Семантика традиционной силлогистики

В традиционной силлогистике не могут встречаться пустые термины, т. е. термины типа «русалка», «человек, достигший центра Земли», «вечный двигатель» и т. д., а также универсальные термины. Например, если в качестве универсума берется класс людей, то в силлогистике нельзя использовать термин «разумное существо», ибо класс разумных существ совпадает с классом людей (является универсальным). Поэтому, чтобы последними терминами мы могли пользоваться и могли рассматривать предложения вида «Каждый человек является разумным существом», необходимо взять более широкий универсум, чем класс людей.

Допустим теперь, что, исходя из тех или иных соображений, выделен и определен некоторый универсум рассуждения U. В таком случае истинность категорических атрибутивных высказываний можно определить в традиционной силлогистике через выполнимость для субъектов и предикатов отношений, задаваемых некоторыми модельными схемами.

(1) Предложение «Всякий а есть Р» истинно тогда и только тогда, когда классы аир находятся в одном из следующих отношений:

Например, субъект и предикат высказывания «Всякий студент является учащимся» находятся в отношении, задаваемом первой модельной схемой, а потому оно является истинным. Точно также является истинным и предложение «Всякий квадрат - это равносторонний прямоугольник», так как субъект и предикат этого высказывания находятся в отношении, задаваемом второй модельной схемой.

(2) Предложение «Всякий а не есть (3» истинно тогда и только тогда, когда классы а и (3 находятся в одном из следующих отношений:

Примером истинного предложения, в котором субъект и предикат находятся в отношении, задаваемом первой модельной схемой, может служить предложение «Ни одно натуральное число не является иррациональным». Вторая модельная схема имеет место для субъекта и предиката предложения «Всякий юридически ненаказуемый поступок не есть преступление», а потому оно также должно рассматриваться как истинное.

(3) Предложение «Некоторый а есть |3» истинно тогда и только тогда, когда классы а и |3 находятся в одном из следующих отношений:

Примерами высказываний, субъекты и предикаты которых соответственно удовлетворяют каждой из данных модельных схем, будут: «Некоторый студент является учащимся», «Некоторый квадрат есть равносторонний прямоугольник», «Некоторый писатель является поэтом», «Некоторый учащийся - спортсмен», «Некоторое натуральное число, меньшее 100, является натуральным числом, большим 80».

(4) Предложение «Некоторый а не есть |3» истинно тогда и только тогда, когда классы а и |3 находятся в одном из следующих отношений:

§2. Семантика традиционной силлогистики

179

Примерами соответствующих высказываний для каждой модельной схемы будут высказывания: для первой схемы - «Некоторое натуральное число не является иррациональным», для второй - «Некоторый юридически ненаказуемый поступок не есть преступление», для третьей - «Некоторый писатель не является поэтом», для четвертой - «Некоторый учащийся не является спортсменом», для пятой - «Некоторое натуральное число, меньшее 100, не является натуральным числом, большим 80».

К определениям истинности частных высказываний нужно сделать одно важное пояснение. В разговорной практике кванторное слово «некоторые» употребляется в двух различных смыслах: (а) «только некоторые» и (б) «по крайней мере некоторые». Употребляя, например, в выражении «Некоторые писатели - люди» это слово в первом смысле, мы вынуждены трактовать данное высказывание как ложное. Ведь в этом случае утверждается «Только некоторые писатели - люди», т. е. предполагается существование таких писателей, которые людьми не являются. А так как таковых нет, ибо все писатели - люди, то наше утверждение ложно. Таким образом, первый смысл употребления слова «некоторые» исключает те отношения между субъектом а и предикатом (3, когда класс предметов, обладающих свойством ос, полностью включается в класс (или полностью исключается из класса) предметов, обладающих свойством р.

Однако в силлогистике принято употреблять слово «некоторые» не в первом, а во втором смысле - «по крайней мере некоторые», что означает: «утверждаемое или отрицаемое верно по крайней мере для одного предмета из класса а, а может быть, и для всех». Именно этим обстоятельством обусловлено то, что две модельные схемы, на которых считаются истинными высказывания типа а, сохраняются в качестве модельных схем и для высказывании типа I, а те модельные схемы, на которых истинны высказывания типа е, переносятся в качестве модельных схем истинности и для высказываний типа о.

(5) Предложение «а есть (3» истинно тогда и только тогда, когда между предметом, обозначенным термином «а», и классом (3 существует следующее отношение:

т. е. предмет а является элементом класса р. Примерами таких истинных высказываний будут «Д. И. Менделеев - химик», «2 - четное число», «Лондон - город» и т. д.

(6) Предложение «а не есть Р» истинно тогда и только тогда, когда между предметом, обозначенным термином «а», и классом р существует следующее отношение:

т. е. предмет а не является элементом класса р. Примерами таких высказываний будут «5 не является четным числом», «Наполеон не является англичанином» и др.

В модельных схемах, участвовавших в определениях (1)—(4), некоторые классы помечались затенением. Этим приемом изображались объемы оказывания, т. е. множества тех предметов из класса а, для которых предицируемое в соответствующих предложениях наличие или отсутствие свойства Р оказывается выполненным. Пользуясь затенением, введем теперь одно очень важное семантическое понятие - понятие распределенности терминов.

Термин, входящий в состав категорического атрибутивного высказывания, распределен в нем, если и только если в каждой модельной схеме, которая является условием истинности высказываний этого типа, класс предметов, обозначенный данным термином, полностью затенен или полностью не затенен. В противном случае будем говорить, что термин не распределен.

Рассматривая теперь модельные схемы для высказываний типа а, е, i и о и помечая распределенные термины знаком «+», а нераспределенные знаком «-», можно суммировать сказанное следующим списком:

Всякий а есть Р~,

Всякий а не есть р1,

Некоторый а есть Р~,

Некоторый а не есть Р .

Легко видеть, что субъекты всегда распределены в общих и не- распределены в частных высказываниях, в то время как предикаты всегда распределены в отрицательных и нераспределены в утвердительных высказываниях.

Что касается единичных высказываний, то в них субъект единичен. На графической схеме он изображен точкой. Однако в традиционной силлогистике все термины трактуются единообразно - как знаки некоторых классов предметов. Поэтому единичные термины должны рассматриваться как обозначающие единичные классы, т. е. классы, содержащие ровно один объект. Если теперь эти единичные классы на соответствующих модельных схемах затенить, то вопрос о распределенности терминов для единичных высказываний должен решаться, в полном согласии с вышеуказанным критерием, следующим образом:

а+ есть Р , а+ не есть Р+.

Как видим, термины в единичных высказываниях распределены точно так же, как они распределены в соответствующих общих высказываниях. Это позволяет считать, что в традиционной силлогистике высказывания единичноутвердительные - это аналоги общеутвердительных, а единичноотрицательные - аналоги общеотрицательных. Тем самым единичные утверждения не будут далее играть самостоятельной роли. Они всегда будут трактоваться как высказывания общие.

Введем в силлогистику понятие логического следования. Пусть Аь Аг,..., А„ и В будут силлогистическими формулами. Тогда:

Из посылок Аь Аг,..., А„ логически следует заключение В (Аь Аг,..., А„ 1= В), если и только если каждая модельная схема, на которой одновременно истинны все посылки Aj, А2,..., А„, делает истинной также и В.

Будем называть В общезначимой формулой силлогистики (законом силлогистики) и писать 1= В, если и только если В является истинной на любой модельной схеме.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >