СИЛЛОГИСТИКА

Общие сведения о силлогистике

Силлогистика является первой логической дедуктивной теорией. Построил ее основатель логики древнегреческий философ Аристотель. Непреходящее значение данной теории состоит в том, что она послужила образцом для создания других аксиоматических теорий. В частности, аксиоматическая система геометрии Евклида была создана последним в духе тех принципов построения и исследования дедуктивных систем знания, которые сформулировал Аристотель применительно к силлогистике. Кроме того, силлогистика отличается значительной простотой, элегантностью и кажущейся самоочевидностью устанавливаемых в ней логических законов, формулировка которых осуществляется почти на естественном языке без использования какой-либо сложной символики. Все это делает силлогистику наиболее простым и легко доступным средством приобщения учащихся к логическому знанию, а потому, начиная с античности и вплоть до настоящего времени, изучение силлогистики является обязательным элементом логического образования.

На русский язык греческий термин «syllogismos» переводится как «сосчитывание», «вычисление», и поэтому производный от него термин «силлогистика» можно было бы перевести русским термином «исчисление».

В силлогистике исследуются различного рода логические отношения между категорическими атрибутивными высказываниями. К их числу относятся высказывания следующих логических форм:

  • 1. Всякий а есть Р - общеутвердительные.
  • 2. Всякий (Ни один) а не есть (3 - общеотрицательные.
  • 3. Некоторый а есть Р - частноутвердителъные.
  • 4. Некоторый а не есть Р - частноотрицателъные.
  • 5. а есть Р - единичноутвердителъные.
  • 6. а не есть Р - единичноотрицательные.

Термин «категорический» является производным от греческого «categoria», что можно перевести на русский язык как «сказывание».

Соответственно, термин «категорический» можно было бы перевести как «без сомнений, окончательно, безапелляционно сказанный». В высказываниях отмеченного типа всегда утверждается или отрицается наличие у предметов некоторого атрибута (от лат. «attribu- tum» - свойство). Поэтому данные выражения называются атрибутивными.

В составе высказываний этих форм выделяют кванторные слова, предицирующие связки и термины.

В каждом категорическом атрибутивном высказывании имеется два термина: субъект - термин, обозначающий те предметы, о которых в высказывании нечто утверждается или отрицается, и предикат - термин, обозначающий то, что предицируется, утверждается или отрицается об этих предметах, а утверждается или отрицается в силлогистике всегда некоторое свойство. В указанных логических формах высказываний местоположение субъекта показано знаками а и a, а местоположение предиката - знаком р. Так, в выражении «Сократ - мудрец» термин «Сократ» - это субъект, а термин «мудрец» - предикат. В выражении «Всякий человек, обучающийся в школе, изучает какую-нибудь науку» словосочетание «человек, обучающийся в школе» является субъектом, а словосочетание «изучает какую-нибудь науку» является предикатом.

По количеству атрибутивные категорические высказывания делятся на единичные, в которых признак предицируется отдельному предмету и субъектом которых является единичный термин (имя), и множественные, в которых признак предицируется предметам некоторого класса. Среди множественных выделяют общие и частные высказывания. К первым относятся высказывания, содержащие квантор общности, выражаемый словами «всякий», «любой», «каждый», «все» (для отрицательных высказываний часто используется словосочетание «ни один») и другими их синонимами. Ко вторым относятся высказывания, содержащие квантор существования, выражаемый словами «некоторый», «какой-либо» и др.

По качеству рассматриваемые высказывания делятся на утвердительные, указывающие на факт наличия свойства у предметов (в них присутствует утвердительная предицирующая связка «есть») и отрицательные (в них присутствует отрицательная предицирующая связка «не есть», которая предицирует отсутствие некоторого свойства у предметов). Иногда, в соответствии с правилами русской грамматики, связка «есть» заменяется знаком «тире», часто также вместо слова «есть» употребляется слово «является», зачастую связка вообще не выражается, а только подразумевается. Например, вместо «Человек есть разумный» говорят «Человек является разумным» или «Человек разумен».

В названиях атрибутивных высказываний указываются их количественные и качественные характеристики. Как будет далее показано, единичные высказывания можно трактовать как высказывания общего характера, а потому они не будут играть самостоятельной роли в силлогистике.

Итак, самостоятельную роль в силлогистике играют лишь высказывания первых четырех типов.

В средние века высказывания этих последних типов получили специальные обозначения: предложения с логической формой «Всякий а есть Р» стали называться высказываниями типа а (первая буква латинского слова «affirmo» - утверждаю); предложения с логической формой «Некоторый а есть Р» стали называться высказываниями типа i (вторая гласная в том же слове); предложения вида «Всякий а не есть Р» стали относиться к высказываниям типа е (первая гласная буква в слове «nego» - отрицаю), а предложения вида «Некоторый а не есть Р» - к высказываниям типа о (вторая гласная в слове «nego»).

Эти обозначения оказались очень удобным средством сокращенного (формульного) представления в языке категорических высказываний. Пользуясь ими, будем выражать логическую структуру первых четырех логических форм посредством формул:

Всякий а есть Р - шф,

Всякий а не есть Р - аф,

Некоторый а есть Р - аф,

Некоторый а не есть Р - шф.

В настоящее время в логике, кроме собственно силлогистики Аристотеля, разработано большое количество других силлогистических теорий. Ниже будет рассмотрен тот вариант, который, начиная с поздней античности и вплоть до настоящего времени, постоянно воспроизводится в учебной литературе по логике. Этот вариант называется традиционной силлогистикой. Ее особенностью является наложение на термины категорических атрибутивных высказываний следующих ограничивающих условий: при их интерпретации на некотором универсуме они обязательно должны оказаться знаками таких свойств (классов), которые являются непустыми и неунивер- салъными. Это означает, например, для свойства, обозначенного термином Р, что в универсуме должен найтись хотя бы один предмет v, который обладает этим свойством и для которого верно утверждать, что «у есть Р» (класс Р непуст), и найтись хотя бы один предмет и такой, что он не обладает этим свойством, т. е. для него верно будет утверждать, что «и не есть Р» (класс Р не является универсальным). Только что сказанное можно пояснить следующими схемами (см. Рис.1).

Рис. 1

На схемах квадратами обозначены универсумы - классы предметов, о которых мы собираемся рассуждать. Затенением обозначен класс предметов, обладающих свойством Р, а точками - сами предметы. На схеме (а) ничего не затенено, так как свойство Р пусто и предметов, обладающих этим свойством, нет. На схеме (б) затенен весь универсум, так как каждый предмет из этого универсума обладает свойством Р (данное свойство универсально). На схеме (в) затеняется лишь часть универсума, так как в нем имеются как предметы, обладающие свойством Р (таковым является, например, предмет v), так и предметы, этим свойством не обладающие (предмет и). С учетом принятых в традиционной силлогистике ограничений схемы (а) и (б) далее не будут использоваться, т. е. здесь законной считается лишь схема (в).

Отметим, в частности, что в собственно аристотелевской силлогистике никаких ограничений на термины категорических атрибутивных высказываний не накладывается. В этом она существенно расходится с традиционной силлогистикой.

Различные силлогистические теории могут отличаться друг от друга также и синтаксическими характеристиками терминов, которые являются субъектами и предикатами атрибутивных категорических высказываний. В частности, в данной главе будут последовательно рассмотрены две силлогистические теории - позитивная традиционная силлогистика, а также негативная традиционная силлогистика.

Позитивной силлогистикой называется теория дедукции из категорических высказываний, в которой не учитывается внутренняя структура терминов. Иначе говоря, каждый термин (субъект и предикат) трактуется как элементарное, простое выражение, неразложимое на составные части. С другой стороны, если в языке теории содержится единственный терминообразующий оператор - оператор терминного отрицания, позволяющий по любому термину построить новый термин, являющийся отрицанием исходного, то такая система относится к негативной силлогистике. Таким образом, в негативной силлогистике различаются два типа терминов - положительные и отрицательные.

Описанные выше виды категорических атрибутивных высказываний относятся к числу простых. Но, применяя к ним логические операции, выражаемые пропозициональными связками, можно из простых высказываний строить сложные. Например, можно отрицать то или иное высказывание, строить из них конъюнктивные высказывания и т. д. Для более четкого понимания сказанного введем алфавит силлогистики и понятие силлогистической формулы в позитивной силлогистике.

В алфавит позитивной силлогистики входят следующие символы: S, Р, М, Si, Pi, Mi, S2,... - термины; &, v, =э, —i, a, i, e, о - логические термины (логические постоянные); а также скобки в качестве технических символов.

Понятие силлогистической формулы позитивной силлогистики'.

  • 1. Если аир- термины, то а«Р, а/р, а*?Р, а#Р - силлогистические формулы.
  • 2. Если А - силлогистическая формула, то -iA - силлогистическая формула.
  • 3. Если А и В - силлогистические формулы, то (А & В),
  • v В), (А => В) - силлогистические формулы.
  • 4. Ничто иное не есть силлогистическая формула.

Условимся рассматривать далее формулы, задаваемые пунктом 1 данного определения, как сокращения соответствующих логических форм введенных выше категорических атрибутивных высказываний.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >