкой сверху для вероятности разрушения.

Таким образом, двухсторонняя оценка для вероятности разрушения будет равна

Следовательно, нормативное или заданное значение показателя надежности [Дорм] должно находиться в указанном интервале.

Рассмотренный метод весьма прост, но дает интервальную оценку гарантии неразрушимости. Это вызвано следующими обстоятельствами. Несмотря на то, что точка «о = *о выбрана произвольно, верхняя и нижняя оценки зависят от ее выбора. К этому следует добавить, что при высокой надежности конструкции точка пересечения «хвостов» кривых фй (и) и ф* (х) может быть определена лишь приближенно. Отсюда и предельное значение параметра определяют приближенно из условия

Для точной оценки вероятности безотказной работы вводят функцию

названную гарантией неразрушимости. Исходя из существующих норм прочности с помощью выражения (5.15) можно рассчитать нормативное значение гарантии неразрушимости.

Для получения расчетных формул необходимо ввести ряд предположений о характере изменения нагрузки и сопротивляемости, а также о вероятностных распределениях параметров, характеризующих их.

Допустим, что:

  • • связи между конструктивными параметрами объекта, влияющими на его сопротивляемость и нагрузку, являются линейными;
  • • отклонения параметров от средних значений подчиняются нормальному распределению.

Представим случайную функцию неразрушимости как разность между сопротивлением и нагрузкой:

Введем характеристику безопасности у, являющуюся аргументом функции распределения случайной функции Ъ

В результате получим вероятность разрушения: где Ф(у) — функция Лапласа.

Отсюда следует, что с ростом характеристики безопасности у вероятность разрушения (превышения) убывает.

Если нагрузка й и сопротивляемость х являются коррелированными величинами, то благодаря принятым допущениям параметры плотности распределения функции неразрушимости выразятся в следующем виде:

mt = тяа математическое ожидание ?;

Dt =DX -2кт +Da дисперсия z

Dx дисперсия сопротивляемости;

Da дисперсия нагрузки;

к$й коэффициент взаимной корреляции нагрузки и сопротивляемости.

В случае коррелированных величин характеристика безопасности будет равна

В большинстве случаев нагрузка и сопротивляемость это некоррелированные величины. В этом случае характеристика безопасности принимает вид:

Введем понятие коэффициентов изменчивости случайных величин как отношений

Разделив выражение (5.19) на тй и используя коэффициенты изменчивости, получим

т,

где R — условный коэффициент запаса, R = ——.

т -

Следовательно, вероятность безотказной работы зависит от характеристики безопасности у, которая, в свою очередь, является функцией условного коэффициента запаса R. Назначение предельного значения параметра (нагрузки) должно проводиться исходя из требований по надежности с помощью условного коэффициента запаса

Пример. Для стали марки СтЗ со средним пределом текучести т$ — = 26,53 кН/см2 и = 2,84 кН/см2 дан коэффициент изменчивости, равный Ал = ах/тх 0,106. Если нагрузка имеет коэффициент изменчивости Ай = 0,100, то при действующем среднем напряжении и = 16 кН/см2 и коэффициенте запаса R = m^/mCl 1,67 характеристика безопасности равна

что соответствует вероятности разрушения Р(х < й) = 0,00045.

Применительно к цилиндрической оболочке полученный результат означает, что при заданных геометрических размерах давление в ней (нагрузка) должно быть меньше, чем давление, определяемое средним пределом 220

текучести — в 1,67 раза. Если этот результат не удовлетворяет заказчика продукции, то проектировщику необходимо либо заменить материал на другой с большим пределом текучести, либо увеличить толщину оболочки, либо уменьшить ее диаметр.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >