Оптимизация выбора материала для тонкостенных осесимметричных оболочек

Такие объекты имеют форму тел вращения с малой по сравнению с радиусом толщиной (трубопроводы, обечайки котлов, ракетных двигателей и др.).

Рассмотрим эту задачу на некоторых примерах с пояснениями особенностей и порядка проведения необходимых расчетов.

Пример 5.6. Для изделия в виде трубы диаметром 1000 мм, нагруженной внутренним давлением 7,35 МПа (75 ат), на основании материа- ловедческого анализа (см. подразд. 4.2 и 4.3) подготовлен перечень материалов, удовлетворяющих заданным требованиям (он приведен в табл. 5.8). Выбрать из этого перечня материал, обеспечивающий минимальную массу трубы при ее надежности не менее 0,999.

Из условия вытекает, что ставится задача

Несущая способность трубы (h « D) при выражении ее через массу определяется соотношением (5.28).

В правой части уравнения все параметры, кроме предела прочности, есть постоянные величины; масса, хотя и будет меняться от варианта к варианту применительно к конкретному случаю, тоже будет постоянной. Поскольку предел прочности рассматриваемых материалов — случайная величина, несущая способность будет тоже случайной величиной. С учетом ранее проведенного анализа (см. подразд. 3.2.1 и 3.3.1) принимаем нормальный закон распределения характеристик прочности, а следовательно, и несущей способности.

Нагрузка, по условиям задачи, — постоянная величина. Таким образом, при нормальном распределении несущей способности нормальным будет и распределение функции работоспособности в виде разности, выражаемой зависимостью (5.2). Другими словами, при решении данной задачи можно пользоваться нормальным распределением.

На основании изложенного для определения безотказности следует воспользоваться соотношением (5.9)^которое применительно к данному случаю (S_R__Q = S_R, S_R = RV_r) преобразуется

к виду:

Решая совместно это уравнение с уравнением (5.28), получаем

или

поскольку в данном случае V_R = V_C ^[1].

Принимая во внимание, что произведение 2nr²lQ — фиксированная для данного изделия величина, его можно опустить и определять условную массу

I

Какую-либо из этих функций надо минимизировать при Р = const, а следовательно, и U = const.

з

Поскольку набор материалов уже известен и число их сравнительно невелико, задачу целесообразно решать методом простого перебора с учетом дискретности по плотности. Сформированная функция имеет простой вид, что позволяет для проведения необходимых расчетов воспользоваться микрокалькулятором.

Заметим, что в качестве характеристики материала принят предел прочности, поскольку отказом трубы считается ее разрушение. Неоднородность сравниваемых материалов по пределу прочности охарактеризована коэффициентом вариации в соответствии с данными табл. 3.1 и 3.6. Требуемому уровню надежности 0,999 согласно приложению (см. П 3.1) отвечает значение U— 3.

Результаты проведенных расчетов, полагая / = 1 м, представлены в табл. 5.8. В случае необходимости получения истинной массы погонного метра трубы (кг) надо условный вес умножить на 2nr²Q. Зная массу трубы, можно определить толщину равнобезотказных труб из указанных материалов.

Приведенные данные показывают, что при заданных условиях минимальной массой будет обладать труба из материала типа СВАМ; даже при соотношении продольных и поперечных шпонов 1:1 (ортотропный вариант) труба будет легче, чем из всех других материалов. Изделие можно сделать еще легче, перейдя к другому соотношению шпонов, которое должно быть установлено с учетом уровня расчетных напряжений в осевом и тангенциальном направлениях.

Из металлических материалов наименьшая масса обеспечивается при изготовлении трубы из высокопрочной стали 30ХГСН2А. Что касается материалов с меньшей плотностью, то из них лучшим в рассматриваемой ситуации будет Д16, а не ОТ4-1, хотя прочность последнего значительно выше.

В этой связи обратим внимание на то, что зависимость (5.32) подтверждает правомерность ранее использовавшихся критериев предварительной оценки материалов по удельной прочности с учетом неоднородности их свойств и уровня надежности предполагаемых изделий (см. подразд. 5.2.1.1).

Следует особо подчеркнуть, что приведенные оценки справедливы только для конкретного случая, для заданного уровня надежности и принятой технологии обработки материалов, количественной оценкой которой является не только предел прочности (его среднее значение), но и коэффициент вариации.

При изменении коэффициента вариации, даже при сохранении уровня прочности, оценки материала могут измениться. Так, если бы при производстве труб из титанового сплава ОТ4-1 удалось понизить коэффициент вариации до 0,02, условный вес был бы не 7,08, а 6,25 и относительная масса 2,41, что означает равноценность титанового сплава с алюминиевым и делает его лучшим по сравнению со сталью 30ХГСА.

Кроме того, полученные оценки относятся к исходному состоянию изделия. Если же на него могут повлиять условия эксплуатации (см. подразд. 3.2.2 и 3.3.2), то это должно быть учтено и аналогичные расчеты должны быть проведены с использованием предела прочности и коэффициента вариации, соответствующих условиям эксплуатации. Предположим для примера, что рассматриваемое изделие будет эксплуатироваться (храниться) в течение 10 лет; предел прочности материала СВАМ при этом в соответствии с зависимостью (3.49) из-за старения понизится до 450 и 850 при одновременном повышении коэффициентов вариации до 0,015 и 0,012 при соотношениях продольных и поперечных слоев шпона 1:1 и 10:1. В этом случае условная масса трубы вместо 5,37 будет 7,27 и вместо 2,59 — 3,31 соответственно. А это означает уже неприемлемость ортотропного варианта материала СВАМ, поскольку при изготовлении трубы из сталей и сплавов эта масса будет меньше. Конкурентоспособным может оказаться только анизотропный вариант.

Аналогичным образом следует учитывать влияние и других условий эксплуатации. Заметим также, что если бы изделие, будучи в рабочем режиме, нагревалось до 300—400 °С, то варианты с применением полимерных композитов вообще бы отпали (они не вошли бы и в число марок перечня).

В заключение напомним, что все приведенные оценки материалов получены при условии постоянства нагрузки. В общем же случае целевую функцию надо формировать путем совместного решения уравнений (5.9) и (5.28) вместо (5.30) и (5.28). Целевая функция, учитывающая случайный характер нагружения усложняется; в окончательном виде (полагая, что / = 1 м) она будет

Далее, как и ранее, задача оптимизации решается путем простого перебора. Заметим, что она еще более усложнится, если несущая способность и эксплуатационная нагрузка будет охарактеризована функциями соответствующих случайных величин и тем более случайными функциями.

Пример 5.7. В условиях предыдущего примера оптимизировать выбор материала, обеспечивающего минимум стоимости трубы при том же уровне ее надежности.

В данном случае ставится задача об отыскании min С при Р = const (без ограничения по массе).

Несущая способность трубы при выражении ее через стоимость представлена уравнением (5.29). Решая его совместно с уравнением (5.30), получаем выражение для целевой функции

Принимая во внимание, что 2nr²Ql величина постоянная, можно определить условную стоимость

Проведем расчет для трубы длиной 1 м; в этом случае для получения реальной стоимости достаточно умножить величину условной стоимости H'd2nr²Q.

По указанным ранее причинам расчет ведем методом перебора. Результаты проведенных расчетов представлены в табл. 5.9. Цены на материалы при этом взяты из табл. 5.3 (без учета затрат на формирование изделия).

Приведенные результаты показывают, что самым дешевым, как и следовало ожидать, будет изделие из стали 30ХГСА. Несколько дороже, но дешевле всех остальных, будет изделие из алюминиевого сплава Д16. Изделия же из стеклопластиков, несмотря на их меньшую плотность, значительно дороже изделий из стали, в том числе высокопрочной.

Еще раз напомним, что полученные стоимостные оценки являются условными. Что же касается влияния условий эксплуатаТаблица 5.9. Сравнительная оценка равнобезотказных труб по стоимости

ции на свойства материала, то они должны учитываться так же, как это делалось в предыдущем примере.

Попутно заметим, что из полученной зависимости (5.34) вытекает обоснованность предложенного ранее критерия сравнительной оценки удельной стоимости с учетом свойств (в данном случае прочности) (см. подразд. 5.2.1.2).

Заключая рассмотрение этого примера, обратим внимание, что при необходимости учета разброса давления задача решается аналогично предыдущему случаю; целевая функция, полагая / = 1 м, будет иметь вид:

Пример 5.8. В условиях примера 5.6 оптимизировать выбор материала, обеспечивающего максимум надежности трубы и минимум ее стоимости при допустимой массе 70 кг на метр длины⁴.

Имеется в виду установление рационального соотношения между надежностью

и стоимостью.

Запишем условие задачи в формализованном виде:

Из этого следует, что в целевой функции надо увязать стоимость, массу и надежность.

Выражение стоимости через надежность было уже получено при решении примера 5.7 (зависимость 5.33). Надежность же с массой увязана в уравнении (5.3Г), из которого следует

Итак, целевой функцией будут уравнения (5.33) и (5.35), решая которые надо найти минимальную стоимость и максимальную надежность при фиксированной величине массы 70 кг/м.

В связи с ограниченностью возможных вариантов (выбранных ранее марок) задачу опять-таки целесообразно решать методом перебора с учетом дискретности по прочности материала и его плотности. Необходимые для расчетов данные по свойствам и стоимости материалов возьмем из табл. 5.8 и 5.9. Результаты соответствующих расчетов представлены в табл. 5.10.

Выбор оптимального варианта производится путем сопоставления. Нетрудно видеть, что из высоконадежных вариантов (0,999) наиболее дешевыми являются изделия из высокопрочной стали 30ХГСН2А. Самым же дешевым будет изделие из стали 30ХГСА, но оно будет менее надежным.

Заметим, что изделия из алюминиевого сплава Д16 и уж тем более из титанового сплава ОТ4-1 будут и дороже и менее надежны, чем из стали 30ХГСА. Самым же надежным (см. параметр надежности), но и самым дорогим будет изделие из СВАМ (1:10). И наконец, изделие из СВАМ (1:1) практически равнонадежно с изделием из высокопрочной стали, но значительно дороже его. Подчеркнем, что здесь не учитывалась большая технологичность материала СВАМ; для такого учета надо знать и использовать в расчетах стоимость материала труб с учетом затрат на их изготовление.

Окончательное (в данном случае компромиссное) решение принимается заинтересованными лицами (конструктором, заказчиком); оно и будет оптимальным.

В зависимости от постановки задачи при формировании целевой функции условия работоспособности могут формулироТаблица 5.10. Надежность и стоимость труб равной массы (70 кг/м)

ваться и по другим параметрам. Как уже было показано (см. пример 5.2), их можно сформулировать, например, по соответствующим моментам. В случае сложнонапряженного состояния условие работоспособности удобнее формулировать по разрушающему и приведенному (обобщенному) действующему напряжениям.

Проиллюстрируем последнее на примере.

Пример 5.9. Несущий бак летательного аппарата радиусом г = 300 и длиной / = 1000 мм нагружен внутренним давлением газа Q = 2 МПа, в полете подергается изгибу моментом M_g = 400 кНм. Оптимизировать выбор материала из подготовленного на основании материаловедческого анализа перечня марок, обеспечивающего минимум массы при требуемой надежности Р = 0,999.

В качестве определяющего параметра материала принимаем предел текучести, так как изменение формы (деформация) бака не допускается. По этой причине из перечня материалов исключаются стеклопластики. Эксплуатационные воздействия характеризуются действующими напряжениями, обусловливаемыми внутренним давлением и внешним (изгибающим) моментом.

Тангенциальная составляющая напряжений, возникающих в оболочке, определяется из зависимости (5.27). Осевая же составляющая напряжений будет:

Для расчета принимаем напряжения одного знака (неблагоприятный вариант) и в соответствии с четвертой теорией прочности определяем приведенные напряжения:

Обозначим постоянную величину

Тогда

В таком случае с учетом зависимости (5.30) имеем

Для построения целевой функции выражаем массу через размеры и плотность:

И с помощью этой зависимости определяем приведенные напряжения

где В = A2nrl = const.

В таком случае функция параметра надежности с учетом зависимости (5.36) будет

После преобразования получаем целевую функцию в виде

Задачу оптимизации решаем методом перебора с учетом дискретности по плотности материалов. Результаты соответствующих расчетов применительно к выбранному перечню металлов и сплавов приведены в табл. 5.11.

Таблица 5.11. Материалоемкость труб равной безотказности

Результаты сравнения показывают, что в заданных условиях при требуемом уровне надежности лучшим является вариант изготовления бака из высокопрочной стали.

Заметим, что если несущий бак нагревается в полете, надо ввести соответствующую поправку в значение предела текучести и его коэффициента вариации.

• [1] В соответствии с формулой (5.27) S R = — S0b и VrR = — gbVCb , следовательно,с учетом формулы (5.29) VR = Va . r r