КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Пропозициональные связки

Первой логической теорией, которая будет рассмотрена, является классическая логика высказываний. При выявлении логических форм контекстов естественного языка в этой теории происходит абстрагирование от содержаний простых высказываний, от их внутренней структуры, а учитывается лишь то, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные.

Данный уровень анализа логических форм предполагает, во-первых, наличие в формализованном языке нелогических символов только одного типа - параметров, которыми могут замещаться простые высказывания естественного языка. Эти параметры будем называть пропозициональными переменными и употреблять в качестве них символы - р, q, г, s, pi, qb гь S|, рг,... Во-вторых, все логические символы этого формализованного языка также принадлежат к одной категории, они образуют из одной или нескольких формул новую формулу, а их прототипы в естественном языке, например «и», «или», «если ..., то», являются терминами, образующими из одних высказываний другие, более сложные. Логические символы указанного типа будем называть пропозициональными связками.

Логика высказываний (пропозициональная логика) - это логическая теория, язык которой содержит один тип нелогических символов - пропозициональные переменные, а также один тип логических символов - пропозициональные связки.

Особенности языка логики высказываний определяют специфику ее законов, а также устанавливаемых в этой теории способов правильных рассуждений. Законами пропозициональной логики будут формы таких высказываний, логическая истинность которых обусловлена логическими свойствами содержащихся в них пропозициональных связок и не зависит от свойств других логических терминов. Правильными, с точки зрения логики высказываний, являются лишь такие умозаключения, в которых наличие логического следования между посылками и заключениями обусловлено этими же самыми факторами.

Прежде чем будет осуществлено систематическое построение языка логики высказываний, следует подробнее рассмотреть вопрос о том, какие логические символы имеются в его алфавите. Выше уже говорилось, что алфавит этого формализованного языка содержит некоторое множество пропозициональных связок, образующих из формул новые формулы. Набор пропозициональных связок в алфавите языка логики высказываний может быть различным. Перечислим сначала наиболее употребимые связки и укажем их логический смысл.

Отрицание (будем использовать для него символ «—I») является унарной связкой, т. е. оно из одной формулы образует другую, более сложную формулу: из произвольной формулы А формулу —iA. Логическое содержание высказывания, имеющего форму —Л, таково: в нем утверждается отсутствие положения дел, описываемого в А.

Сказанное означает, что если положение дел, описываемое в А, отсутствует (т. е. если А ложно), то высказывание —Л соответствует действительности (т. е. —Л истинно). Если же положение дел, описываемое в А, имеет место (т. е. если А истинно), то утверждение —А не соответствует действительности (т. е. —Л ложно).

Указанный смысл имеет в естественном языке выражение «неверно, что». Присоединяя его к произвольному ложному высказыванию (например, «2 > 3»), мы получаем истинное высказывание («Неверно, что 2 > 3»), а из истинного (например, «3 > 2») это выражение образует ложное высказывание («Неверно, что 3 > 2»). Таким образом, знаку «—I» в естественном языке соответствует «неверно, что».

Конъюнкция (будем использовать для нее символ «&») является бинарной связкой, т. е. она из двух формул образует новую, более сложную формулу: из произвольных формул А и В - формулу (А & В). В высказываниях вида (А & В) утверждается одновременное наличие двух положений дел - описываемого в А и описываемого в В.

Таким образом, если оба положения дел имеют место в действительности (т. е. если и А, и В истинны), то конъюнктивное высказывание (А & В) является истинным. Если же по крайней мере одно (а может быть, и оба) положение дел отсутствует (т. е. если А или же В ложно), то утверждение (А & В) не соответствует действительности (т. е. является ложным).

Формулировка конъюнктивных высказываний в естественном языке обычно осуществляется с помощью союза «и». Например, высказывание «2 - простое число, и 2 - четное число» истинно, так как обе его части - истинные высказывания. Ложными являются следующие высказывания: «3 - простое число, и 3 - четное число» (вторая его часть - ложное высказывание); «4 - простое число, и 4 - четное число» (первая его часть - ложное высказывание); «9 - простое число, и 9 - четное число» (обе его части ложны).

Следует, однако, иметь в виду, что не любое употребление союза «и» в контекстах естественного языка выражает указанный смысл связки &. Например, в высказывании «Мэри вышла замуж и родила ребенка» союз «и» выражает мысль не об одновременном наличии двух ситуаций, а о последовательной смене этих ситуаций во времени. Поэтому при выявлении логической формы подобных высказываний в языке пропозициональной логики мы не имеем права заменить союз «и» знаком &.

С другой стороны, смысл конъюнкции может в некоторых случаях адекватно выражаться в естественном языке с помощью других терминов: «а», «но», «как ..., так и», «а также» и т. п. Приведенное в §3 предыдущей главы высказывание «Если Волга впадает в Каспийское море, то Днепр - в Черное» является конъюнктивным, поскольку в нем утверждается одновременное наличие двух ситуаций: впадение Волги в Каспийское море и впадение Днепра в Черное море. Конъюнктивная связка в данном случае передается посредством союза «если ..., то».

Дизъюнкция (будем использовать для нее символ «V») - бинарная связка, образующая из произвольных формул А и В новую формулу (A v В). Высказывания данной формы выражают мысль о наличии по крайней мере одного из двух положений дел - описываемого в А или описываемого в В. При этом не исключается случай их одновременного наличия. Этой связке в естественном языке обычно соответствует союз «или».

Высказывание вида (A v В) истинно, если истинным является хотя бы одно высказывание - А или В (или же сразу оба). Если же высказывания - как А, так и В - одновременно ложны, то сложное высказывание (A v В) ложно. Например, высказывание «Петр ходит в 10 класс или занимается спортом» истинно, если выполняется хотя бы одно из двух зафиксированных в нем условий. Если же на самом деле Петр не ходит в 10 класс и не занимается спортом (т. е. если обе части - ложные высказывания), то данное дизъюнктивное высказывание ложно.

В некоторых контекстах естественного языка союз «или» имеет иной смысл. Так, в высказывании «Храбрец или сидит в седле, иль тихо спит в сырой земле» выражается мысль о наличии только одной из двух ситуаций, т. е. утверждается их альтернативность, невозможность одновременного осуществления этих положений дел. В этих случаях союз «или» не может быть заменен дизъюнкцией (символом «V»), ему будет соответствовать иная связка, которая называется строгой (или альтернативной) дизъюнкцией.

Строгая дизъюнкция (будем использовать для нее символ «V») - бинарная логическая связка, образующая из формул А и В формулу (А V В). Высказывание формы (А у В) выражает утверждение о наличии ровно одной из двух ситуаций - описанной в А или описанной в В. Данное высказывание принимает значение «истина» в двух случаях: 1) когда А истинно, а В ложно, 2) когда А ложно, а В истинно (т. е. когда А и В имеют различные значения). Если же значения А и В совпадают (т. е. когда они одновременно истинны или одновременно ложны), то у В) принимает значение «ложь».

Материальная импликация (будем использовать для нее символ «з» - бинарная связка, образующая из формул А и В формулу (А з В). В импликативных высказываниях этой формы утверждается, что в случае, когда имеет место положение дел, описываемое в А, имеет место также и положение дел, описываемое в В. Логическое содержание (А з В) можно эквивалентным образом переформулировать так: не имеет места ситуация, при которой положение дел, описываемое в А, наличествует, а положение дел, описываемое в В, отсутствует. Отсюда следует, что при истинном А и ложном В высказывание формы (А з В) ложно. В остальных же случаях оно истинно, т. е. оно истинно, если: 1) А и В истинны, или 2) А ложно, а В истинно, или 3) А и В ложны.

В естественном языке смысл материальной импликации наиболее адекватно выражается союзом «если ..., то». В высказываниях вида «Если А, то В», а также в формулах (А з В) выражение А называют

антецедентом, а выражение В консеквентом. В предложениях естественного языка антецедент не всегда предшествует консеквенту. Например, антецедент высказывания «Владельцы акций разоряются, если их курс падает» - его вторая часть, а консеквент - первая.

Союз «если ..., то» во многих случаях своего употребления несет и дополнительную смысловую нагрузку - выражает связь между положениями дел, при которой одно из них обусловливает другое. Например, в приведенном только что высказывании не просто констатируется отсутствие такой ситуации, что курс акций падает, а большинство их владельцев не разоряется, но также указывается на то, что разорение владельцев акций обусловлено фактом падения курса последних.

Материальная импликация широко употребляется в науке. Скажем, в математике признается истинным, что для произвольного числа верно, что если оно кратно 4, то оно кратно 2. А раз это верно для любого числа, то истинными окажутся импликативные высказывания об отдельных числах, например о 8, 6, 5: «Если 8 кратно 4, то 8 кратно 2» (в нем и антецедент, и консеквент истинны), «Если 6 кратно 4, то 6 кратно 2» (в нем антецедент ложен, а консеквент истинен), «Если 5 кратно 4, то 5 кратно 2» (в нем антецедент и консеквент ложны).

Материальная эквиваленция (будем использовать для нее символ «=») - бинарная связка, образующая из формул А и В формулу (А = В). Высказывания вида (А = В) утверждают, что положения дел, описанные в А и В, либо одновременно имеют место, либо одновременно отсутствуют. Содержание такого рода высказываний можно выразить иначе: в них утверждается, что при наличии положения дел, описанного в А, имеет место также и положение дел, описанное в В, и наоборот, при наличии второго положения дел имеет место и первое. Высказывания вида (А = В) истинны в случаях, когда А и В одновременно истинны или же одновременно ложны, т. е. когда их значения совпадают. Если же значения А и В различны, то = В) ложно. Связке «=» в естественном языке соответствуют по смыслу союзы «если и только если», «тогда и только тогда, когда».

