Математическое планирование эксперимента
В работе с целью получения зависимостей свойств магнезиальных матриц от выбранного компонентного состава и определение его оптимального состава, использовали математическое планирование эксперимента, включающее: выбор и обоснование плана эксперимента, проведение опытов по выбранному плану с необходимым количеством повторов, математическую обработку результатов эксперимента с целью получения регрессионных зависимостей, анализ полученных зависимостей [111-114]. Компьютерная обработка экспериментальных данных проводилась с использованием статистического пакета «STATISTICA» и Microsoft Excel 2010.
Математическое описание механизмов регрессионного анализа:
где у — ожидаемое значение отклика;
хt,i = 1 — наблюдаемые значения факторов;
b;,i = 0,1,...,/: — коэффициенты регрессии;
е— случайная составляющая (ошибка), причем:
- 1) факторы — случайные величины;
- 2) среднее значение ошибки равно 0;
- 3) дисперсия ошибок постоянна (условие гомоскедастичности);
- 4) ошибки не коррелируют (отсутствие автокорреляции);
- 5) ошибки нормально распределены;
- 6) число наблюдений (объем выборки N) существенно больше числа факторов к.
Обозначения:
наблюдаемых значений от предсказанных по уравнению регрессии).
Расчет коэффициентов регрессии основан на идее метода наименьших квадратов, который заключается в минимизации суммы квадратов отклонений наблюдаемых значений отклика от ожидаемых:
Для нахождения минимума такого выражения надо взять частные производные по каждому коэффициенту регрессии и приравнять их к нулю.
Коэффициенты регрессии: В = {хтх) • XTY.
Стандартные ошибки коэффициентов регрессии:
где (хтхУи — диагональный элемент матрицы [хт • X) .
- 95% доверительные интервалы для коэффициентов регрессии:
- (bi - Гришин. • SEb; 'А + Гришин. ? SEbt )> где Критич. ~ значение распределения Стьюдента при уровне значимости а = 0,05 и числе степеней свободы df = N - к - 1. В Microsoft Excel 2010 tKpumm =
= СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(а;^) .
Значимость коэффициентов регрессии (влияние факторов):
- 1) выдвинуть гипотезу Но о том, что г-й фактор не влияет на отклик
- (H0/bi = 0);
- 2) вычислить статистику критерия: |^| = ——;
SEbt
3) статистика критерия имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы df = N - к - 1. В Microsoft Excel 2010 фактический
уровень значимости афакт = СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х ;
4) если <Хфакт > 0,05, то Н0 принимается.
Таблица 4.1
Таблица дисперсионного анализа (ANOVA)
|
Вариация |
Сумма квадратов |
Число степеней свободы (df) |
Средний квадрат |
|
Факторная |
|
|
|
|
Остаточная |
|
|
|
|
Общая |
|
|
|
Множественный коэффициент детерминации: R2 =-—.
З^Общ
Скорректированный коэффициент детерминации:
Значимость уравнения регрессии:
- 1) выдвинуть гипотезу Н0 о незначимости уравнения регрессии;
- 2) вычислить статистику критерия
- 3) статистика критерия имеет распределение Фишера с числом степеней свободы df0 и dfQcm. В Microsoft Excel 2010 фактический Уровень значимости ССфакт =F.PACII.nX (F;df0;dfOcm).
- 4) если <Хфакт > 0,05, то Н0 принимается.
