Применение моделей с отрицательным лагом при прогнозировании объёма ВВП текущего года

Для приведения примера такого прогнозирования нами выбрана модель (8.6) Yn = Кп,(>ч * Ln+1'284 * 1п+302,< имеющая высокие объясняющие характеристики. Опишем пошагово методику прогнозирования ВВП 2010 г. с помощью этой модели. Напомним, что все расчеты проводятся в сопоставимых ценах 2001 года.

Шаг 1. Определение прогнозных значений всех факторов на 2010 г.

Прежде чем выполнить прогноз объясняемой переменной, необходимо получить прогнозные значения используемых в модели факторов. Прогнозные трендовые значения всех показателей на 2010 г. мы имеем, они рассчитаны с помощью авторегрессионных моделей в главе 6:

  • (6.4) Кп = 0,993 * Кп , соответственно К,Г)|0 = 44.865 млрд. грн. в ценах 2001 г.;
  • (6.5) Ln = 38,332 + 0,687 * Ln ,, L,010= 115.261 млрд. грн. в ценах 2001 г.;
  • (6.12) 1п = 1,183 * In г таким образом 12010 = 5,587 млрд. грн. в ценах 2001 г.

Но нам ещё необходимо спрогнозировать значения объёма применённого живого труда на 2011 г. и расходов на НИОКР и инновации на 2013 г. соответственно.

Шаг 2. Нахождение прогнозных значений факторов труда и информации на 2011 г.

Для прогнозирования значения L,0]1 строим скользящий тренд для авторегрессионной модели первого порядка, который включа-

ет такое же количество наблюдений, как и для модели (6.5), но уже с 2002 по 2010 г., при этом для последнего года значение Ln, равно спрогнозированному трендовому значению Ц01О. Иначе говоря, мы прибавляем найденное прогнозное значение к динамическому ряду наблюдений (так, как если бы это и было наблюдаемое значение данной переменной за 2010 год), отбрасываем первое (самое раннее) наблюдение и по динамическому ряду той же длины строим новый тренд. Практика прогнозирования различных динамических рядов показывает, что описанный метод скользящих локальных трендов дает наилучшие прогнозные результаты для трендов различной кон- фигурации: логистических, линейно-гармонических и прочих [1;2;4].

В результате полу чаем новую адекватную и значимую авторегрессионную модель, характеристики которой приведены в таблице 8.12:

Для этой модели R2 = 0,625, F-критерий значим и оба Р-значения меньше 0.05. т.е. её можно применять для прогнозирования, хотя объясняющие характеристики по сравнению с моделью (6.5) ухудшились.

Таблица 8.12

Эконометрические характеристики линейной авторегрессионной модели (8.10) типа AR(1) заработной платы лиц, работающих по найму для Украины 2002 -2010 гг.

Регрессионная статистика

Множественный R

0,790696

R-квадрат

0,625199

Нормированный R-квадрат

0,571657

Стандартная ошибка

6,971079

Наблюдения

9

Дисперсионный анализ

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

1

567,4354

567,4354

11,67659977

0,011179

Остаток

7

340.1716

48,59594

Дисперсионный анализ

Итого 8

907,607

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t

-статистика

Р

-значение

L-пересечение

53, И 307

19,03176

2,79076

0,02687893

__

0.563937

0,165034

3,417104

0,01117932

С помощью модели (8.10) мы получили прогнозное трендовое значение объёма живого труда, который будет применён в производстве в 2011 г.:

Цоп = 53,113 + 0.564 * 115,261 = 118,113 (млрд. грн. в ценах 2001 г.).

Попытки аналогичным образом получить адекватную линейную авторегрессионную модель первого порядка для фактора расходов на НИОКР и инновации по данным с 2002 по 2010 г. (для последнего — прогнозное значение) привела к построению модели 1п = 3,856 - 0,086 * 1пкоторая оказалась неадекватной: R2 = 0,004, F = 0,030 при Frp = 5,591 и оба Р-значення больше 0.05.

Также нам не удалось построить адекватную и значимую авторегрессионную модель второго порядка с 2003 по 2010 г. Для модели 1п = 3,066 - 0,194 * 1п, эконометрические характеристики составили: R2= 0,021, F = 0,133 при F^ = 5,987 и оба P-значения больше 0,05.

В то же время авторегрессионная модель типа AR(3) для фактора информации после исключения свободного члена (уровень доверия к которому был недостаточен) адекватна и имеет вид:

Эконометрические характеристики модели, представленные в таблице 8.13, подтверждают её адекватность и значимость: R2 = 0,969, критерий Фишера равен 187.889 и P-значение для I составило 9,37 * 10 °.

Таблица 8.13

Эконометрические характеристики линейной авторегрессионной модели (8.11) типа AR(3) расходов на инновации без свободного члена для Украины 2004-2010 гг.

Регрессионная статистика

Множественный R

0,984406

R-квадрат

0,969054

Нормированный R-квадрат

0,802388

Стандартная ошибка

0,756185

Наблюдения

7

Дисперсионный анализ

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

1

107.4379

107,4379

187,8889

3,70765Е-05

Остаток

6

3,430897

0,571816

Итого

7

110.8688

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-

статистнка

Р-

значение

1-пересечение

_Lj_

1,181835

0,08622

13,70726

13,70726

Пользуясь этой моделью, мы рассчитали прогнозное значение данного фактора на 2011 г.:

1,оп = 1,182 * 4.060 = 4,798 (млрд. грн. в ценах 2001 г.).

При этом значение Гп ; взято по фактическим данным 2008 г.

Шаг 3. Вычисление прогнозного значения объема расходов на инновации за 2012 г.

Далее нами исключён из выборки 2002 г., добавлено полученное на предыдущем шаге значение за 2011 г. и проведена проверка возможности построения адекватной авторегрессионной модели типа AR(1). Модель представляется в виде: 1п = 3,542 - 0,081 * I , для

неё R2 = 0.007, критерий Фишера равен 0.049 и Р-значение для 1п, составило 0,831, т. е. модель неадекватна и незначима.

При попытке построить адекватную авторегрессионную модель типа AR(2) с 2004 по 2011 гг. мы получили 1п = 4.765 - 0,237 * lit_2. Эта модель также неадекват на, поскольку её характеристики следующие: R2 = 0,035, F = 0,217 и P-значение для 1п . равно 0,658.

В то же время модель авторегрессии третьего порядка для фактора информации с 2005 по 2011 год после исключения свободного члена получилась адекватной и значимой:

Модель адекватна, так как для неё R2 = 0,975. критерий Фишера равен 232,804 при Fk = 6.608 и Р-значсние для 1п. составило 5 * 10 6 (см. таблицу 8.14). Полученные в ходе прогнозирования результаты еще раз подтверждают вывод, сделанный на основании расчетов в главе 6: динамический ряд объема расходов на инновации представляет собой авторегрессионную функцию глубиной в 3 года.

Таблица 8.14

Эконометрические характеристики линейной авторегрессионной модели (8.12) типа AR(3) расходов на инновации без свободного члена для Украины 2005-2011 гг.

Регрессионная статистика

Множественный R

0,987358

R-квадрат

0,974875

Нормированный R-квадрат

0.808208

Стандартная ошибка

0,714492

Наблюдения

7

Дисперсионный анализ

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

1

118,8464

118,8464

232.8044

2,19302Е-05

Остаток

6

3,062995

0.510499

Итого

7

121,9094

Коэффи

циенты

Стандартная ошибка

t-

статистика

Р-

значение

1-пересечение

_Li_

1,165514

0,076387

15,25793

5Е-06

По функции (8.12) при подстановке значения соответствующего фактора — расходов на инновации за 2009 г. — мы получили прогноз на 2012 г.:

Шаг 4. Определение прогноза фактора информации на 2013 г.

Найденное ранее значение добавляем к предыдущей выборке, выбрасывая из неё 2005 год. Выборку проверяем на изменение тренда. Для этого снова сначала пытаемся построить адекватные авторегрессионные модели низшего порядка. Для модели 1п = 4,636 - 0,207 * 1п , типа AR(1), полученной по данным с 2004 по 2012 гг., имеем такие характеристики: R2 = 0,044. F - 0,319, P-значение для 1п ( равно 0,59, модель неадекватна и незначима.

Для модели типа AR(2), построенной с использованием динамических рядов с 2005 по 2012 гг. в виде функции I = 5,799 - 0,514 * * 1п_, имеем: R2 = 0,241, F = 1,9, а P-значение для 1п_, равно 0,216. Эта модель также неадекватна и уровень доверия к коэффициенту при объясняющей переменной невысок.

Опять для объёма расходов на инновации оказалась адекватной и значимой модель авторегрессии третьего порядка без свободного члена:

Адекватность модели подтверждается её характеристиками, представленными в таблице 8.15: R2 = 0,977, F = 260,385, Р-значение для 1 . составило 3,6 * 10 6.

п 3 ’

Таблица 8.15

Эконометрические характеристики линейной авторегрессионной модели (8.13) типа AR(3) расходов на инновации без свободного члена для Украины 2006—2012 гг.

Регрессионная статистика

Множественный R

0,988674

R-квадрат

0,977476

Нормированный R-квадрат

0,81081

Стандартная ошибка

0.662961

Наблюдения

7

Дисперсионный анализ

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

1

114,4436

114.4436

260,3846

1,66556Е-05

Остаток

6

2,637104

0.439517

Итого

7

117,0807

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-

статистика

Р-

значение

1-пересечение

_LtJ_

1,147485

0.071111

16,13644

3.6Е-06

Теперь вычислим искомое прогнозное значение на 2013 г с помощью модели (8.13) и прогнозного значения на 2010 г. в качестве фактора:

Шаг 5. Прогнозирование значения объясняемой переменной на 2010 г.

Прежде всего сформируем динамические ряды, содержащие значения ВВП с 1995 по 2010 гг и соответствующих факторов модели (8.6), включая найденные прогнозы, они представлены в таблице 8.16.

Таблица 8.16

Динамика показателей макросистемы Украины с трендовыми прогнозами в ценах 2001 года

п

Y

л

К

п

1995

206,585

3.554

77,634

2,172

1996

185,865

28.630

87,631

2,102

1997

180,249

23,940

84.917

2,249

1998

176.686

24,039

78,247

2,433

1999

176,471

23,746

79,051

2.485

2000

186,907

25,969

86,440

2,696

2001

204,190

32,573

98,113

3,462

2002

214,853

35,374

107.647

3,527

2003

232,728

44,941

120,202

3.290

2004

263,247

57,802

132,818

4.724

2005

270,696

57,086

127,463

4,060

2006

290.655

66.903

121.441

2,367

2007

313,751

82.052

124.026

5,587

2008

320,926

78.900

111,970

4,659

2009

272,332

45.187

115,261

2,716

2010

44,865

118,113

6,412

Поскольку модель (8.6) является нелинейной, прежде всего мы определим возможную смещённости её оценок, рассчитав коэффициенты корреляции остатков регрессии с каждым из факторов: для Кп коэффициент равен 0,429, для Ц , 0,278, а для I ., 0,581, т. е. оценки смещены как раз относительно фактора информации.

Также нами проведен тест Глейзера, с помощью которого мы устанавливаем факт гетероскедастнчности. Но нему для Кп значения критерия Стьюдента составили tn = 2.022 и t( = —1.35; для Ln , t0 = 1.220 и t1 = -1,104 для ln+1 tt) = 2,496 и t, = -1,556, при этом tfcp = 2,16, т. е. модель гетероскедастична опять же по фактору информации, взятому с отрицательным трёхлетним лагом.

Тем не менее, несмотря на установленные факты, определим трендовый прогноз на 2010 г, пользуясь формулой (8.6):

Y,0]0 = 44,865-0,09 * 118,1131,289 * 6,412-0,236 = 214,527 (млрд. грн. в ценах 2001 г.).

Фактическое значение объёма ВВП за 2010 г. равно 283,381 млрд. грн. в ценах 2001 г., соответственно относительная ошибка трендового прогноза на 2010 г. составляет -24,3%.

Рассчитав предельную ошибку прогноза по формуле (6.14), мы получили значение 0,164. Отняв и прибавив его к трендовому прогнозу линеаризованной модели, а затем потенцируя результат, имеем доверительный интервал прогноза на 2010 г. в ценах 2001 г.:

182,153 млрд. грн. < Y,0|0 < 252,654 млрд. грн.

Таким образом, реальное значение ВВП за 2010 г. даже не попадает в доверительный интервал прогноза. Частично мы это можем объяснить смещённостью оценок тренда и, соответственно, внести коррективы в прогноз, пользуясь поправкой к прогнозу для объясняемой переменной Yn, вычисленной по формуле (6.16). В нашем случае (мы вычисляем ее по линеаризованной версии исходной модели (8.6)) она составила Y,0)p"onp = 0,236. Прибавив поправку к трендовому прогнозу той же линеаризованпрной модели и потенцируя результат, мы получили значение прогноза с поправкой, равное 271,574 млрд. грн. в ценах 2001 г. Для него относительная ошибка прогноза находится в допустимых пределах и составляет -4.2%. Этот факт ещё раз доказывает необходимость внесения такой поправки при наличии смещённости оценок тренда.

Так как при использовании для прогнозирования трендовых значений факторов мы установили гетероскедастичность модели именно по фактору информации, для которого, как отмечалось в главе 6, наблюдается излом тренда, попробуем использовать тот же алгоритм прогнозирования, но с использованием поправочных значений этого фактора.

Шаг 1. Определение прогнозных значений всех факторов на 2010 г.

Для факторов объёма инвестиций в основной капитал и объёма применённого живого труда используем те же трендовые прогнозные значения на 2010 г.:

К,0)0 = 44,865 млрд. грн. в ценах 2001 г.;

Чою = ^ * 5,261 млрд. грн. в ценах 2001 г.

В то же время для фактора информации нам необходимо именно значение с поправкой на отклонение, которое, как отмечено в п. 6.2.4. равно I,(il0npnp = 5,080 млрд. грн. в ценах 2001 г.

Шаг 2. Нахождение прогнозов факторов труда и информации на 2011 г.

Выполняя шаг 2 предыдущего алгоритма, мы уже получили прогнозное трендовое значение вовлеченного живого труда 2011 года в объеме 118,113 млрд. грн. в ценах 2001 г.

При попытке построить авторегрессионную модель первого порядка для определения прогноза расходов на НИОКР и инновации в 2011 г. мы вновь применяем метод скользящих локальных трендов, т. е. из совокупности наблюдений исключаем 2001 год и дополняем их данными за 2010 г., таким образом, количество наблюдений остаётся прежним. При этом прогнозное значение In t составляет 5,080 млрд. грн. в ценах 2001 г. Построенная модель авторегрессии первого порядка 1п = 3,533 - 0,004 * 1^,, как другие подобные ей, оказалась неадекватной, в ней: R- = 1,05 * 10 5, F = 7,3 * 10 5 при FKp = 5,591 и P-значение для 1п , равно 0.993.

Авторегрессионная модель типа AR(2) 1 = 3,279 - 0,111 * I , построенная по данным с 2003 по 2010 г., оказалась не намного более адекватной: R: = 0,009. F = 0,055 при FKp = 5,987 и оба Р-значения больше 0,05.

Модель типа AR(3) для фактора информации оказалась адекватной и значимой лишь после исключения свободного члена:

Для неё R2 = 0,966, критерий Фишера равен 169,324 при Fk)>=6,608 и P-значение для 1правно 1.27 * 10-5 (таблица 8.17).

Таблица 8.17

Эконометрические характеристики линейной авторегрессионной модели (8.14) типа AR(3) расходов на инновации с поправочными значениями без свободного члена для Украины 2004-2010 гг.

Регрессионная статистика

Множественный R

0.98274

R-квадрат

0,965778

Нормированный R-квадрат

0.799111

Окончание таблицы 8.17

Регрессионная статистика

Стандартная ошибка

0,775551

Наблюдения

7

Дисперсионный анализ

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

1

101,8446522

101.8446522

169,3238

4,78Е-05

Остаток

6

3,608872037

0,601478673

Итого

7

105,4535242

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-

статистика

Р-

значение

1-пересечение

_Li_

1,150661

0,088427697

13.01244774

1.27Е-05

Пользуясь этой моделью, мы рассчитали прогнозное значение фактора информации на 2011 г.:

Значение 1п 3 взято по фактическим данным 2008 года.

Поскольку для дальнейшего прогнозирования нам необходим прогноз с поправкой на отклонение, мы найдём поправку по формуле (6.16), и она равна -0,494 млрд, грн., таким образом, поправочное значение 120||,,г>пр - 4,178 млрд. грн. в ценах 2001 г.

Шаг 3. Вычисление прогнозного значения объема расходов на инновации за 2012 г.

Снова исключаем из выборки 2002 г., добавляем 2011 г. с поправочным значением In и проверяем возможность построения адекватной авторегрессионной модели типа AR(1). Исходя из параметров построенной модели 1п = 3.768 - 0.017 * lftона неадекватна и незначима: R2 = 3,3 * 10 F = 0.002. P-значение для 1п , равно 0.963.

Модель типа AR(2) с 2004 по 2011 гг. с поправочными значениями имеет вид 1п = 4,463 - 0.189 * 1п,. Характеристики модели составили: R2 = 0,035, F = 0,217 и P-значение для 1п, равно 0,658, т. е. она также неадекватна и незначима.

После исключения свободного члена по данным, включающим прогнозы с поправкой, с 2005 по 2011 год мы получили адекватную и значимую модель:

Её эконометрические характеристики представлены в таблице 8.18: R2 — 0,971, F = 197,936 и P-значение для ]ft} составило 8,05 * 10'6.

Таблица 8.18

Эконометрические характеристики линейной авторегрессионной модели (8.15) типа AR(3) расходов на инновации с поправочными

значениями без свободного члена для Украины 2005-2011 гг.

Регрессионная статистика

Множественный R

0,98518

R-квадрат

0,970579

Нормированный R-квадрат

0.803912

Стандартная ошибка

0,737518

Наблюдения

7

Дисперсионный анализ

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

1

107,6639769

107,6639769

197,936

3,26Е-05

Остаток

6

3,263600087

0,543933348

Итого

7

110,927577

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-

статистпка

Р-

значение

1-пересечение

_

1,109327

0,078849194

14,06897202

8,05 Е-06

Из модели (8.15), в которой фактором является объем вовлеченной информации за 2009 г., мы получаем прогноз на 2012 г.:

Поправка на отклонение для него составила -0.420 млрд, грн., т. е. поправочное значение 12012попр = 2,205 млрд. грн. в ценах 2001 г.

Шаг 4. Определение прогноза фактора информации на 2013 г.

