Расчет БИХ-фильтров по заданным параметрам АЧХ

Аппроксимации АЧХ фильтров нижних частот

Приведем основные сведения из теории линейных фильтров, необходимые при проектировании БИХ-фильтров, АЧХ которых задаются ограниченным набором параметров, и рассмотрим оптимальные аппроксимации АЧХ, обеспечивающие минимальный порядок передаточной функции фильтра при заданных требованиях к форме АЧХ (монотонный характер АЧХ или допустимость пульсаций в полосе пропускания и задерживания).

При описании АЧХ ФНЧ в качестве параметров фигурируют следующие величины (рис. 6.9):

о)_с — частота среза, определяющая полосу пропускания фильтра; <о₃ — граница области затухания;

Н_с ~ уровень АЧХ, определяющий неравномерность передачи в полосе пропускания, одной из границ которой является частота среза;

#₃ — уровень АЧХ, определяющий ослабление в области затухания.

Рис. 6.9. Параметры АЧХ

Поведение графика АЧХ в полосе пропускания и области затухания в данном случае в задании на расчет не регламентируется, кроме выполнения единственного, заранее оговариваемого условия — допускается или не допускается наличие пульсаций на этих участках АЧХ. В зависимости от того, как формулируется указанное условие, возможны четыре основных типа АЧХ (рис. 6.10).

Применительно к различным формам АЧХ, показанным на рис. 6.10, используются три типа оптимальных аппроксимаций АЧХ: Баттерворта, Чебышева, Кауэра. Принято фильтры с указанными аппроксимациями АЧХ называть соответственно фильтрами Баттерворта, Чебышева и Кауэра.

Функция, оптимально аппроксимирующая АЧХ в области нижних частот монотонно убывающей зависимостью, описывается выражением, характеризующим фильтр Баттерворта:

Рис. 6.10. Типы АЧХФНЧ:

а — монотонная; 6 — с пульсациями в полосе пропускания; в — с пульсациями в области затухания; г — с пульсациями в полосе пропускания и области затухания

Рис. 6.11. Амплитудно-частотные характеристики фильтров Баттерворта

Рис. 6.12. К расчету АЧХ

и однозначно определяется двумя параметрами: характерной частотой ©о и порядком фильтра N. Графики функции (6.55) для различных значений N показаны на рис. 6.11.

Первые (2N- 1) производные АЧХ ФНЧ Баттерворта N-ro порядка равны нулю при со = 0. По этой причине фильтры Баттерворта также называются фильтрами с максимально плоскими (гладкими) АЧХ.

Частота со₀ и порядок передаточной функции N находятся из решения системы двух уравнений. Они составляются для заданных значений со_С) оо₃, Н_с и Я, (рис. 6.12). Система этих уравнений согласно выражению (6.55) имеет вид

Решение этих уравнений относительно двух неизвестных приводит к следующим выражениям для со₀ и Я:

где Я_э и Я_с — абсолютные значения ослабления в области затухания и неравномерности коэффициента передачи в области пропускания, дБ.

Значение N, определяемое выражением (6.58), округляется до ближайшего большего целого числа. При этом рассчитываемый фильтр приобретает несколько лучшие характеристики по сравнению с заданными, а именно: большее ослабление в области затухания.

Передаточная функция H(s) фильтра Баттерворта имеет только полюсы

Из формулы (6.59) следует, что все полюсы лежат в левой s- полуплоскости (следовательно, фильтр устойчив) и эквидистантно размещаются на окружности с радиусом соо (рис. 6.13). Угловое смещение между полюсами равно n/N.

При составлении выражения для передаточной функции фильтра Баттерворта удобно в качестве аргумента использовать нормированный оператор

тогда полюсы будут определяться так:

и исходная запись для передаточной функции фильтра примет вид

Рис. 6.13. Полюсы передаточной функции Баттерворта: а — при N= 4; б — при N=5

Если в формуле (6.62) использовать тригонометрическое представление комплексной экспоненты (6.61)

то после преобразований передаточная функция (6.62) примет более удобный общий вид

где B_n(sq) — полином Баттерворта N-ro порядка.

Коэффициенты полинома Баттерворта для заданного значения N можно определить из таблиц (например, в [9]). Для значений N- 1...3 полиномы Баттерворта записываются так:

В качестве примера определим передаточную функцию фильтра Баттерворта при следующих исходных данных: Н_с = 0,707 (-3 дБ), /_с = 42,50 кГц, Я₃ = 0,25 (-12 дБ), /₃ =86,00 кГц.

Используя выражения (6.57) и (6.58), получаем щ = 267 • 10³ рад/с, N= 1,92. Округляя значение А до ближайшего целого, получаем N= 2. Так как порядок N равен двум, то из формул (6.64) выбираем полином B₂(sq) и записываем выражение для передаточной функции фильтра:

В фильтрах Чебышева (рис. 6.14) ошибки аппроксимации идеально прямоугольной АЧХ представляются равновеликими пульсациями. В зависимости от того, где минимизируются эти ошибки — в полосе пропускания или в области затухания, — различают фильтры Чебышева I и II типов.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева I типа описывается выражением

где T_N(x) — полином Чебышева А-го порядка от аргумента х= оо/со_с:

Рис. 6.14. Амплитудно-частотные характеристики фильтров Чебышева: о — I типа; б — II типа

Параметр е в соотношении (6.65) характеризует уровень пульсаций в полосе пропускания (рис. 6.14, а).

Фильтр Чебышева I типа отличается равновеликими пульсациями в полосе пропускания и монотонным ослаблением в области затухания. Порядок фильтра определяется из соотношения (6.65) при со = оо₃, тогда

откуда выражение для T_N с использованием формулы (6.66) при мет следующий вид:

и после преобразований формула для определения порядка N за пишется так:

Выражение (6.67) можно заменить более удобным, хотя и менее точным выражением:

При расчетах по выражениям (6.67) и (6.68) берутся абсолютные значения Н_с и #₃ в децибелах.

Передаточная функция фильтра Чебышева I типа имеет только полюсы (нули удалены в бесконечность). Нормированные координаты полюсов определяются формулами

где

Параметр

После расчета координат полюсов передаточная функция фильтра Чебышева I типа составляется в форме

где 5₀ = s/со_с.

Фильтр Чебышева II типа характеризуется монотонной АЧХ в полосе пропускания и равновеликими пульсациями в области затухания (рис. 6.14, б). Амплитудно-частотная характеристика (иногда фильтр этого типа называют обратным или инверсным фильтром Чебышева) описывается выражением

Порядок фильтра определяется теми же выражениями (6.67) и (6.68), которые использовались для фильтра I типа. В этом легко убедиться, если в соотношении (6.71) подставить со = со₃ и иметь в виду, что 7^(1) = 1 при любом значении N.

В отличие от фильтров I типа инверсные фильтры Чебышева характеризуются не только полюсами, но и нулями передаточной функции. Нули являются чисто мнимыми. Нормированные ординаты нулей определяются так:

где р = со₃/со_с, к = 1,2, ... N.

Нормированные координаты полюсов находятся из выражения

где

Параметры а_к и р* рассчитываются по следующим формулам:

где S = (l/tf_{J +} ,/aMVT).

Передаточная функция фильтра Чебышева II типа составляется в следующей форме:

где s₀ = s/ю_c.

Фильтр Кауэра обладает АЧХ, отличительной особенностью которой является наличие пульсаций как в полосе пропускания, так и в области затухания (рис. 6.15). Выражение для АЧХ фильтра Кауэра имеет следующий вид:

где Rm((h, L) — эллиптическая функция Якоби; L — параметр, характеризующий пульсации функции R_N{со, L).

Присутствие функции R„ в формуле (6.76) определило и другое название фильтров этого типа — эллиптические фильтры. Порядок фильтра Кауэра

где К — символ полного эллиптического интеграла 1-го рода; ? = е/^(1/#₃²)-1; h = (п_с/со₃.

Передаточная функция фильтра Кауэра содержит как полюсы, так и нули, расчет которых достаточно сложен и здесь не приводится. Необходимые сведения по этому расчету можно найти в [15].

Итак, ранее рассмотрены три основные аппроксимации АЧХ ФНЧ. С точки зрения получения более высокого «качества фильтрации» желательно АЧХ фильтров задавать в виде монотонно убывающих функций (аппроксимация Баттерворта). Однако в большом числе практических случаев наличие пульсаций в форме АЧХ считается вполне допустимым. Если это так, то целесообразнее использовать другие аппроксимации — Чебышева или Кауэра, так

Рис. 6.15. Амплитудно-частотные характеристики фильтра Кауэра

как порядок проектируемого фильтра получается намного меньше.

Для иллюстрации этого положения определим порядок N фильтров Баттерворта, Чебышева и Кауэра для одних и тех же исходных условий. Рассчитаем ФНЧ с полосой пропускания 2 кГц (т.е. частота среза равна 2 кГц) и допустимыми ошибками аппроксимации идеально прямоугольной АЧХ, определяемыми параметрами: неравномерность в полосе пропускания — 2 дБ;

ослабление в области затухания — 40 дБ; ширина переходной зоны 0,5 кГц (при этом частота задерживания равна 2,5 кГц).

Используя формулы (6.58), (6.68) и (6.77), получим для фильтра Баттерворта = 18; фильтра Чебышева N =1 фильтра Кауэра N=5.