Моделирование логарифмически-нормального закона распределения

Случайная величина .Yимеет логарифмически-нормальное распределение с параметрами р, о, если X = ехр(У), где Yимеет нормальное распределение с параметрами р, а. С помощью данного распределения часто описывается время выполнения какой-либо задачи, величины, являющиеся произведением большого числа других величин.

Логарифмически-нормальный закон распределения случайной величины описывается следующей функцией плотности:

где с > 0 и р — параметры распределения.

Для данного распределения матожидание и дисперсия определяются в соответствии с выражениями

Графики функции плотности вероятностей для р = 0 и различных значений параметра а показаны на рис. 4.11.

Рис. 4.11. Функция плотности логарифмически нормального распределения при р = О

Для моделирования случайной величины с логарифмически нормальным распределением используется выражение

где у — стандартная нормально распределенная случайная величина с параметрами р = 0, а = 1.

Пример. Составить программу моделирования случайной величины к, отвечающей логарифмически-нормальному распределению. Решение. Программа на языке C# имеет вид:

static void Main(string[] args)

{

Console.WriteLine("Параметры распределения");

Console.Write("с: ");

double c = double.Parse(Console.ReadLine());

Console.Write("b: ");

double b = double.Parse(Console.ReadLine()) ;

Console.Write("Количество случайных величин n: "); int n = int.Parse(Console.ReadLine());

Random random = new Random();

double s, r, x;

for (int i = 0; i < n; i++)

{

s = 0;

for (int j = 0; j < 12; j++)

{

r = random.NextDouble(); s += r;

}

x = s — 6 ;

x = Math.Exp(c * x + b);

Console.WriteLine("x[{0}] = {l:f3}", i + 1, x) ;

}

Console.WriteLine("Моделирование завершено");

Console.ReadLine();

}

Моделирование распределения Вейбулла

С помощью распределения Вейбулла часто описывается время выполнения какой-либо задачи, величины, время безотказной работы устройства.

Функция плотности для распределения Вейбулла имеет вид:

где 0 < х < °о; с > 0; b > 0; Ь, с — целые.

Для распределения Вейбулла матожидание и дисперсия определяются в соответствии с выражениями

Здесь Г() — гамма-функция.

Графики функции плотности вероятностей для b = 1 и различных значений параметра с показаны на рис. 4.12.

Рис. 4.12. Функция плотности распределения Вейбулла при b = 1

Распределение Вейбулла может быть смоделировано путем использования следующей формулы:

где г — равномерно распределенная на интервале [0; 1) случайная величина.

Заметим, что при моделировании значение /-должно быть ограничено снизу малой величиной.

Пример. Составить программу моделирования случайной величины Р_п(Х = т) = С™р^т( - р)^{п т}, отвечающей распределению Вейбулла.

Решение. Программа на языке C# имеет вид:

static void Main(string[] args)

{

Console.WriteLine("Параметры распределения");

Console.Write("с: ");

double c = double.Parse(Console.ReadLine()) ;

Console.Write("b: ");

double b = double.Parse(Console.ReadLine());

Console.Write("Количество случайных величин n: "); int n = int.Parse(Console.ReadLine());

Random random = new Random(); double r, x;

for (int i = 0; i < n; i++)

{

r = random.NextDouble();

x = b * Math.Pow(-Math.Log(r) , 1 / c) ;

Console.WriteLine("x[{0}] = {l:f3}", i + 1, x) ;

}

Console.WriteLine("Моделирование завершено");

Console.ReadLine();

}

Контрольные вопросы

• 1. В чем заключается метод обратных функций?
• 2. В каких случаях возможно применение метода обратных функций?
• 3. В чем заключается метод кусочно-линейной аппроксимации? В каких случаях он применяется?
• 4. Какой метод формирования случайных чисел необходимо использовать в том случае, если неизвестно выражение для функции распределения? В чем он заключается?
• 5. В чем заключается метод отбора? В каких случаях он применяется?
• 6. Геометрическая интерпретация метода отбора.
• 7. Как выглядит функция плотности нормального закона распределения?
• 9. Какие существуют способы формирования последовательности случайных величин, отвечающих нормальному закону распределения?
• 10. В чем заключается метод аппроксимации для моделирования нормально распределенных случайных величин?
• 11. Каким образом используется центральная предельная теорема для формирования последовательности случайных величин, отвечающих нормальному закону распределения?
• 12. В чем сущность метода Бокса и Малера?
• 13. В чем сущность метода Марсальи и Брея?
• 14. Как выглядит функция плотности бета-распределения?
• 15. Как выглядит функция плотности гамма-распределения?
• 16. Как выглядит функция плотности логарифмически-нормального распределения?
• 17. Как выглядит функция плотности распределения Вейбулла?
• 18. Каким образом осуществляется моделирование случайных величин, имеющих бета-распределение?
• 19. Каким образом осуществляется моделирование случайных величин, имеющих гамма-распределение?
• 20. Каким образом осуществляется моделирование случайной величины, имеющей логарифмически-нормальное распределение?
• 21. Какой метод используется для моделирования распределения Вейбулла?