Значение прогноза с поправкой на 2012 г. добавляем к предыдущей выборке, выбрасывая из неё 2003 г., и строим модель авторегрессии первого порядка: 1п = 4,865 - 0,326 * 1^,. Она также неадекватна и незначима, поскольку: R2 = 0,089, F = 0,686, P-значение для l)v_, равно 0,435.

Модель второго порядка, построенная с использованием динамических рядов с 2005 по 2012 гг, где данные за 2010-2012 гг. являются поправочными прогнозными значениями, имеет вид: 1п = 5.294 - 0,466 * 1п „ и дтя неё R2 = 0,21, F = 1,858, а P-значение для 1п, составляет 0,215.

Модель третьего порядка, построенная по динамическим данным с 2006 по 2012 г., которые включают предыдущие прогнозные значения с поправками, без свободного члена (он оказался незначим) выглядит следующим образом:

В таблице 8.19 представлены характеристики, указывающие на её адекватность и значимость: R2=0,973, F=219,527, P-значение для In s равно 5,9*10"6.

Таблица 8.19

Эконометрические характеристики линейной авторегрессионной модели (8.16) типа AR(3) расходов на инновации с поправочными значениямибез свободного члена для Украины 2006-2012 гг.

Регрессионная статистика

Множественный R

0,986608

R-квадрат

0,973396

Нормированный R-квадрат

0,806729

Стандартная ошибка

0,676958

Наблюдения

7

Дисперсионный анализ

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

1

100,6030494

100.6030494

219,527

2,53Е-05

Остаток

6

2,749631743

0,458271957

Итого

7

103,3526811

Коэффи

циенты

Стандартная ошибка

t-

статистика

Р-

значение

1-пересечение

i,_

1,075863

0,072612775

14,8164422

5.94Е-06

Таким образом, подставляя в формулу (8.16) соответствующие значения, имеем трендовый прогноз на 2013 г.:

Поправка на отклонение, вычисленная, как всегда, в соответствии с формулой (6.16), в этом случае равна -0,311 млрд, грн., а прогнозное значение фактора информации с поправкой составило I2oi"°np = 2,235 млрд. грн. в ценах 2001 г.

Шаг 6. Прогнозирование значения объясняемой переменной на 2010 г.

Заменим в таблице 8.16 последние четыре значения в последнем столбце на прогнозные значения фактора 1пв с поправкой, вычисленные на предшествующих шагах данного алгоритма (начиная с 2007 г. — оно равно 5.080 млрд. грн. в ценах 2001 г. и далее соответственно на 2008 г. — 4,178 млрд, грн., на 2009 г. — 2,205 млрд, грн. и на 2010 г. — 2.235 млрд. грн.).

Коэффициенты корреляции остатков регрессии с каждым из факторов составили: для Кп 04Ь, для Ln4 °-250, для li t, °-506, оценки модели также смещены по фактору информации.

Тест Глейзера показал такие результаты: для Kn t° = 1,951. t1 = -1.296; для L t° = 1,132, t1 = -1,018 и для 1 . t° = 2.091, t1 =-1.232 при t =2.16. т. e. мы избавились от гетероскедастичности оценок, использовав прогнозы с поправкой на отклонение от тренда.

По формуле (8.6) определим трендовое значение прогнозируемой переменной Y на 2010 год:

Относительная ошибка прогноза для него составляет -2,9%. Итак, внеся поправку в прогнозируемые данные фактора, мы получили намного более качественный трендовый прогноз объясняемой переменной. В этом случае введение поправки к прогнозному значению самого ВВП, но нашему мнению, абсолютно излишне.

Предельная ошибка прогноза составляет 0,152. Отняв и прибавив её к трендовому прогнозу линеаризованной модели, а затем потенцируя результат, мы получили доверительный интервал прогноза на 2010 г. в ценах 2001 г.:

236,467 млрд. грн. < Y20)0 < 320,284 млрд. грн.

Таким образом, реальное (наблюдаемое) значение ВВП 2010 года находится в самой середине доверительного интервала прогноза.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >