Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Агропромышленность arrow Гидравлика

МЕХАНИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЗАКОНОВ ПОДОБИЯ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПОДОБИЯ

Подобными называются явления, происходящие в геометрически подобных системах, если у них во всех сходственных точках отношения одноименных величин одинаковы.

Для механического подобия процессов это общее понятие подобия может быть разбито на три дополняющие друг друга условия о геометрическом, кинематическом и динамическом подобии.

Две системы называются геометрически подобными, если каждой точке одной системы соответствует определенная точка другой системы и расстояние между любыми точками первой системы пропорциональны расстояниям между соответствующими точками второй системы.

Таким образом, две системы геометрически подобны, если все размеры одной из них в одно и то же число раз больше сходственных размеров другой:

где XL — отвлеченное число, называемое масштабом, или константой геометрического моделирования; индексы «н» и «м» означают, что параметры относятся соответственно к натурному и модельному явлениям.

Кинематическое подобие — подобия движения. Движения двух геометрически подобных систем кинематически подобны, если время на совершение любой какой-либо части одного процесса (например, прохождение участка пути) в одно и то же число раз больше времени на совершение сходственной части другого процесса, т.е. если для всех пар таких отрезков времени справедливо соотношение

где X, — масштаб, или константа временного подобия.

Для кинематически подобных процессов могут быть вычислены масштабы всех параметров, содержащих геометрические размеры и время, например масштабы скоростей, ускорений, расходов и т.п.:

здесь Хи, Ха, XQ масштабы подобия соответственно скоростей, ускорений и расходов.

Кинематическое подобие, касаясь времени и расстояний, не затрагивает массы соответственных точек. Если и на массы или, что то же самое, на плотности веществ, участвующих в процессах, наложить условие пропорциональности, то придем к понятию о динамическом подобии.

Процессы динамически подобны, если в них наряду с кинематическим подобием плотность вещества, участвующего в одном процессе, в одно и то же число раз больше плотности сходственного вещества, участвующего в другом процессе:

Если для натурного и модельного процессов осуществлены все три условия (1.28), (1.29) и (1.33), то процессы полностью, или механически, подобны.

Для этих процессов мы можем вычислять масштабы для каких угодно параметров. Например, масштаб масс, участвующих в обоих процессах:

Масштаб сил согласно второму закону Ньютона

Масштаб давлений

Таким образом, исходными независимыми друг от друга тремя условиями полного подобия служат соотношения (масштабы)

на которых могут быть получены масштабы, или константы подобия, для всех остальных параметров процессов.

Вместо любого из основных масштабов (kL, Xt, к ) в качестве исходного может быть принят другой обязательно включающий в себя заменяемый масштаб.

Так, в практике масштаб времени Добычно заменяют масштабом

скорости Хь = —1-. Другие масштабы при этом принимают другой вид, например:

Наличие уравнений, отражающих физические связи между параметрами, определяющими процесс, накладывают определенные зависимости на константы, через которые выражаются подобия этих параметров.

Выявление этих зависимостей составляет содержание первой теоремы подобия. Примером таких связей являются полученные наиболее простые формулы (1.34)—(1.36).

Определим, какова должна быть связь между константами для двух механически подобных движений. За исходное уравнение связи при этом возьмем второй закон Ньютона.

Итак, имеем случай подобного движения двух механических систем. Оба явления должны описываться одним и тем же уравнением. Поскольку в противном случае, если бы подобие и существовало в начальный момент, оно сейчас же нарушилось бы различными математическими зависимостями.

Для точек первой системы имеем

Для сходственных точек второй соответственно

Выразим зависимость для второй точки системы через параметры первой системы и константы подобия и получим

Имеем два уравнения (1.38) и (1.38'), связывающие между собой одни и те же величины F , тн, и , t. Эти уравнения совместимы только при условии

Уравнение (1.40) показывает, что константы подобия не могут выбираться произвольно. Поскольку параметры F, т, о и t связаны уравнением (1.38), константы подобия тоже находятся в определенной связи, даваемой уравнением (1.40), так что только три из них могут быть произвольными, а четвертая определяется из равенства (1.40).

Левые части уравнения (1.40) называются индикаторами подобия, а равенство (1.40) — условием подобия. Это равенство представляет математическое выражение первой теоремы подобия, которая гласит: у подобных явлений индикаторы подобия равны единице. Выражение (1.40) является сочетанием трех основных условий (1.28), (1.30) и (1.33) в одном и устанавливает соотношение между всеми парами сходственных сил в подобных процессах.

Зависимость (1.40) выражает закон механического (полного) подобия процессов, или закон Ньютона. Согласно этому закону отношение между одноименными силами, действующими в сходственных точках, должно быть одинаковым. Одновременно это означает, что на частицы жидкости в сходственных точках потоков должны действовать силы одной и той же природы.

Напишем закон Ньютона в развернутом виде: или

F

Число —5-т = Ne безразмерное, называется критерием подобия

L р-п

или инвариантом подобия Ньютона.

Следуя уравнению (1.41), первая теорема подобия может быть сформулирована так: у подобных явлений критерии подобия численно одинаковы.

Числовые значения каждого из основных масштабов XL, X , ^опри этом могут быть любыми, однако они также должны быть постоянными.

Условие (1.41) должно быть удовлетворено для всех без исключения сходственных сил, размеров, скоростей, плотностей, которые участвуют в сопоставляемых процессах.

Пользуясь законами, определяющими физическую природу той или другой силы, можно получить критерии подобия для явлений, определяющихся этими силами.

Выведем критерий подобия для гравитационных сил. Для объема W и удельного веса у сила гравитации F=у • Wили, переходя к масштабам моделирования, получим Х= Х^ХЪЬ, но одновременно для выполнения условия подобия Xf должно определяться из (1.40), т.е.

тогда имеем откуда

Это так называемый критерий гравитационного подобия, или критерий Фруда, определяющий подобие процессов, происходящих под действием сил гравитации.

Выражение (1.42) показывает, что у подобных явлений, протекающих под действием сил гравитации, критерии Фруда одинаковы.

Проводя аналогичную ситуацию для других сил в подобных явлениях, получим:

• для вязких потоков с доминирующей силой внутреннего трения

F = р— со будет иметь место равенство критерия Рейнольдса dh

где v — коэффициент кинематической вязкости; р — коэффициент»

ент динамической вязкости;--градиент скорости в потоке; со — площадь трения; ^

• для сил поверхностного натяжения должно выполняться условие равенства критерия Вебера

где С — капиллярная постоянная;

• для сил упругости — критерий Коши

где Е — модуль упругости;

• для сил давления критерием подобия является число Эйлера

Напомним, что каждое из этих чисел характеризует условие подобия в зависимости от классов действующих сил. Одинаковость чисел Фруда, Рейнольдса, Вебера, Коши и Эйлера в подобных процессах означает соответственно равенство в обоих процессах отношений массовых сил, сил вязкости, сил поверхностного натяжения, сил упругости и сил давления силам инерции.

До сих пор все проведенные нами рассуждения касались лишь установившихся процессов. Уравнения связи, которые рассматривались при получении критериев подобия, также являлись характеристиками установившихся процессов.

При решении практических задач часто приходится иметь дело с более сложным видом движения — неустановившимся. В частности, при решении задачи моделирования насосов, турбин, водяных и воздушных винтов приходится иметь дело с подобием в неустановившихся процессах, так как поток при рассмотрении абсолютного движения при работе этих машин является неустановившимся.

Неустановившееся явление характеризуется тем, что определяющие его параметры зависят не только от пространственных координат, но и от времени. С течением времени при неустановившемся движении характер процессов меняется.

Поэтому для неустановившихся процессов помимо рассмотренных выше условий для полного механического подобия необходимо соблюдение подобия изменения явлений во времени, т.е. подобие состояний движения.

Мгновенное состояние заданного неустановившегося движения можно определять значением времени t.

При этом начало отсчета для времени должно быть выбрано так, чтобы для разных движений положение систем и состояния движений в момент t = 0 бьши бы подобны. Например, при колебательных движениях положение точки и направление ее движения должны соответствовать.

Пусть L, и, /суть характерный размер, характерная скорость в рассматриваемый момент времени. Подобные, или соответствующие, состояния движения для процессов подобны в целом, определяются

значением безразмерного параметра = Я0,именуемого критерием

гомохронности. Этот критерий указывает промежутки времени, в которые явления подобны между собой.

Для подобных неустановившихся процессов критерий гомохронности

Заметим, что в общем случае турбулентные потоки представляют неустановившийся вид движения.

Основной вывод проведенного физического анализа механического подобия состоит в том, что следствием подобия процессов является равенство масштабов моделирования, или констант подобия (XL, X , Xv и т.д.), и одинаковость критериев подобия, или инвариантов подобия (Fr,Rg, Саи т.д.).

Сказанное составляет смысл первой теоремы подобия.

Отметим разницу между масштабом моделирования (константой подобия) и критерием подобия (инвариантом подобия), которая особенно ясна при рассмотрении группы подобных явлений.

Константа подобия сохраняет постоянство значения во всех точках двух подобных систем, но она изменяет свое значение, когда одна пара подобных явлений заменяется другой.

Инвариант подобия, наоборот, различен для разных точек системы, поскольку он характеризует явление, происходящее в данной точке процесса, но он не меняется для сходственных точек при переходе от одного процесса к любому другому, подобному ему.

Рассматривая подобие двух механических систем, движение в которых определяется вторым законом Ньютона, было установлено, что уравнение (1.38) при переходе к другой системе единиц остается неизменным, так как множители X в обоих частях уравнения вышли в виде общих множителей и могут быть сокращены.

Легко видеть, что подобным свойством обладают все формулы, имеющие вид степенного одночлена и одинаковую размерность левой и правой частей.

Функции, обладающие таким свойством, называются гомогенными.

Свойство функций оставаться неизменными при подобном преобразовании их параметров называется инвариантностью.

Свойствами гомогенности, кроме степенного одночлена, обладает также сумма степенных комплексов, состоящих из членов одинаковой размерности, так что сомножитель, составленный из чисел X, выйдет из суммы их в виде общего множителя.

Трансцендентная функция подчиняется этому правилу в случае, когда она имеет аргументами безразмерные числа. В этом случае трансцендентная функция остается без изменения (инварианта) только тогда, когда сомножитель каждого аргумента функции, полученный из констант подобного преобразования, будет равен единице. Примером может служить равенство (1.40).

При таком частном случае гомогенности, когда сомножители при аргументах равны единице, функции называются однородными, или множимыми, а равенство (1.40) — условиями однородности функции.

Из теории размерности известно, что любое однородное уравнение может быть представлено в виде зависимости между безразмерными степенными комплексами, составленными из величин, входящих в уравнение.

Физические уравнения, написанные в абсолютной или другой системе единиц, подчиняются правилам однородности, отсюда вытекает следствие, что они могут быть представлены в виде зависимости между безразмерными степенными комплексами. Это и есть сущность второй теоремы подобия.

Для случая когда в уравнении отсутствуют дифференциальные операторы, преобразование его к безразмерному виду переводит уравнение непосредственно в критериальное, т.е. в уравнение, составленное из критериев подобия. Такое уравнение вследствие равенства критериев подобия для подобных процессов численно одинаково для подобных явлений.

В случае дифференциальных уравнений такой простой результат не получается, так как знаки дифференциалов препятствуют непосредственному объединению множителей безразмерных комплексов в критерии, составленные из конечных величин.

В общем виде вторая теорема подобия гласит, что система уравнений, допускающих подобное преобразование, т.е. описывающих группу подобных явлений (в этом случае она буквенно одинакова для этих явлений), может быть преобразована в систему уравнений, численно одинаковых для всей группы, между критериями и симплексами переменных величин и постоянных, входящих в условия однозначности.

Под симплексами понимается отношение одноименных физических величин, входящих в уравнение. Пол условиями однозначности — начальные и граничные условия, которые определяют данное явление и выделяют его как таковое среди других явлений.

Рассмотренные первые две теоремы теории подобия посвящены изучению свойств и характеристик подобных процессов. Они исходят из существования подобия как заведомо известного факта.

Задачей третьей теоремы подобия является установление признаков, необходимых и достаточных для наличия подобия между явлениями.

Положим, что мы имеем явление (назовем его первым), которое мы считаем изученным, а свойства его — известными. Известны должны быть и его условия однозначности, которые выделяют это явление из группы ему подобных.

Пусть имеется и второе явление, подобие которого с первым мы должны установить.

Чтобы быть подобным, оно должно принадлежать к той группе подобных явлений, что и первое, следовательно, оно должно протекать в геометрически подобных условиях и подчиняться тем же уравнениям, что и первое. Так как условия однозначности, или условия моновалентности, определяют характер протекания процессов, то отсюда второе условие подобия явлений — подобие условий однозначности (моновалентности). Естественно, что геометрическое подобие может быть отнесено к подобию условий однозначности.

Как было показано, выбор констант подобия для наличия подобных процессов не произволен, так как условие тождественности уравнений связи требует, чтобы индикаторы подобия, полученные из уравнений, равнялись единице.

Среди индикаторов рассматриваемой группы могут оказаться такие, которые составлены только из констант моновалентов (величин, входящих в условия однозначности).

Третья теорема подобия утверждает, что добавление к первым двум условиям требования равенства единице индикаторов, составленных из констант величин, входящих в условия однозначности или, что то же самое, требование равенства критериев, составленных из этих величин, достаточно для того, чтобы явления оказались подобными.

Таким образом, согласно третьей теореме теории подобия подобны явления, которые происходят в геометрически подобных системах, подчиняются одним и тем же уравнениям связи, у которых одноименные величины подобны (находятся в численно постоянном отношении) и составленные из них критерии равны.

Не останавливаясь на доказательстве этой теоремы, которое можно найти в специальной литературе, отметим различие между категориями подобия, которое вытекает из третьей теоремы. Критерии подразделяются на определяющие и неопределяющие.

К категории определяющих критериев относятся критерии, составленные из величин, входящих в условия однозначности, а к категории неопределяющих — из величин, не входящих в условия однозначности или из первых и вторых. Тождественность критериев неопределяющей категории — не предпосылка, а следствие наличия подобия. Каждый из критериев, в состав которых входят величины, не связанные с условиями однозначности, представляет собой однозначную функцию определяющих критериев.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К РАЗДЕЛУ 1

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы