ПРАВДОПОДОБНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ

Общие сведения о правдоподобных рассуждениях

Важнейшей задачей логики является исследование различных интеллектуальных процедур, посредством которых из уже имеющихся у нас сведений можно получать новую информацию. Одна из таких процедур - процедура дедукции, имеющая место в том случае, когда совокупная информация, выраженная предложениями Aj,..., А„, содержит в качестве своей части (иногда в неявной форме) информацию, выраженную высказыванием В. Дедукция позволяет извлечь эту информацию и представить ее в явной форме. Способом такого извлечения является вывод. Его построение как раз и должно убедить нас в том, что заключенная в высказывании В информация «вытекает» из имеющихся у нас сведений.

Однако достаточно часто мы встречаемся с иной ситуацией: полученные тем или иным способом сведения Aj,..., А„ используются не для осуществления дедуктивного вывода высказывания В из посылок Ai,..., А_п, а применяются как некая «подсказка», «намек», «подводящий», «наводящий» нас на мысль о возможности принятия высказывания В. Рассуждение в этом случае строится по следующей схеме: если информация, содержащаяся в посылках Aj,..., А_п, верна, то правдоподобно было бы считать, что имеет место и В. Переход от посылок к заключению носит здесь не достоверный (как при дедукции), а лишь правдоподобный (проблематичный) характер. Посылки лишь подтверждают В, делают истинность В более достоверной. Именно такого рода рассуждения и будут далее считаться правдоподобными.

Правдоподобный характер связи между посылками и заключением будем обозначать посредством записи

которая читается: «из посылок A_Jv.., А_п правдоподобно следует В». При этом отношение правдоподобного следования «11=» надо отличать от отношения логического следования «1=», лежащего в основе теории дедукции.

Иногда при осуществлении правдоподобного перехода от посылок к заключению удается достаточно точно оценить степень этой правдоподобности, т. е. оценить, насколько обоснована истинность заключения В при истинности посылок Ai,..., А„. Для решения этой задачи используется аппарат теории вероятности.

В теории вероятности исследуются так называемые массовые события - события, которые могут быть исходами (результатами) какого-то много раз повторяющегося опыта. Такими событиями являются, например, выпадение той или иной грани игральной кости при неоднократном ее бросании, прыжок спортсмена на определенную длину, попадание в «десятку» при стрельбе из лука, мнение человека, высказанное им в ходе социологического опроса, и т. д. Обычно, если осуществляется некоторый опыт а и имеется полная система несовместимых исходов (результатов) данного опыта - U = {*1, Х2,..., Jtk}, то каждое событие x_t е U называют элементарным событием. При этом под полной системой несовместимых исходов имеют в виду такую систему результатов опыта, которая удовлетворяет двум условиям: (1) каждый возможный результат опыта а может быть представлен с помощью данной системы исходов, (2) попарно различные исходы х и Xj, входящие в данную систему, не могут осуществиться одновременно. Так, в случае, когда опыт а состоит в бросании игральной кости, элементарными событиями будут выпадения различных граней. Если опыт а состоит в прыжках в длину, то элементарными событиями будут прыжки на определенное расстояние.

Сложные события трактуются как совокупности элементарных, т. е. как подмножества множества U. Считается, что сложное событие осуществилось, если осуществилось по крайней мере одно из элементарных событий, входящих в него.

Если события выражать посредством пропозициональных переменных р, q, г, s,..., то сложные события можно записывать в виде формул - (р & q), (г v р), (s z> q), (р = s), —ip. Первая формула говорит о наступлении сразу двух событий - р и q, вторая формула говорит о наступлении по крайней мере одного из событий - г или р. Третья формула говорит о наступлении так называемого условного события q, которое осуществляется всякий раз, когда осуществляется событие s. Четвертая формула говорит о наступлении двух условных событий - s и р. Причем событие s осуществляется всякий раз, когда осуществляется событие р, а событие р осуществляется всегда, когда осуществляется событие s. Наконец, последняя формула говорит о наступлении такого события, которое осуществляется тогда и только тогда, когда не осуществляется событие р.

Допустим, что посредством р репрезентировано высказывание о событии «выпало четное число», а через q - «выпало число, делящееся на 2», тогда эти два высказывания будут эквивалентными - (р = q), так как они говорят об одном и том же множестве событий - {выпало число 2, выпало число 4, выпало число 6}. Если через р репрезентировано высказывание «осуществлен прыжок за 5 метров», а через q - «осуществлен прыжок за 4 метра», то справедливо будет утверждать -(рэ q), так как множество прыжков за 5 метров включается во множество прыжков за 4 метра. Если р репрезентирует высказывание «выпало четное число», а —ф - «неверно, что выпало четное число», что эквивалентно событию «выпало нечетное число», то выражение (р v —ф) задаст событие «выпало четное или нечетное число», которое совпадает с множеством всех исходов бросания игральной кости; выражение же (р & —ф) задаст событие «выпало четное и нечетное число», которое является пустым множеством, так как такое событие никогда не может осуществиться. Первое из этих событий, реализующееся при любом исходе опыта, называется достоверным и обозначается знаком «1». Второе событие называется невозможным и обозначается знаком «О».

С каждым событием или высказыванием о событии А иногда удается связать величину Р(А), называемую вероятностной мерой (или просто вероятностью). Функция Р(А) принимает значения в замкнутом числовом интервале [0, 1]. При этом, если А - это событие, то величина Р(А) указывает на вероятность осуществления этого события, а если А - высказывание о событии, то величина Р(А) говорит о вероятности оценки данного высказывания как истинного.

Одноместная функция Р(А) считается вероятностной мерой, если она удовлетворяет следующим условиям:

• 1) 0 < Р(А), для любого А,
• 2) Р(1)=1,
• 3) Если А & В = 0, то Р(А v В) = Р(А) + Р(В).

В теории вероятности эти условия позволяют вычислять вероятность сложного события (высказывания), если известны вероятности элементарных событий (высказываний). Таким образом, задача о нахождении вероятности для произвольного события А сводится к задаче о нахождении вероятностных оценок элементарных событий (высказываний).

Существует по крайней мере два различных способа задания вероятности исходов опыта. Первый из них основан на идее симметрии и ведет к так называемому классическому (априорному) понятию вероятности. Это понятие используется в том случае, когда у нас нет никаких разумных оснований считать, что вероятность одного элементарного исхода некоторого опыта должна отличаться от вероятности других элементарных исходов. Например, при бросании монеты у нас нет никаких оснований полагать, что выпадение одной стороны монеты («орла») должно происходить чаще, чем выпадение другой стороны («решетки»): монета является симметричным объектом и потому априорно (до всякого эксперимента) можно считать, что выпадение каждой из сторон равновероятно. Так как равновероятных элементарных исходов в этом случае существует ровно 2, а в сумме вероятности не должны превышать 1, то вероятность каждого из событий («выпал орел» и «выпала решетка») должна быть равна /2. В случае бросания игральной кости, в силу ее симметричности, можно априорно считать ве- роятность каждого из исходов равной /в.

Представим теперь, что мы имеем дело с фальшивой игральной костью, в которую запаян свинец таким образом, чтобы чаще выпадало число 6. Тогда уже нельзя воспользоваться идеей симметричности и априорно задать вероятность исходов, так как симметрия нарушена, а потому для решения вопроса о вероятности некоторого исхода бросания кости необходимо произвести ее испытание. С этой целью осуществляется серия опытов а: бросается кость и записываются исходы этого бросания. Допустим, проведена 1 тысяча бросков и выяснилось, что в 350 случаях выпало число 6. Тогда можно ввести некоторую величину 5, которая называется относительной частотой исхода х - 5(х) = ^m/_n, где т - число благоприятных (положительных) исходов, а п - число всех исходов в данной серии бросков. В нашем случае 5(6) “ 20- На практике

эту величину можно принять за вероятность выпадения шестерки,

у

т. е. считать Р(6) = /го- Введенная таким образом величина называется статистической (апостериорной) вероятностью.

Использование относительной частоты исходов в качестве вероятностной меры некоторого события определяется законом больших чисел, согласно которому при неограниченном увеличении серии опытов относительная частота исходов 5 будет колебаться около некоторой величины, постепенно приближаясь к ней. Величина, к которой будет стремиться относительная частота при неограниченном увеличении серии опытов, как раз и есть вероятность наступления события. Она будет находиться где-то вблизи ⁷/2о, а потому последняя величина и может быть принята за приблизительное значение вероятности. Чтобы расхождение между относительной частотой и вероятностью не было значительным, серия опытов, в которой устанавливается относительная частота, должна быть достаточно представительной.

Рассмотрим сказанное на примере формул классической логики высказываний. С каждой формулой А, содержащей г различных пропозициональных переменных, свяжем величину Р(А), задающую вероятность истинности этой формулы. Для этого рассмотрим 2' различных наборов значений пропозициональных переменных. Множество этих наборов представляет собой полную систему несовместимых исходов некоторого опыта, состоящего в том, что на каждом из этих наборов проверяется значение А. Так как у нас нет никаких оснований предпочесть один набор значений пропозициональных переменных другому, будем считать, что все они равновероятны, и потому вероятность каждого набора априорно определяем равной ^х1{•

Будем считать далее некоторый набор значений пропозициональных переменных благоприятным (положительным) исходом, если на этом наборе формула А принимает значение «истина». Величину Р(А) можно тогда определить как относительную частоту исходов ^m/_n, где т - число наборов, на которых формула А приняла значение «истина», а п - число всех наборов.

При данных условиях, ввиду того что тождественно-истинная формула А принимает значение «истина» на всех наборах значений своих переменных, относительная частота ^m/_n = 1, т. е. Р(А) = 1. Это говорит о том, что каждая тождественно-истинная формула описывает некоторое достоверное событие и потому А = 1. С другой стоГлава VIII. Правдоподобные рассуждения

роны, для тождественно-ложной формулы А величина ^m/_n = 0, т. е. Р(А) = 0. Таким образом, любая тождественно-ложная формула описывает некоторое невозможное событие и потому А = 0. Вероятность всех остальных формул лежит в интервале [0, 1], т. е. для каждой формулы справедливо, что 0 < Р(А) < 1. Рассматривая с этой точки зрения истинностную таблицу, скажем, формулы р & (q v г):

находим, что Р(р &(qv г)) = ³/g.

В теории вероятностей два события (высказывания) А и В называются независимыми, если осуществление (истинность) или неосуществление (ложность) одного из них никак не влияет на осуществление (истинность) или неосуществление (ложность) другого. Так, при бросании кости два события - «выпало четное число» и «выпало число, делящееся на 3» - являются независимыми.

Если А и В независимые события (высказывания), то для них в теории вероятности справедлива теорема:

откуда сразу же получаем, что

где Р(А) Ф 0, так как деление на 0 - запрещенная операция.

Величина ^{Р(А & B}Vp(A) называется условной вероятностью.

Условная вероятность обозначается записью Р(В/А), которая читается: «вероятность В при условии А».

Для формул логики высказываний существует простая процедура вычисления условной вероятности по совместной истинностной таб§1. Общие сведения о правдоподобных рассуждениях лице для формул В и А. Из этой таблицы вычеркиваются все строчки, в которых формула А принимает значение «ложь», т. е. оставляют только те строчки, где А принимает значение «истина» (по крайней мере одна такая строчка должна быть, так как Р(А) Ф 0), подсчитывают их число и принимают за п. А далее на этих п строчках подсчитывают число благоприятных исходов для формулы В, получая таким образом число т. Величина ^m/_n и является условной вероятностью Р(В/А). Подсчитаем, например, чему равна Р((р & (q v r))/p v г).

В таблице вычеркиваются строчки, где формула р v г принимает значение «ложь». Оставшиеся 6 строк, на которых условие р v г выполнено, дают число п. Теперь устанавливаем, на скольких строчках из этих 6-ти оказывается истинной формула р & (q v г). В нашем случае таких строчек 3, т. е. т = 3. Отсюда получаем, что условная вероятность формулы р & (q v г) есть Р((р &(qv r))/p v г) = 7г.

Итак, если А и В независимы друг от друга, то имеет место равенство:

Если же они зависят друг от друга, то указанное равенство нарушается. При этом оно может нарушаться двояким образом: либо левая величина будет больше правой, либо наоборот. Наиболее интересным является случай, когда Р(В) < Р(В/А), как это имеет место в нашем примере. Последнее говорит о том, что вероятность В без учета информации А меньше, чем вероятность этого же высказывания при учете А, т. е. наличие сведений, фиксируемых высказыванием А, увеличивает вероятность истинности В.

Глава VIII. Правдоподобные рассуждения

Учитывая данное соотношение, теперь можно определить правдоподобное следование посредством условия:

О данном определении говорят, что отношение правдоподобного следования задано с помощью условия позитивной релевантности.

В том случае, когда Р(В) = к, где к есть некоторая величина в интервале [0, 1], отношение правдоподобного следования можно определить другим условием.

В этом случае говорят, что правдоподобное следование определено условием высокой вероятности.

Отметим, что иногда отношение правдоподобного следования определяют условием так называемой обратной дедукции:

или, учитывая связь между знаками Ь- и 1= в первопорядковой логике предикатов, условием:

Величина P(B/Ai & А„) характеризует как вероятность истинностной оценки предложения В при условии справедливости посылок Ai,..., А„, так и степень связи заключения В с данными посылками. Так, рассматривая предыдущий пример, можно сказать, что имеет место правдоподобное следование

со степенью связи посылки с заключением, равной V2. В частном случае, когда P(B/Ai &...& А„) = 1, связь между посылками и заключением является достоверной, т. е. отношение правдоподобного следования в определенном смысле обобщает понятие логического следования, но с одной оговоркой: P(B/Ai &...& А„) * 0, т. е. выражение Ai &... & А„ не должно быть тождественно-ложным.

§2. Обобщающая индукция