Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow Электронные приборы и устройства

Алгебра логики и ее основные законы

В схемах импульсной техники для обработки и преобразования информации используются цифровые методы. Используемые в схемах сигналы близки по форме к прямоугольным и имеют два фиксированных уровня напряжения. Уровню высокого напряжения приписывается символ «1» (истинность), а уровню низкого напряжения — символ «0» (ложь). При анализе импульсных устройств используется двоичная система счисления.

Математическим аппаратом анализа и синтеза цифровых систем служит алгебра логики (булева алгебра), оперирующая логическими связями и зависимостями. Основные положения алгебры логики разработал в XIX веке английский математик Джордж Буль. Значения двоичных сигналов 0 и 1 не дают количественной оценки состояния переменных или состояния их функций, поэтому эти символы нельзя рассматривать как арифметические числа. В связи с этим алгебра логики является алгеброй состояний, а не алгеброй чисел.

Функция двоичных переменных, принимающая значения 1 и 0, называется логической функцией (переключательной, функцией алгебры логики). Элементарными логическими функциями являются: логическое сложение (дизъюнкция), логическое умножение (конъюнкция), логическое отрицание (инверсия).

Аналитические формы записи функций позволяют получить основные законы алгебры логики отдельно для операций логического умножения и сложения (И и ИЛИ).

1. Переместительный закон (закон коммутативности):

2. Распределительный закон (закон дистрибутивности логического умножения по отношению к сложению):

3. Сочетательный закон (закон ассоциативности):

4. Законы повторения (тавтологии):

5. Законы поглощения:

  • 6. Законы отрицания:
    • а) закон дополнительности —

б) закон дуальности, или правило де Моргана (инверсия суммы переменных есть произведение их инверсий) —

в) закон двойного отрицания —

7. Законы склеивания:

8. Законы универсального множества:

9. Законы нулевого множества:

Логическая функция может быть выражена словесно, в алгебраической форме и переключательной таблицей (таблицей истинности).

Логическое сложение (дизъюнкция, операция ИЛИ) на языке электронной схемы означает наличие напряжения на выходе схемы при наличии напряжения на одном из входов:

Кроме символа «+», для дизъюнкции употребляется символ v, т.е. Y = X1vX2.

На рис. 10.10 представлены схемы, реализующие операцию ИЛИ. Так, если оба ключа разомкнуты (рис. 10.10, а), то напря-

Схема реализации логической операции ИЛИ

Рис. 10.10. Схема реализации логической операции ИЛИ: а — на пассивных элементах; б — на активных элементах

жение на выходе равно нулю. Если положительный сигнал поступает хотя бы на вход одного из диодов (рис. 10.10, б), диод открывается и сигнал поступает на выход схемы.

Если число входных сигналов логического элемента ИЛИ меньше числа входов, то неиспользуемые входы заземляют.

Логическое умножение (конъюнкция, операция И) в электронной схеме означает наличие напряжения на выходе при наличии всех входных сигналов:

Для обозначения конъюнкции часто используют символы л или &, т.е. У = Xi л Х2 или У = Х1 & Х2.

На рис. 10.11 представлены схемы, реализующие операцию И. Элемент И является схемой совпадения: сигнал «1» на выходе схемы появляется при совпадении сигналов «1» на всех его входах.

Схема реализации логической операции И

Рис. 10.11. Схема реализации логической операции И: a — на пассивных элементах; б — на активных элементах

При нулевом значении сигнала хотя бы на одном из входов (рис. 10.11, б) соответствующий диод открывается. Напряжение на выходе определяется падением напряжения на открытом диоде, которое определяет значение логического нуля. Если на все входы поступает сигнал логической единицы, диоды закрываются. Напряжение на выходе будет равно t/HnJ?2/(^i + R2), определяющее логическую единицу.

На практике, если число входных сигналов логического элемента И меньше числа входов, то неиспользуемые входы подсоединяют к положительному выводу источника питания +?/ип.

Логическое отрицание (инверсия, операция НЕ) означает, что состояние на выходе схемы противоположно состоянию на ее входе:

(читается: «Нвых не равно UBX»).

Эта операция реализуется с помощью транзисторного ключа.

Схемотехническая реализация многообразия цифровых ИМС основана на типовых базовых функциональных элементах, реализующих простейшие логические функции: И, ИЛИ, НЕ, ИЛИ-НЕ, И-НЕ (одноступенчатая логика). Микросхемы, выполняющие только логические функции ИЛИ-HE или И-НЕ, называются основными логическими элементами.

Условное обозначение логического элемента ИЛИ-HE и его таблица истинности представлены на рис. 10.12.

Условное обозначение (а, б) и таблица истинности (в) логического элемента ИЛИ-НЕ

Рис. 10.12. Условное обозначение (а, б) и таблица истинности (в) логического элемента ИЛИ-НЕ

Логический элемент ИЛИ-НЕ образуется путем отрицания результатов, полученных при выполнении операции ИЛИ (рис. 10.12, а, б). При входных сигналах, равных единице, сигнал на выходе соответствует логическому нулю, а при нулевых сигналах на всех входах сигнал на выходе равен 1 (таблица истинности на рис. 10.12, в).

Алгебраическая запись операции ИЛИ-HE следующая:

Инверсию логической суммы двух величин называют стрелкой Пирса:

Логический элемент И-НЕ образуется путем отрицания результата, получаемого при выполнении операции И (рис. 10.13, а, б).

Условное обозначение (а, б) и таблица истинности (в) логического элемента И-НЕ

Рис. 10.13. Условное обозначение (а, б) и таблица истинности (в) логического элемента И-НЕ

Число входов элемента И-НЕ определяется числом аргументов функции И-НЕ. При подаче логического нуля на один из входов на выходе образуется логическая единица. Если на всех входах действует логическая единица, то сигнал на выходе равен логическому нулю (рис. 10.13, в). Логическая операция И-НЕ записывается следующим образом:

Инверсию логического произведения двух и более аргументов называют штрихом Шеффера:

Логические элементы И, ИЛИ, И-НЕ, И Л И-НЕ и другие обладают свойством двойственности. Оно заключается в том, что если логический элемент при положительной логике выполняет операцию, например, И-НЕ, то он же при отрицательной логике выполняет операцию ИЛИ-HE и наоборот (рис. 10.14).

Свойства двойственности логических элементов

Рис. 10.14. Свойства двойственности логических элементов

Свойство двойственности указывает на то, что любое цифровое устройство можно без изменения функциональных связей строить как на элементах И-НЕ, так и на элементах ИЛИ-НЕ. Различие состоит в том, что логические уровни напряжений на всех входах и выходах изменяются на противоположные.

Функциональные элементы, реализующие логические функции И-ИЛИ, ИЛИ-И, НЕ-И-ИЛИ, И-ИЛИ-НЕ, И-ИЛИ-И и другие, составляют двухступенчатую логику.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы