СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ И ОДИНАКОВОЙ ЧАСТОТЫ

СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ ОДИНАКОВОЙ ЧАСТОТЫ

СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ РАЗНОЙ ЧАСТОТЫ

ОСЦИЛЛЯТОР С ЗАТУХАНИЕМ

Колебательный процесс, как и любой другой, является реальным и, следовательно, необратимым. Это значит, что движение колебательной системы сопровождается энергетическими потерями. И потери эти обусловлены сопротивлением среды движению системы (материальной точки, электрического тока и т.д.) трением, а в случае электромагнитных колебаний — рассеянием потока излучения и т.д. Потеря колебательной системой энергии приводит к уменьшению амплитуды колебаний и увеличению их периода. Происходит постепенное затухание колебаний. Колебания с убывающей амплитудой называют затухающими. Чтобы поддержать в течение длительного времени колебания, необходимо к колебательной системе постоянно подводить извне энергию в количестве, компенсирующем ее расход. Такие колебания называют вынужденными.

В большинстве практических задач с необратимым осциллятором убывание амплитуды колебаний определяется трением. Величина силы трения пропорциональна скорости колеблющейся системы: F = —ци = — ids / dt, где ц — коэффициент трения, зависящий от свойств среды, формы и размеров движущегося тела, кг/с. Знак «минус» указывает на то, что сила трения уменьшает скорость движения. Чтобы получить дифференциальное уравнение для механического осциллятора с затуханием, проделаем следующие рассуждения. Прежде всего вспомним, что второй закон Ньютона в дифференциальной форме имеет вид mcFs / dt2 = F. Для механической системы в виде движущегося с трением шарика на пружине (см. рис. 13.7) баланс сил равен F= FTp + Fynp. Здесь F = —ks — упругая (восстанавливающая) сила пружины, а к — коэффициент упругости материала пружины, кг/с2. Основной закон динамики в дифференциальной форме с учетом изложенного выглядит следующим образом:

Разделив компоненты уравнения (13.8) на массу т системы и введя обозначения ц/m = 25 и к/т = C0q, запишем дифференциальное уравнение движения материальной точки массой т под действием упругой силы и силы трения в форме

где 5 = ц / (2т) — коэффициент затухания колебаний, с-1; со0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний, но при отсутствии энергетических потерь, когда 5 = 0, называемая еще частотой собственных колебаний.

Но поскольку в настоящем параграфе рассматривается осциллятор с затухающими колебаниями, то затухание нарушает периодичность колебаний и к нему неприменимы понятия периода и частоты гармонического (незатухающего) колебания. Но при малых значениях коэффициента затухания 5 допускается к пользованию понятие частоты со затухающих колебаний, которое связано с частотой оо0 собственных колебаний через коэффициент затухания 5 соотношением

Частота свободных затухающих колебаний, как очевидно из (13.10), меньше частоты оо0 собственных колебаний. При 5 « со0 можно считать колебания с затуханием близкими к гармоническим с частотой со0 = со. Тогда условный период затухающих колебаний может быть определен по формуле

Не рассматривая общих методов решения дифференциальных уравнений, отметим, что в уравнении (13.9) искомая функция s(t) отличается от первой и второй производных от s(t) лишь численными множителями. Такой функцией s(t) в самом общем случае может быть произведение показательной функции с комплексным показателем степени на синус или косинус. Решение дифференциального уравнения (13.9) подтверждает такое предположение и дает функцию s(t):

)

Подставив полученную функцию s(t) в уравнение (13.9), можно прийти к выводу, что она удовлетворяет уравнению. График функции (13.12) представлен на рис. 13.17, откуда очевидно, что колебания не являются гармоническими, так как понятие амплитуды в них присутствует условно из-за ее убывания по времени по закону А = Л^е~Ъ{.

Рис. 13.17

От величины коэффициента затухания зависят также и другие характеристики колебательного процесса.

1. При 8 < (о0 отношение амплитуд, отделенных друг от друга интервалом времени в один период, остается постоянным в течение всего процесса затухания. Это значит, что амплитуда затухающих колебаний за каждый период убывает в одно и то же число раз, называемое декрементом затухания:

2. Натуральный логарифм предыдущего отношения называют логарифмическим декрементом затухания:

  • 3. Время, в течение которого амплитуда необратимых колебаний уменьшается в е = 2,71 раза, называют временем релаксации т. Из формулы (13.12) следует, что уменьшение амплитуды в е = 2,71 раза соответствует условию 5т = 1; следовательно, т = 1 / 5.
  • 4. В теории затухающих колебаний достаточно часто используется понятие добротности колебательной системы. Добротность определяют как отношение тЗ = со0 / 25. С ростом 5 уменьшается добротность системы и частота со затухающих колебаний. Таким образом, добротность, как и коэффициент затухания, является характеристикой степени затухания колебательного процесса. При 5 > со0 трение возрастает настолько, что период колебаний становится бесконечным, а движение материальной точки теряет свою периодичность и становится апериодическим (рис. 13.18).

Рис. 13.18

 
Посмотреть оригинал