МНОГОПРОЛЕТНЫЕ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ

РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК

Многопролетная статически неопределимая (неразрезная) балка представляет собой сплошной брус постоянного (переменного) поперечного сечения, перекрывающий несколько пролетов и не имеющий шарниров (рис. 3.9.1, а). Промежуточные опоры неразрезной балки устраиваются шарнирно-подвижными, а крайние опоры могут быть либо шарнирно-неподвижными, либо жесткими защемлениями. Неразрезные балки устраиваются двухпролетными, трехпролетными и т.д., с консолями или без них.

От нагрузки, приложенной в произвольном пролете, возникают изгибающие моменты и поперечные силы во всех ее пролетах. Эта способность неразрезных балок перераспределять внутренние силы приводит к уменьшению значений пролетных моментов по сравнению с однопролетными балками и меньшему расходу материалов на их возведение. Благодаря высокой экономичности, надежности и повышенной жесткости неразрезные балки ши-

Рис. 3.9.1

роко используют в строительстве, например в перекрытиях зданий, при устройстве проезжей части мостов, эстакад и т.д. К недостаткам относится возникновение дополнительных сил от неравномерной осадки опор и от изменения температурного режима.

Степень статической неопределимости неразрезной балки находят по формуле

где Л — степень статической неопределимости; С_оп — число опорных стержней; 3 — три уравнения статического равновесия.

Следует иметь в виду, что нумерация опор и пролетов неразрезной балки может быть произвольной. Однако в большинстве случаев опоры принято обозначать слева направо числами 0, 1,2, ..., п — 1, п, п + 1 и т.д., а длину пролетов (также слева направо) — /,, /₂,..., /_и1, l_n, 1_п+1 и т.д. Таким образом, номер пролета совпадает с номером его правой опоры. При данной нумерации уравнение трех моментов для опоры будет иметь вид

Если опору, для которой составляется уравнение трех моментов (опору п), назвать средней, опору п — 1 — левой, п + 1 — правой, пролет 1_п — левым, а пролет 1_п +, — правым (таково их взаимное расположение), то уравнение трех моментов для рассматриваемой опоры в общем примет вид

Фиктивные опорные реакции, стоящие в правой части уравнения трех моментов следует определить по формулам таблиц приложения 9.

При расчете неразрезной балки с шарнирными опорами уравнение трех моментов должно быть составлено для каждой промежуточной опоры.

Если одна из опор защемлена, то ее мысленно заменяют шарнирной, добавляя при этом фиктивный пролет / —»0. В этом случае рассматриваемая крайняя опора становится как бы промежуточной и для нее составляется еще одно уравнение трех моментов.

При составлении уравнения трех моментов надо исключить член уравнения, содержащий момент над крайней шарнирной опорой, если со стороны этой опоры нет консоли. Если же консоль имеется, то момент над крайней опорой должен входить в составляемое уравнение как известная величина, численно равная алгебраической сумме моментов всех сил, приложенных к консоли, относительно точки оси балки над этой опорой.

После решения полученной системы уравнений трех моментов станут известны значения всех опорных моментов. Дальнейший расчет ведем, пользуясь формулами для определения изгибающего момента и поперечной силы в любом сечении балки.

Пример. Для неразрезной балки (рис. 3.9.1, а) построить эпюры Q_y и М_х.

Дано: Т⁷, = 40 кН; q = 8 кН/м; Р₂ = 20 кН.

Решение

Нумеруем опоры слева направо: 0, 1,2, 3. Длину пролетов обозначим /,, /₂,1_у Вычислим степень статической неопределимости: Л = С_оп —3 = 2, т.е. балка дважды статически неопределима.

Вычисляем для каждого пролета фиктивные опорные реакции В^фиА^ф:

Для каждой из промежуточных опор составляем уравнение трех моментов:

Подставляя в эти уравнения числовые значения, учитывая, что М, = М_ъ = 0, получаем систему уравнений для нахождения М и М₂

После упрощений получаем

Решая систему методом подстановки, находим:

4. Построение эпюры поперечных сил Q_y.

Ординаты эпюр для каждого пролета вычисляем по формуле

где — балочная поперечная сила в сечении; М_т и Л/ — соот-

у пр лев

ветственно опорные моменты на правой и левой опоре; / — пролет отдельной балки.

На участке с распределенной нагрузкой расстояние z₀ от опоры до сечения, в котором Q_y = 0 (если оно будет иметь место), определяется по формуле

Это сечение обозначим буквой D. Оно характерно тем, что эпюра изгибающих моментов в этом сечении имеет перегиб

("max ^ИЛИ "min)'

Получаем:

Строим соответствующую эпюру Q_y (рис. 3.9.1, д).

5. Построение эпюры изгибающих моментов.

Эпюра М₀ — эпюра моментов для каждого пролета, рассматриваемая как простая балка:

Соответствующая эпюра — на рис. 3.9.1, б.

Эпюра М^оп — эпюра опорных моментов:

Откладываем найденные значения, соединяем их ломаной линией. Соответствующая эпюра — на рис. 3.9.1, в.

Эпюру изгибающих моментов для неразрезных балок строим, суммируя значения эпюр М° и М^оп:

Соответствующая эпюра — на рис. 3.9.1, г.

6. Определяем опорные реакции в балке по формуле R_n = ⁼ Q_n + Q_n+р где Q_n + Q_n+{ — поперечные силы, действующие слева и справа от опоры.

Находим:

7. Проверку правильности решения проведем, составив сумму проекций всех сил на ось у:

IF_y = R₀- F_{ + Л, - ql₂ + R₂- 2F₂ + R₃ = 14.47 - 40 + 50,08 - - 8,6 + 48,4 - 40 + 15,045 = 128 + 127,995 = 0,005 - 0. Следовательно, задача решена правильно.

Вопросы для самоконтроля

• 1. Какой вид имеет уравнение трех моментов?
• 2. Как определяют опорные реакции неразрезных балок?
• 3. Объясните порядок расчета неразрезных балок.
• 4. Как строится суммарная эпюра изгибающих моментов?
• 5. Как определяется максимальный изгибающий момент в пролете с равномерно распределенной нагрузкой?