Перечисленные пропозициональные связки имеют одну важную особенность. Значения сложных выражений, образованных с их помощью, зависят только от значений тех выражений, из которых образованы сложные. Иначе говоря, для того чтобы определить, являются ли высказывания вида —А, (А & В), (A v В), (А V В), (А з В), (А = В) истинными или ложными, необходимо и достаточно знать, какими - истинными или ложными - являются их части А и В. Действительно, если высказывание А истинно, то —А оказывается ложным; если же А ложно, то —А будет истинным. Если известно, например, что А и В одновременно истинны, то высказывания вида (А & В), (A v В), (А з В), (А = В) примут значение «истина», а v В) - значение «ложь».

Таким образом, зная значения А и В, можно однозначно установить значения выражений, образованных из них с помощью связок —I, &, v, з, =. Это позволяет рассматривать данные символы как знаки функций особого типа: возможными аргументами и значениями этих функций являются объекты «истина» и «ложь». Такие функции называют функциями истинности, а пропозициональные связки, которые служат знаками этих функций, - истинностно-функциональными.

Существует бесконечное число функций истинности, хотя для каждого п число /7-местных функций истинности (функций от п ар- гументов) конечно и равно 2 . Например, количество одноместных

функций - 4, двухместных - 16, трехместных - 256.

Для большинства функций истинности в естественном языке нет выражений, которые бы их представляли. Однако имеется принципиальная возможность ввести свой собственный символ - пропозициональную связку - для любой функции указанного типа в алфавит формализованного языка.

Возникает вопрос, должны ли в алфавите языка логики высказываний содержаться все истинностно-функциональные связки. Оказывается, что необходимость в этом отсутствует. Дело в том, что одни функции истинности могут быть выражены с помощью других. Более того, имеются такие конечные наборы функций, посредством которых выразима любая функция истинности. Эти наборы называют функционально полными.

Одной из функционально полных систем является множество функций, представленных связками —?, &, v и з. Покажем, например, каким образом с их помощью можно выразить функции, соответствующие связкам строгой дизъюнкции (v) и эквива- ленции (=).

Логический смысл высказывания вида (А у В) можно равносильным образом передать посредством следующего сложного высказывания: ((А & —iB) v (—iA & В)). Пользуясь условиями истинности и ложности высказываний, содержащих —?, &, v, можно убедиться в том, что выражение вида ((А & —iB) v (—iA & В)) примет значение «истина» только в двух случаях: 1) когда А истинно, а В ложно, 2) когда А ложно, а В истинно. Но в точности в тех же самых случаях истинно и высказывание вида (А у В). Таким образом, функция истинности, соответствующая строгой дизъюнкции, выразима посредством функций отрицания, конъюнкции и нестрогой дизъюнкции.

Логический смысл высказывания вида (А = В) равносилен смыслу выражения ((А =э В) & (В з А)). Данные выражения принимают значение «истина» в одних и тех же случаях: 1) когда А и В истинны, 2) когда А и В ложны. Таким образом, функция эквиваленции выразима посредством функций конъюнкции и импликации.

Следует отметить, что не всякая пропозициональная связка (связка, образующая из некоторого числа формул новую формулу) является истинностно-функциональной. В естественном языке имеются такие сложные высказывания, значения которых не всегда можно установить, зная лишь значения высказываний в их составе. Например, для того, чтобы утверждать, что высказывание «Мэри вышла замуж и родила ребенка» истинно, недостаточно установить истинность высказываний «Мэри вышла замуж» и «Мэри родила ребенка», из которых оно образовано. Необходимо, кроме этого, убедиться в том, что положение дел, описанное в первом из них, предшествовало во времени положению дел, описанному во втором. Следовательно, пропозициональная связка, которая соответствует данному употреблению союза «и» (в смысле «а затем»), не является знаком функции истинности.

К числу истинностно-функциональных не относится также связка, выражающая условную связь между ситуациями (для этой связки используют обычно символ «—»> и называют ее релевантной или помологической импликацией). Высказывание вида (А —» В) истинно, если положение дел, описываемое в А, обусловливает наличие ситуации, описанной в В. Высказывание (А —> В) в отличие от (А з В) может оказаться ложным не только в случае, когда А истинно, а В ложно. Так, при истинных А («3 > 2») и В («Волга впадает в Каспийское море») высказывание (А —» В) ложно, хотя в других случаях, когда А и В истинны, (А —» В) может оказаться и истинным, например, если А есть высказывание «Медь - металл», а В - «Медь проводит электрический ток».

Еще один тип пропозициональных связок составляют модальности. Они выражаются в естественном языке такими оборотами, как «необходимо, что...» (для этой модальности используют обычно символ «?»), «возможно, что...» («О»), «случайно, что...» («V») и т. п. Нетрудно убедиться в том, что модальности также не являются знаками функций истинности. Действительно, высказывания вида ?А могут оказаться как истинными, так и ложными при истинном А. Если же А ложно, то на основании лишь этого факта нельзя однозначно определить, является ли высказывание О А истинным или ложным.

Логическая теория, которая будет изложена в данной главе, - классическая логика высказываний - содержит в своем языке в качестве логических символов только истинностно-функциональные связки. Исследование свойств иных видов пропозициональных связок (временных, модальных, релевантной импликации и т. п.) осуществляется в других логических теориях, которые называют не классы ческими логиками.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >