Развитие математического мышления младших школьников в учебном процессе в начальной школе

Развитие пространственного мышления как основа развития математического мышления младшего школьника

Учитывая то, что психологические закономерности развития познавательной сферы ребенка (восприятие, внимание, память, воображение, мышление) тесно связаны с возрастной периодизацией, можно отметить, что сам процесс развития ребенка обусловливает необходимость активизации формирующей работы педагога над тем или иным видом мышления в сенситивные к такой работе периоды жизни учащегося. Мы полагаем, что необходимость формирования и развития пространственного мышления в сенситивный для этого типа мышления период является естественной необходимостью с точки зрения возрастной периодизации развития ребенка - этот период минует, и попытки решения этой проблемы в более старшем возрасте (когда ею начинает заниматься учитель математики в старших классах) уже не будут происходить в столь благоприятных для самого ребенка условиях. Практика показывает, что, в частности, несмотря на профессиональные старания в этом направлении учителя математики, невысокий уровень развития пространственного мышления и пространственного воображения ученика обычно является для него практически непреодолимым камнем преткновения при изучении черчения и стереометрии. Пытаться начинать формирование пространственного мышления у 15-летнего школьника, рассчитывая на то, что это можно будет сделать быстро, - задача практически невыполнимая. Если же принять за отправную точку положение о том, что младший школьный возраст является наиболее благоприятным для формирования как базовой, так и операциональной стороны пространственного мышления, то возникает необходимость решения методической проблемы развития пространственного мышления в начальных классах средствами предмета «математика» (поскольку других предметов, могущих взять на себя часть решения этой проблемы, в начальных классах нет).

К сожалению, среди учителей начальных классов широко распространено мнение, что формирование пространственного мышления ребенка не является задачей математического образования в начальных классах. Опросы учителей начальных классов на курсах повышения квалификации показывают, что практически никто из них вообще не упоминает эту проблему среди первоочередных проблем математического образования ребенка в начальной школе. Традиционно считается, что формирование пространственного мышления школьника является задачей учителя математики старших классов, поскольку лишь в 7-8-м классах учащийся сталкивается с предметами, требующими от него оперирования пространственными образами, - черчение, геометрия, физика и т.п.

При этом психологами давно доказано, что образы, в которых фиксируются форма, величина, пространственное соотношение фигур в целом или их частей, выстраиваются в сознании ребенка уже с самого раннего детства в результате манипулирования объектами и так называемыми сенсорными эталонами, полученными в результате обобщения чувственных данных в процессе специально организованного общения ребенка с природой, окружающими людьми, объектами культуры и т.п. (Поддъяков Н.Н., 1963). Однако в связи с тем, что «владение пространственными представлениями и наличие пространственного воображения... является одним из основных критериев образованности учащегося в области математики» (Гибш А.И., 1958), задача формирования этого вида мышления традиционно считается одной из задач математического образования ребенка. Столь же традиционно эта задача связывается с изучением геометрического материала как в начальной, так и в средней школе.

В свою очередь минимальное «наполнение» программ по математике для начальной школы геометрическим материалом не формировало у учителя начальных классов понимание актуальности этой задачи. В следующем пункте будет представлен структурный и качественный анализ геометрического содержания наиболее популярных сегодня учебников математики для начальной школы (традиционная система 1- 3 и 1-4, учебники И.И. Аргинской и Н.Б. Истоминой), который показывает, что имеющийся там небольшой объем геометрического материала не является средством развития пространственного мышления ребенка. Анализ системы изучения геометрических понятий и отношений как в традиционной, так и во всех альтернативных системах обучения математике младшего школьника показывает, что геометрические знания рассматриваются как нечто второстепенное, не имеющее самостоятельной ценности и самостоятельного значения, дополнительное к арифметическим знаниям. При этом объем геометрических представлений младшего школьника, определенный программой начальной школы, является весьма небольшим и ограничивается только знакомством с плоскими геометрическими фигурами, не затрагивая даже отношения между ними на плоскости (не говоря уже о пространстве). Единственное отношение, изучаемое в начальной школе, - это отношение равенства (равные отрезки, равные стороны, равные площади), которое проверяется непосредственным наложением в 1 -м классе или измерением во 2-м и 3 (4)-м классе, а равенство площадей - в основном вычислением (3^4-й класс). Иными словами, обучение геометрии в начальной школе сводится в основном к измерительной деятельности, что иллюстрирует связь понятий длина и площадь с понятием натуральное число и удовлетворяет в основном потребность в формировании практических измерительных навыков, но не решает задачу развития геометрического мышления, которое является весьма значимым в развитии пространственного мышления в широком смысле.

Общеизвестным фактом является преобладание наглядно-образного вида мышления у большей части детей младшего школьного возраста, но то, что наглядно-образное мышление является необходимой базой для формирования и развития пространственного мышления, а следовательно, младший школьный возраст является крайне важным периодом (можно сказать, решающим периодом) для формирования этого вида мышления, уже не является столь же общепринятым мнением. В то же время, если соотнести эту задачу с процессом формирования и развития математических способностей ребенка, очевидной становится значительная потеря в методических «рычагах» управления данной проблемой. Никак не используя возможности развития этой стороны математических способностей в младшем школьном возрасте, мы практически теряем возможность управлять процессом по мере взросления ребенка в связи с «перерастанием» ведущего типа мышления от наглядно-образного к другим формам - понятийным, абстрактно-логическим.

Тенденция обновления содержания начального математического образования на сегодня связывается авторами учебников с содержательным обогащением двух понятийных блоков - либо геометрического (Н.Б. Истомина), либо алгебраического (Э.Н. Александрова), либо и того и другого (как в учебниках И.И. Аргинской и Л.Г. Петерсон). При этом обогащение геометрического содержания идет как за счет расширения списка понятий, с которыми знакомятся дети, так и широкого введения работы с объемными фигурами (изображения объемных фигур, сечений, разверток). Такое широкое введение в содержание учебных заданий работы с объемными телами связывается авторами с необходимостью формирования и развития пространственного мышления ребенка. Однако само качество данных заданий, которые требуют от ребенка, как правило, не более чем распознавания образа и соотнесения с эталоном, вызывает сомнение в действенности таких заданий. Тем более в связи с тем, что из-за того, что они занимают в учебном пособии много места (рисунки должны быть достаточно крупными), их не может быть столько, чтобы оказать действительное влияние на процессы формирования и развития пространственного мышления.

Для подтверждения этого положения приведем некоторые базовые положения, характеризующие структуру пространственного мышления, поскольку без знания этой структуры невозможно строить методику его формирования и развития. Уточним термин «пространственное мышление» - его содержательную и операциональную сторону.

Базой для развития пространственного мышления являются пространственные представления. Пространственные представления отражают соотношения и свойства реальных предметов, т.е. свойства трехмерного видимого или воспринимаемого пространства (Пышкало А.М., 1973). Пространственные представления - это образы памяти или образы воображения, в которых представлены по преимуществу пространственные характеристики объектов: форма, величина, взаимоположение составляющих его частей, расположение их на плоскости или в пространстве.

Содержанием пространственного мышления является оперирование пространственными образами в видимом или воображаемом пространстве (на плоскости). Этим пространственное мышление отличается от других форм образного мышления, где выделение пространственных характеристик не является центральным моментом.

Структурно пространственное мышление представлено двумя видами деятельности: создание пространственного образа и преобразование уже созданного образа в соответствии с поставленной задачей (Якиманская И.С., 1982).

При создании образа, в том числе и пространственного, мысленному преобразованию подвергается наглядная основа, на базе которой образ возникает. В качестве наглядной основы может выступать и реальный предмет, и его графическая (рисунок, чертеж, график и т.п.) или знаковая модель (математические или иные символы). В любом случае при создании образов происходит перекодирование, сохраняющее не столько внешний вид, сколько контур объекта, его структуру и соотношение частей.

При оперировании образом мысленно видоизменяется уже созданный образ, нередко в условиях полного отвлечения от первоначальной основы. Преобразование пространственных образов может осуществляться одновременно в нескольких направлениях или в каком-то одном, но при этом снова происходит отвлечение от первоначального образа (образов) и уже без сохранения либо контуров, либо структуры, либо соотношения частей. В зависимости от сложности выполняемых преобразований И.С. Якиманская выделяет три типа оперирования пространственными образами.

• 1- й тип - преобразуется пространственное положение и не затрагивается структура образа (это различные перемещения);
• 2- й тип - преобразуется структура образа путем различных трансформаций (перегруппировка составных частей, наложения, совмещения, добавление элементов);
• 3- й тип - исходный образ преобразуется длительно и неоднократно, что приводит к изменению и структуры, и пространственного положения.

Данная классификация достаточно условна, так как например, перегруппировка составных частей (2-й тип) может одновременно привести к изменению пространственного положения (а это уже 3-й тип); наложения и совмещения составных частей (2-й тип) могут выполняться с одновременным изменением их пространственного положения (а это уже 3-й тип) и т.п. Однако в общем эта классификация позволяет проводить качественное тестирование заданий, направленных на развитие пространственного мышления ребенка.

Такие задания можно подразделить на виды:

• 1. Задания, имеющие целью создать «банк» образов памяти, - это задания, требующие узнавания различных фигур в различных пространственных положениях (их целью является формирование у ребенка устойчивого адекватного образа фигуры, форму которой ребенок не будет «терять» при различных движениях в дальнейшем).
• 2. Задания, требующие «активации» образов памяти, - это так называемые «задания на распознавание», где от ребенка требуется провести поиск в своем «банке образов памяти» и путем сличения предлагаемого образа с имеющимися в памяти распознать искомую форму.
• 3. Задания, тренирующие ребенка в создании образов воображения. Поскольку образы воображения можно считать основной «оперативной единицей» пространственного мышления, данные задания и будут собственно аппаратом формирования и развития пространственного оперирования образами, т.е. пространственного мышления.

Данные задания в свою очередь можно подразделить на три группы в соответствии с типами пространственного оперирования по классификации И.С. Якиманской.

Сложившийся стереотип восприятия термина «пространственное мышление» связывает его исключительно с работой с объемными телами. Очевидно, что именно эта трактовка единственно возможного направления работы по развитию пространственного мышления и явилась тем «камнем преткновения», который остановил процесс разработки соответствующих методик для детей младшего школьного возраста. При том, что оптимальность и сенситивность (наибольшее благоприятствование) данного возрастного периода для развития образного мышления (базы пространственного мышления) является фактом общеизвестным как в психологии, так и в теории обучения.

Работа с пространственными фигурами (телами) в условиях привычных стандартов школьного обучения, «завязанного» на печатные учебные средства (учебники, учебники-тетради), является очень сложной с «технической» точки зрения, так как требует выполнения довольно крупных чертежей, занимающих много места в учебнике. Кроме того, работа с такими чертежами в мысленном плане (поскольку чертеж может предъявляться ребенку только в готовом виде) требует от ребенка умения читать этот чертеж, т.е. владеть правилами выполнения таких изображений. Но чтобы этому научиться, необходимо иметь развитое пространственное воображение и хорошо сформированное умение трансформировать образ объемной фигуры в плоскость чертежа с соблюдением всех соответствующих условностей (видимость - невидимость, сохранение пропорций при различных видах проектирования, сама условность различных видов проектирования и т.п.). Таким образом, получался замкнутый круг, резко сужавший рамки процесса формирования пространственного мышления младшего школьника. При этом даже те задания на работу с объемными фигурами (чаще всего это задания с поворотами кубика, развертки и сечения объемных тел), занимающие в учебниках большие площади под каждое задание, реально приносят весьма небольшой полезный результат, поскольку являются эпизодическими и не образуют систему, направленную на развитие активного (оперативного) пространственного мышления ребенка.

В данных материалах представлен другой подход к процессу формирования пространственного мышления ребенка младшего школьного возраста. Основанием для его разработки послужил качественный анализ материалов экспериментальной работы, представленных в публикациях различных исследований пространственного мышления, и анализ материалов психологических тестов на уровень развития пространственного мышления. Этот анализ выявил, что при тестировании уровня развития пространственного мышления психологи преимущественно работают с заданиями, построенными на мысленном манипулировании плоскими фигурами, но при этом такое манипулирование практически соотносится с типами пространственного оперирования, охарактеризованными И.С. Якиманской. Таким образом, очевидно, что свободное и легкое владение пространством является следствием сформированности и действенности (свободного оперирования) этих типов оперирования на плоскости. Здесь можно провести аналогию с процессом формирования и развития мышления ребенка, который с точки зрения качественного анализа «раскладывается» на формирование у ребенка специфических приемов умственных действий (сравнения, обобщения, анализа и т.д.).

Такой подход к процессу формирования пространственного мышления вполне возможен, поскольку любая пространственная фигура ограничена плоскими фигурами, плоские фигуры получаются при сечениях многогранных фигур и при их «разворотах» (развертки). Компоновки этих фигур в пространстве в нужный пространственный образ - это фактически 2-й тип оперирования (перегруппировка составных частей, совмещения, добавление элементов), переходящий в 3-й тип (изменение структуры и пространственного положения). Вполне реальна с этой точки зрения и трактовка тел вращения как тел, образованных вращением плоской фигуры вокруг неподвижной оси, - это 3-й тип оперирования плоской фигурой, который приводит к изменению структуры и пространственного положения. Фактически любая задача школьного курса стереометрии требует от ребенка выявления связи объемной фигуры со «встроенными» в него тем или иным способом плоскими фигурами.

Исходя из приведенного выше анализа можно предположить, что система работы над развитием пространственного мышления ребенка младшего возраста должна соответствовать приведенной выше системе заданий и может быть преимущественно (но не абсолютно!) построена на работе с плоскими фигурами. При этом необходимо учитывать специфику ведущих типов восприятия и мышления в этом возрасте, поскольку значительная часть детей 6-8 лет еще не перешла полностью на ведущее наглядно-образное мышление и достаточно сильно «привязана» к наглядно-действенному типу мышления, требующему непременного манипулирования образами объектов в непосредственной «ручной» деятельности, т.е. непосредственной конструктивной деятельности с вещественными моделями фигур. Организовать такую конструктивную деятельность с объемными фигурами практически невозможно (так чтобы каждый ребенок мог действовать этими моделями), конструктивная деятельность с плоскими моделями фигур вполне доступна и не требует больших затрат.

На первом этапе вся работа с моделями геометрических фигур выполняется ребенком на вещественном уровне (собственно конструирование): ребенок выполняет множество разнообразных заданий с различными (сначала простейшими, а затем более разнообразными) наборами геометрических фигур на складывание по образцу, по заданию, по представлению узоров, картинок, сюжетов, орнаментов и других конструкций. Методическая задача в этом случае состоит в чередовании заданий различных типов таким образом, чтобы, с одной стороны, происходило активное накопление запаса образов памяти, а с другой стороны, чтобы ребенок постоянно упражнялся в выполнении всех типов оперирования образами.

На втором этапе те же самые задания он выполняет на графическом уровне, используется прием «конструктивного рисования». Главным отличием в использовании этого приема от привычного рисования фигур «от руки» по клеткам или по линейке является использование специальных рамок - трафаретов с геометрическими прорезями, которые ребенок использует для получения в рисунке нужных форм. Рамка при этом выполняет множественную роль: она позволяет получить форму, абсолютно адекватную заданной (учитель предлагает образцы, используя те же формы), обводя фигурку по рамке, ребенок каждый раз повторяет эту форму, закрепляя ее образ на уровне кинестетики. Штриховка фигурки по рамке (внутри прорези рамки) не только развивает моторику, но еще раз закрепляет образ плоской фигуры. Поскольку рисунки и композиции, составленные на основе использования рамки, содержат огромное количество сочетаний фигур в самых разнообразных положениях, ребенок постепенно научается видеть и узнавать искомые формы в самых невероятных сочетаниях, ракурсах, наложениях, расчленениях.

Указанные формы выполнения заданий формируют у детей великолепную «устойчивость» в сохранении формы и умение выполнять любые движения этой формы (собственно, все симметрии, повороты, сдвиги и их композиции без введения формализованного аппарата этой темы), а также умения синтезировать из этих форм самые разнообразные композиции и выполнять расчленения этих форм, изменение параметров и другие трансформации.

Сами же задания, которые учат детей всему этому, носят игровой, внешне привлекательный для ребенка характер забавных рисунков, которые не теряют для детей привлекательности даже в более старшем возрасте. Важным является то, что все рисунки ребенок видит в соответствующей тетради на печатной основе в натуральную величину, поэтому при использовании тетрадей в условиях работы даже с очень слабым классом, например в классе выравнивания, учитель имеет возможность широко использовать прием наложения рамки прямо на рисунок до тех пор, пока ребенок не находит нужную форму в нужном положении.

На третьем этапе происходит постепенное замещение приема «конструктивное рисование» с рамкой на использование инструментов при построении фигур, являющихся элементами рисунка (орнамента, аппликации, сюжета). С помощью циркуля и угольника ребенок получает центральный элемент рисунка, а второстепенные детали продолжает получать с помощью рамки. Постепенно количество элементов, получаемых с помощью инструментов, увеличивается. Таким образом, еще в начальной школе ребенок привыкает пользоваться инструментами при построениях фигур, учится решать простейшие задания на построение, сопровождая их простейшими доказательствами правильности построения. При этом постепенно приобретается и накапливается не только опыт решения задач на построение (практические умения), но и опыт доказательств (умение строить простейшие рассуждения).

На четвертом этапе происходит постепенное приобщение ребенка к процессу получения объемных тел путем комбинирования в пространстве плоских фигур, к специфике изображений объемных тел на плоскости при различных видах проектирования и разверткам объемных тел на плоскость. Данные виды заданий уже фактически являются стереометрическими, усложненными необходимостью владения приемами чертежного характера. На уровне чтения чертежа и выполнения этих заданий на клетчатой бумаге (в тетради или на миллиметровке) с ними легко справляется большинство школьников четвертого класса, показывая во многих случаях более высокий уровень сформированности пространственного мышления, чем ученики 7-го класса, незнакомые с данным курсом.

Многолетний опыт работы по экспериментальной проверке доступности и эффективности предлагаемого в курсе «Наглядная геометрия» для начальной школы материала показал возможность формирования у детей высокого уровня знаний о геометрических фигурах, умений выделять их признаки, сравнивать, обобщать, классифицировать. Кроме того, дети в этих классах хорошо владеют чертежными инструментами (угольник, линейка, циркуль) и могут использовать их для решения задач на построение, хорошо справляются с чтением чертежей (три проекции объемного тела), обладают хорошо развитым пространственным воображением. Данный факт в последние годы постоянно подтверждается психологическими тестированиями, которые проводят независимо от эксперимента штатные школьные психологи. Реальным фактом стало то, что от детей, обучавшихся «Наглядной геометрии», уже изначально психологи ждут высоких показателей по параметрам пространственного мышления и не удивляются подтверждению этого факта.

Наиболее важными результатами данной работы мы полагаем то, что:

- у детей формируется общее положительное отношение к этому предмету (что является следствием новой, необычной для начальной школы методики обучения), а также высокая познавательная активность;

• - общий уровень успешности обучения математике в таких классах в целом выше;
• - детям нравятся трудные задания, они стремятся самостоятельно справиться с ними и очень ждут этих уроков (по рейтинговым оценкам этот урок отмечается среди любимых даже в классах с углубленным изучением иностранных языков).

Таким образом, мы полагаем, что имеет место прямая корреляция между введением курса «Наглядная геометрия» и значимым повышением уровня математических способностей младших школьников. Реальным фактом школьной практики стало то, что учителя математики говорят об этих детях: «совершенно другие дети». Неоднократно подтверждалось в независимых психологических тестированиях, проводимых с годичным интервалом, значительное повышение уровня общего развития детей таких классов, даже при условии исходно низких (на уровне задержки развития) показателей, а также появление детей с повышенным уровнем способностей при исходном (в 1-м классе) отсутствии таких характеристик у этих детей.

Реальным фактом является общее повышение уровня успешности этих детей при изучении математики. В связи с этим в последние годы к данному курсу все чаще обращаются учителя, работающие с детьми с задержкой развития и даже с детьми с недостатками зрения и слуха, а также с детьми с умственной отсталостью. Безусловно, при работе с такими категориями детей происходит корректировка темпа и сложности изучения материала, но технология, разработанная для этого курса, остается прежней и дает высокий эффект при работе с детьми данных категорий.

Все сказанное позволяет сделать вывод о том, что предлагаемый способ развития математического мышления детей младшего школьного возраста является реальным и достаточно эффективным.

При этом соблюдение при отборе его содержания тех же принципов, что были сформулированы для курса «Математическое развитие дошкольников», позволяет говорить о его преемственном характере. Приведем эти принципы еще раз.

Принцип реализации модельного подхода к обучению, т.е. возможности представления понятий в виде вещественных и графических моделей, соответствующих наглядно-образному типу мышления детей младшего школьного возраста.

Принцип системности, обеспечивающий взаимосвязь изучаемых в курсе понятий.

Принцип преемственности, обеспечивающий на этом этапе целенаправленную подготовку детей к изучению курса математики в средней школе.

При этом все требования к специфике соблюдения принципа преемственности, сформулированные на предыдущем этапе, продолжают сохранять свою актуальность: отсутствие «тупиковых» тем и вопросов в содержании курса; адекватность и корректность терминологии и методики обучения детей, исключающие переучивание на следующем этапе обучения; корректность в разработке методических рекомендаций учителю и учебных средств для учащихся; отсутствие содержательного дублирования материала курса геометрии для средней школы.

Приведем программу курса «Наглядная геометрия» для начальных классов.

НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1-й класс (34 часа)

Геометрические фигуры (9 часов)

Уточнение представлений о форме геометрических фигур: простые задания на распознавание (знакомство с рамкой, игра «Закрой окошки», выполнение рисунка из геометрических форм и его закрашивание).

Выполнение геометрического орнамента с помощью рамки- трафарета.

Квадрат и его распознавание. Получение квадрата методом загибания «от угла». Геометрические орнаменты в квадрате.

Конструирование геометрических фигур из отдельных частей (работа с геометрической мозаикой, наборами «Сложи фигуру»).

Начальные геометрические понятия (14 часов)

Точка. Прямая. Кривая. Получение прямой сгибанием листа неправильной формы.

Сходство и различие прямой и кривой.

Понятие о пересекающихся и непересекающихся прямых. Количество прямых, проведенных через одну и две точки на плоскости.

Линии на плоскости. Ломаная. Моделирование линий из шнура и палочек и их отношения на плоскости. Сходство и различие прямой и кривой, кривой и ломаной. Их распознавание.

Отрезок как часть прямой. Распознавание отрезков в плоских и объемных фигурах. Сравнение длин отрезков с помощью наложения и с помощью циркуля.

Конструирование геометрических фигур (круга, квадрата, треугольника, прямоугольника) из плоских частей и заданного количества элементов (квадрат из 2, 4, 8 треугольников; прямоугольник из 4, 6, 8 треугольников; треугольник из 4, 9 треугольников и т.д.) и выполнение эскизов собранных композиций (от руки на клетчатой бумаге). Конструирование узоров из геометрической мозаики и их эскизы.

Циркуль. Начальные приемы работы с циркулем. Окружность и круг. Представление о радиусе на основе строения циркуля. Деление круга пополам и на четыре части сгибанием. Распознавание окружности (в орнаменте). Самостоятельное вычерчивание и вырезание круга с дальнейшим его использованием для конструктивной деятельности.

Использование циркуля для получения деталей аппликации («Снеговик», «Слоненок» и др.). Простые орнаменты с использованием циркуля.

Диаметр круга и его свойства. Радиус круга и его свойства.

Представление о симметрии: распознавание фигур, имеющих ось симметрии, и проверка этого свойства перегибанием фигуры пополам (круг, квадрат, треугольник, прямоугольник, равнобочная трапеция, звездочка, лист, груша и т.д.).

Симметричный орнамент в круге и квадрате.

Работа с конструктором (6 часов)

Ознакомление с деталями конструктора и инструментами (ключ, отвертка).

Конструирование букв с ориентацией на их графическую модель.

Знакомство с разными видами соединения полос: встык с накладкой и внахлест. Примеры сборки простейших моделей: лесенка.

Понятие о техническом задании и техническом рисунке.

Понятие о функциональной и технологической целесообразности модели (для чего делаем; какую работу будет выполнять данная модель и в связи с этим какими свойствами и качествами она должна обладать; целесообразное использование имеющихся деталей; дизайн конструкции; ее прочность и устойчивость).

Изготовление моделей многоугольников. Изготовление конструкции на основе многоугольника: часы (шестиугольник) и дорожный знак (треугольник).

Решение простых конструктивных задач. Соединение «под углом». Изготовление мебели: стол, стул, кресло, кровать (диван).

Знакомство с понятием «план». План комнаты: расстановка мебели.

Объемные фигуры (5 часов)

Представление о геометрическом теле.

Классификация простых геометрических тел по различным признакам сходства и различия (основной признак - форма). Моделирование куба, прямой призмы и пирамиды из палочек и пластилина.

Распознавание плоских геометрических фигур в объемных телах (представление о трех проекциях объемной фигуры). Соотнесение объемной фигуры с плоским чертежом: игра «Угадай, какая фигура, как она стояла?» и «Поставь так же, как на рисунке». Знакомство и работа с кубиками Никитиных (игра «Сложи узор»).

В конце первого года дети должны:

• 1. Иметь представление о точке, прямой, кривой, ломаной, отрезке, квадрате, треугольнике, круге.
• 2. Знать отличие прямой от кривой (уметь выделять их и обосновывать свой выбор), отличие прямой от отрезка, отрезка от ломаной.
• 3. Различать основные формы фигур в различных положениях: треугольник, четырехугольник, круг.
• 4. Различать внутреннюю и внешнюю части в замкнутых фигурах основных форм.
• 5. Уметь построить модель квадрата загибанием «от угла»; уметь начертить окружность с помощью циркуля.

• 6. Уметь найти центр круга, прямоугольника, квадрата (сгибанием). Уметь пользоваться рамкой для выполнения рисунков и орнаментов из геометрических фигур и для получения деталей аппликации.
• 7. Уметь пользоваться циркулем при сравнении длин отрезков и изготовлении модели круга.
• 8. Уметь чертить и измерять отрезок с помощью линейки.
• 2-й класс (34 часа)

Геометрические фигуры и начальные геометрические понятия

(повторение, 6 часов)

Уточнение представлений о форме геометрических фигур. Точки и линии. Линии на плоскости. Пересечение линий.

Окружность и круг. Диаметр и радиус. Геометрические орнаменты. Симметричный орнамент в круге и квадрате. Геометрические аппликации. Работа с циркулем. Конструктивное рисование.

Замкнутые и незамкнутые геометрические фигуры

(16 часов)

Треугольник. Его распознавание и построение из листа неправильной формы (загибанием).

Понятие о замкнутости геометрической фигуры. Примеры замкнутых фигур: круг, треугольник, квадрат. Внутренняя и внешняя части фигуры. Граница фигуры.

Понятие угла. Разница между углом и треугольником, углом и ломаной. Изготовление модели угла из листа неправильной формы.

Вершина угла - точка.

Представление о прямом угле. Модель прямого угла из листа неправильной формы. Угол тупой и угол острый (распознавание).

Выделение прямого угла в геометрической фигуре с помощью его модели. Свойство прямых углов.

Представление о прямоугольнике на основе понятия прямой угол. Распознавание прямоугольников. Свойства сторон и углов прямоугольника.

Изготовление игрушки из прямоугольной формы («лодочка», «кошелек», «коробочка» и т.д.).

Квадрат как разновидность прямоугольника. Распознавание квадрата. Свойство сторон квадрата. Получение квадрата из прямоугольника с помощью циркуля.

Знакомство с угольником. Прямоугольный треугольник.

Использование квадратной бумажной заготовки для изготовления геометрических аппликаций: квадрат разрывается по осевым линиям; для изготовления игрушек методом сгибания без надрезов (оригами).

Конструирование квадрата из плоских частей разной формы (игра «Сложи квадрат»).

Аппликация на основе геометрических форм.

Четырехугольник. Многоугольник. Элементы многоугольника: вершины, стороны, углы.

Диагональ многоугольника. Периметр многоугольника.

Работа с конструктором (5 часов)

Подвижные соединения.

Изготовление конструкции с использованием шарнирного соединения.

Рычаговая конструкция: весы параллельные.

Детали вращения: карусель, тележка.

Изготовление предметов для игровой площадки: лесенка, скамейка, качели, тележка, карусель.

План игровой площадки.

Объемные фигуры. Повторение (7 часов)

Уточнение понятия об отрезке. Буквенное обозначение отрезков. Многогранники и их элементы: вершины и ребра многогранников; работа с плоским изображением объемного тела; видимые и невидимые части.

Конструктивное рисование. Работа с циркулем.

В конце второго года обучения дети должны:

• 1. Иметь представление о содержании понятий: прямая, ломаная, угол, прямой угол, прямоугольник, квадрат, треугольник, прямоугольный треугольник, диаметр и радиус круга.
• 2. Знать и уметь объяснять отличие прямой от отрезка, кривой от ломаной, угла от треугольника, понимать общее и различное между квадратом и прямоугольником, прямоугольником и четырехугольником.
• 3. Уметь построить модель любой из этих фигур из листа бумаги неправильной формы, а также ее графическую модель.

Уметь пользоваться циркулем и угольником для решения задач на построение и доказательство правильности построения с помощью чертежных инструментов.

Уметь пользоваться циркулем для выполнения орнаментов и получения деталей аппликаций.

3-й класс (32 часа)

Геометрические фигуры (повторение)

(10 часов)

Линия, точка, отрезок. Длина отрезка. Ломаная. Длина ломаной. Замкнутая и незамкнутая ломаная. Треугольник. Четырехугольник. Периметр треугольника. Периметр четырехугольника. Периметр многоугольника.

Угол. Прямой угол. Тупой и острый угол. Прямоугольник. Прямоугольный треугольник. Равнобедренный треугольник. Квадрат. Многоугольник.

Площадь геометрической фигуры

(6 часов)

Подготовительная работа к введению понятия «площадь плоской фигуры». Площадь как измеряемая величина. Меры измерения площади. Способы измерения площади. Площадь квадрата и прямоугольника. Площадь прямоугольного треугольника. Площадь и ее единицы измерения. Вычисление площади плоских геометрических фигур.

Основные геометрические понятия: отрезок, прямая, луч, угол. Внутренняя и внешняя части фигуры, ее граница

(9 часов)

Внутренняя и внешняя части фигуры. Граница фигуры. Плоскость и полуплоскость. Прямая и полупрямая. Луч. Отрезок.

Числовой луч. Шкала. Координатная прямая.

Углы. Смежные углы. Развернутые углы. Угол и его измерение. Градусная мера углов. Построение углов с транспортиром. Построение угла, равного данному, с помощью циркуля и линейки.

Координатный угол и координатная плоскость

(3 часа)

Координата точки. Координатная прямая. Координатный угол. Координатная плоскость.

Параллельность и перпендикулярность

(4 часа)

Плоскость. Полуплоскость. Полоса. Параллельные прямые. Параллельные отрезки. Параллельные лучи. Пересечение двух плоских фигур. Пересечение прямых. Параллельность и перпендикулярность. Перпендикулярные отрезки и перпендикулярные прямые.

В конце третьего года обучения дети должны:

• 1. Иметь представление о содержании понятий: прямая, ломаная, угол, прямой угол, прямоугольник, квадрат, треугольник, прямоугольный треугольник, диаметр и радиус круга, луч, плоскость.
• 2. Знать и уметь объяснять отличия прямых от отрезков, кривой от ломаной, угла от треугольника, понимать общее и различное между квадратом и прямоугольником, прямоугольником и четырехугольником, прямой и лучом, лучом и отрезком.
• 3. Уметь построить модель любой из этих фигур из листа бумаги неправильной формы, а также ее графическую модель. Уметь находить площадь квадрата и прямоугольника.

Уметь пользоваться циркулем и угольником для решения задач на построение и доказательство правильности построения.

Уметь пользоваться циркулем для выполнения орнаментов и получения деталей аппликаций.

4-й класс (32 часа)

Геометрические фигуры

(7 часов)

Линия, точка, отрезок. Длина отрезка. Ломаная. Звенья ломаной. Длина ломаной. Замкнутая и незамкнутая ломаная. Треугольник. Четырехугольник. Периметр треугольника. Периметр четырехугольника. Периметр многоугольника.

Угол. Прямой угол. Тупой и острый угол. Прямоугольник. Прямоугольный треугольник. Равнобедренный треугольник. Квадрат. Четырехугольник. Многоугольник. Диагональ многоугольника. Прямоугольник и свойства его сторон.

Окружность. Диаметр окружности. Радиус окружности.

Плоские и объемные геометрические фигуры.

Площадь геометрической фигуры

(2 часа)

Площадь плоской фигуры. Площадь как измеряемая величина. Меры измерения площади. Способы измерения площади. Площадь квадрата и прямоугольника. Площадь прямоугольного треугольника. Площадь и ее единицы измерения. Вычисление площади плоских геометрических фигур.

Луч и угол. Координатный луч. Координатная прямая

(7 часов)

Луч. Луч и прямая. Луч и отрезок. Обозначение луча. Лучи одного направления и лучи противоположного направления.

Числовой луч. Начало отсчета. Единичный отрезок. Обозначение координаты точки на луче.

Координатная прямая. Положительное и отрицательное направление. Обозначение координаты точки на координатной прямой. Расстояние между точками на координатной прямой. Противоположные точки и их координаты.

Углы. Обозначение углов. Вершина и стороны угла. Смежные углы. Развернутые углы. Угол и его измерение. Градусная мера углов. Построение углов с транспортиром. Построение угла, равного данному, с помощью циркуля и линейки. Сумма смежных углов.

Плоские и двугранные углы. Двугранные углы многогранников.

Координатная плоскость

(2 часа)

Координаты точки на плоскости. Координатные четверти. Построение фигур по координатам вершин.

Параллельность и перпендикулярность

(8 часов)

Взаимное расположение прямых на плоскости. Параллельные прямые. Параллельные отрезки. Параллельные лучи. Свойства параллельных прямых.

Пересечение двух плоских фигур. Пересечение прямых. Перпендикулярные прямые. Перпендикулярные отрезки. Свойства параллельных и перпендикулярных прямых.

Построение параллельных и перпендикулярных прямых.

Параллелограмм. Свойства параллелограммов.

Объемные фигуры

(6 часов)

Объемные фигуры. Многогранники. Вершины и ребра многогранников. Изображение многогранников на плоскости (видимые и невидимые грани и ребра).

Проекции многогранников. Проекции объемных фигур.

Объем куба и прямоугольного параллелепипеда.

Понятие о сечении многогранника. Моделирование объемных тел.

В конце четвертого года обучения дети должны:

• 1. Иметь представление о содержании понятий: прямая, ломаная, угол, прямой угол, прямоугольник, квадрат, многоугольник, диагональ многоугольника, треугольник, прямоугольный треугольник, равносторонний треугольник, диаметр и радиус круга, луч, плоскость, координатная плоскость, объемное тело.
• 2. Знать и уметь объяснять отличия прямых от отрезков, кривой от ломаной, угла от треугольника, понимать общее и различное между квадратом и прямоугольником, прямоугольником и четырехугольником, прямой и лучом, лучом и отрезком.
• 3. Уметь построить модель любой из этих фигур из листа бумаги неправильной формы, а также ее графическую модель с помощью циркуля и угольника.
• 4. Уметь находить площадь и периметр квадрата и прямоугольника.
• 5. Уметь измерять угол с помощью транспортира.
• 6. Уметь определить координаты точки на координатной прямой и координатной плоскости.
• 7. Уметь построить перпендикулярные и параллельные прямые с помощью инструментов.
• 8. Уметь пользоваться циркулем и угольником для решения задач на построение и доказательство правильности построения.
• 9. Уметь пользоваться циркулем для выполнения орнаментов и получения деталей аппликаций.

Так же как и при разработке курса математического развития для дошкольников, при разработке данного курса использовалась ориентация на спиралевидную структуру, что хорошо заметно при его анализе. Практика показала, что данный курс успешно выполняет и свою частную «рабочую» обязанность- пропедевтику систематического курса геометрии.

Сегодня многие ведущие математики-методисты страны (В.Ф. Шары- гин, В.В. Левитас, Г.Д. Глейзер, Г.В. Дорофеев, Н.Ф. Подходова и др.) говорят о том, что такая пропедевтика необходима. Формировать у ребенка умения мысленно выделять линии фигуры, комбинировать их в различных сочетаниях, вращать их вокруг различно расположенных осей, накладывать одни на другие, расчленять и перекомпоновывать части (трансформировать) и т.д. необходимо еще до систематического обучения детей геометрии. Если эти умения не сформированы у ребенка до начала изучения геометрии, то, как показывает опыт учителей математики, уроки геометрии представляют для многих детей совершенно непреодолимую трудность и требуют немалой дополнительной работы учителя математики. Формирование этих умений в начальной школе ликвидировало бы систему формального усвоения знаний по геометрии, поскольку реально многие дети просто учат определения и теоремы наизусть, совершенно не понимая их логики и смысла, что подтверждается тем, что решать задачи эти дети, как правило, не могут, т.е. не могут осмысленно применять заученные знания.

Таким образом, развитие пространственных представлений и пространственного мышления в наиболее благоприятный (сенситивный) для этого процесса период позволяет использовать в развивающем обучении математике природные резервы ребенка на данном этапе его развития, что в свою очередь обеспечивает высокую продуктивность разработанной технологии развития пространственного мышления младшего школьника при общем положительном влиянии ее на уровень развития математического мышления и математических способностей ученика начальной школы.

Этот вывод подтверждается многолетними наблюдениями за апробацией «Наглядной геометрии» в учебном процессе в начальной школе.