ПОЛОЖЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ НЕКОТОРЫХ ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЫ

2. Центр тяжести площади треугольника (рис. 1.6.4). В геометрии доказывается, что точка пересечения медиан треугольника делит каждую из них в отношении 1:2, т.е. эта точка лежит на медиане на расстоянии, равном одной трети медианы от точки пересечения медианы с соответствующей стороной. Поэтому можно сказать, что центр тяжести площади треугольника находится на его медиане на расстоянии одной трети медианы от точки пересечения медианы с соответствующей стороной треугольника.

Центр тяжести треугольника лежит на расстоянии 7₃ от основания, или ²/₃ от вершины.

3. Центр тяжести площади кругового сектора (рис. 1.6.5). Принимаем за начало координат центр окружности радиуса R, ось х направляем по оси симметрии сектора круга. Разобьем данный сектор на п элементарных секторов (заштрихован). Эти сектора можно рассматривать как равнобедренные треугольники с высотой R. Центр тяжести каждого треугольника лежит на его медиане на расстоянии ²/₃R от точки О, т.е. центры тяжести всех элементарных секторов расположены на дуге окружности

радиуса ²/,R, т.е. х„ v = 0. Для полукруга 2а = к,

а 4 R

поэтому х = —;у = 0 (рис. 1.6.6).

3 71

Рис. 1.6.3

Рис. 1.6.4

Рис. 1.6.5

Рис. 1.6.6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ФИГУР СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

Метод разбиения

Сложную фигуру разбиваем на простые. Проводим оси координат, относительно которых определяем центры тяжести простых фигур. Определяем площади и координаты центра тяжести простых фигур относительно выбранных осей, т.е. А_{, х_{, у_{, А₂, дс₂, у₂, ...,А„, х_п, У_п- Определяем координаты центра тяжести всей фигуры:

Метод дополнений

При наличии в теле отверстий или вырезов его можно рассматривать как разность тел:

В строительстве широко распространены стальные прокатные профили по ГОСТ 8240—97. В таблицах для каждого профиля даются все необходимые размеры, площади сечения, координаты центра тяжести. Пользуясь этими данными, можно определять положение центра тяжести составного сечения, полученного путем соединения нескольких стандартных профилей.

Задача 1. Найти статические моменты относительно координатных осей площади листа, размеры которого (в сантиметрах) и координаты центра тяжести этой площади указаны на рис. 1.6.7.

Решение. Разобьем данную площадь на три прямоугольника 1, 2, 3. Центр тяжести каждого прямоугольника лежит на пересечении его диагоналей.

Определим площади и координаты центров тяжести каждой части относительно выбранных осей координат:

фигура 1: А_х = 20 • 35 = 700 см²; х_х = 10 см; у_х = 17,5 см;

фигура 2: А₂ = 40 • 20 = 800 см²; х₂ = 40 см; у₂ = 10 см;

фигура 3: А₃ = 30 • 50 = 1500 см²; х₃ = 75 см; у₃ = 25 см.

Рис. 1.6.7

Статические моменты площади:

Координаты центра тяжести:

Задача 2. Определить положение центра тяжести сечения, состоящего из простых геометрических фигур (рис. 1.6.8).

Решение. Разбиваем сечение на пять фигур: два прямоугольника, два треугольника и круг. Они обозначены цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Определяем центры тяжести простых фигур: точки с_р с₂, с₃, с₄, с₅. Выбираем систему координат. Ось х совмещаем с центром тяжести с₂, а ось у — с осью симметрии сечения. Находим площади и координаты центров тяжести отдельных фигур относительно осей х и у. Координата х_с = 0, так как центр тяжести лежит на оси симметрии у.

Рис. 1.6.8

Координату у_с определяем по формуле

Через найденный центр тяжести проводим центральные

ОСИ XV.

С' с

Задача 3. Определить центр тяжести сечения, состоящего из двух равнобоких уголков 56 х 4 и швеллера № 18 (рис. 1.6.9).

Решение. Обозначим уголки цифрами 1 и 2, швеллер — цифрой 3. По таблице сортамента ГОСТ 8509—93 для уголков и ГОСТ 8240—97 для швеллера укажем центры тяжести каждой фигуры с_р с₂, с_у Выберем систему координатных осей: ось у — ось симметрии; ось* совпадает с центром тяжести уголков. Определим координаты центра тяжести сечения. Так как ось у совпадает с осью симметрии, тох.. = 0; координату^, находим по формуле

Через найденный центр тяжести проходит центральная ось х_с.

Рис. 1.6.9

Задачи для самостоятельного решения

Определите центры тяжести фигур, изображенных на рис. 1.6.10, 1.6.11.

Вопросы для самоконтроля

• 1. Дайте определение центра параллельных сил и укажите его свойство.
• 2. Что называется центром тяжести тела?
• 3. Напишите формулы для определения координат центров тяжести однородного тела и тонкой однородной пластинки.
• 4. Что называется статическим моментом площади плоской фигуры? В чем он измеряется? В каком случае он равен нулю?
• 5. Как определяется центр тяжести плоской фигуры сложной формы?
• 6. Как определяется центр тяжести сечений, составленных из стандартных профилей проката?

Рис. 1.6.10

Рис. 1.6.11