Математическое планирование эксперимента

В работе с целью получения зависимостей свойств магнезиальных матриц от выбранного компонентного состава и определение его оптимального состава, использовали математическое планирование эксперимента, включающее: выбор и обоснование плана эксперимента, проведение опытов по выбранному плану с необходимым количеством повторов, математическую обработку результатов эксперимента с целью получения регрессионных зависимостей, анализ полученных зависимостей [111-114]. Компьютерная обработка экспериментальных данных проводилась с использованием статистического пакета «STATISTICA» и Microsoft Excel 2010.

Математическое описание механизмов регрессионного анализа:

где у — ожидаемое значение отклика;

хt,i = 1 — наблюдаемые значения факторов;

b;,i = 0,1,...,/: — коэффициенты регрессии;

е— случайная составляющая (ошибка), причем:

  • 1) факторы — случайные величины;
  • 2) среднее значение ошибки равно 0;
  • 3) дисперсия ошибок постоянна (условие гомоскедастичности);
  • 4) ошибки не коррелируют (отсутствие автокорреляции);
  • 5) ошибки нормально распределены;
  • 6) число наблюдений (объем выборки N) существенно больше числа факторов к.

Обозначения:

наблюдаемых значений от предсказанных по уравнению регрессии).

Расчет коэффициентов регрессии основан на идее метода наименьших квадратов, который заключается в минимизации суммы квадратов отклонений наблюдаемых значений отклика от ожидаемых:

Для нахождения минимума такого выражения надо взять частные производные по каждому коэффициенту регрессии и приравнять их к нулю.

Коэффициенты регрессии: В = тх) • XTY.

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии:

где тхУи — диагональный элемент матрицы тX) .

  • 95% доверительные интервалы для коэффициентов регрессии:
    • (bi - Гришин.SEb; 'А + Гришин. ? SEbt )> где Критич. ~ значение распределения Стьюдента при уровне значимости а = 0,05 и числе степеней свободы df = N - к - 1. В Microsoft Excel 2010 tKpumm =

= СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(а;^) .

Значимость коэффициентов регрессии (влияние факторов):

  • 1) выдвинуть гипотезу Но о том, что г-й фактор не влияет на отклик
  • (H0/bi = 0);
  • 2) вычислить статистику критерия: |^| = ——;

SEbt

3) статистика критерия имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы df = N - к - 1. В Microsoft Excel 2010 фактический

уровень значимости афакт = СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х ;

4) если <Хфакт > 0,05, то Н0 принимается.

Таблица 4.1

Таблица дисперсионного анализа (ANOVA)

Вариация

Сумма квадратов

Число степеней свободы (df)

Средний квадрат

Факторная

Остаточная

Общая

Множественный коэффициент детерминации: R2 =-—.

З^Общ

Скорректированный коэффициент детерминации:

Значимость уравнения регрессии:

  • 1) выдвинуть гипотезу Н0 о незначимости уравнения регрессии;
  • 2) вычислить статистику критерия

  • 3) статистика критерия имеет распределение Фишера с числом степеней свободы df0 и dfQcm. В Microsoft Excel 2010 фактический Уровень значимости ССфакт =F.PACII.nX (F;df0;dfOcm).
  • 4) если <Хфакт > 0,05, то Н0 принимается.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >