Частотные преобразования АЧХ фильтров нижних частот

В предыдущем разделе рассматривались способы расчета передаточных функций H(s) аналоговых ФНЧ с различными вариантами оптимальных аппроксимаций АЧХ. Представляя такой фильтр как аналог-прототип и используя тот или иной метод расчета БИХ-фильтров (согласованное, стандартное, билинейное z-преобразование), получаем передаточную функцию H(z) цифрового ФНЧ.

Понятие оптимальной аппроксимации АЧХ применимо не только к ФНЧ, но и к другим типам фильтров:

фильтрам верхних частот (ФВЧ);

полосовым фильтрам (ПФ);

режекторным фильтрам (РФ).

Фильтры верхних частот с бесконечной импульсной характеристикой, полосовые и режекторные фильтры могут быть получены посредством частотных преобразований АЧХ ФНЧ.

Частотное преобразование типа «аналоговый фильтр нижних частот - аналоговый фильтр требуемого типа». Рассмотрим виды преобразований.

1. Преобразование ФНЧ в ФВЧ. На рис. 6.16 показан график частотно-преобразующей функции о =/(?2), позволяющей пересчитать АЧХ #(со) фильтра нижних частот в АЧХ #(?2) фильтра верхних частот.

К частотно-преобразующей функции предъявляется сравнительно ограниченный набор требований: помимо обеспечения необходимого вида преобразования использование этой функции должно приводить к более простым пересчетным формулам. При этом передаточная функция пересчитанного фильтра должна быть представлена дробно-рациональной функцией. Каких- либо других ограничений на выбор этой функции не накладывается.

В рассматриваемом случае в качестве функции со = /(?2) удобно использовать гиперболу

Коэффициент А определяется из выражения (6.78) при заданном со_с и требуемом Q_c значениях частот среза:

После подстановки формулы (6.79) в выражение (6.78) получим

В расчетах удобно частоты со, в масштабе которых определяется АЧХ ФНЧ, нормировать к частоте среза ю_с. С учетом этого перепишем формулу (6.80) так:

Домножив левую и правую части соотношения (6.81) на j и перейдя к операторной форме записи, составим выражение для замены операторов, которое преобразует передаточную функцию H(s_Q) ФНЧ в передаточную функцию H(s) ФВЧ с заданной частотой среза Ф_с:

где 5₀ = Дсо/Юс).

Рис. 6.16. Частотно-преобразующая функция:

ФНЧ -> ФВЧ

Рис. 6.17. Частотно-преобразующая функция:

ФНЧ ->• ПФ

Частотно-преобразующая функция (6.78) является нелинейной, поэтому если в последующем цифровой ФВЧ с полученным аналогом-прототипом рассчитывается методом билинейного z- преобразования, то масштаб частот со искажается дважды.

2. Преобразование ФНЧ в ПФ. Частотно-преобразующая функция, с помощью которой производится указанное преобразование, имеет вид

График этой функции показан на рис. 6.17.

Частоты ft определяются решением квадратного уравнения, составленного на основании преобразования (6.83):

Корни ft*_u этого уравнения связаны с его коэффициентами следующими соотношениями:

В соответствии с преобразованием (6.83) частота +со_с пересчитывается в два значения +ft_c2 и -ft_cl (см. рис. 6.17). Учитывая это и подставив со = +со_с в соотношение (6.84), получим

Из выражений (6.85) определим параметры А и ft₀:

Полученные величины введем в преобразование (6.83):

Нормируя частоту со к частоте среза со_с и умножая левую и правую части выражения (6.87) на j, получим

Введя в это соотношение символы операторов j₀ = У(со/со_с) и s = = j?l, составим выражение для замены, преобразующей передаточную функцию H(s_Q) ФНЧ в передаточную функцию H(s) ПФ с заданными частотами среза Л_с1 и П_с2:

где 5₀ = V®c-

3. Преобразование ФНЧ в РФ. Такое преобразование осуществляется с помощью частотно-преобразующей функции вида

График этой функции показан на рис. 6.18.

Анализ полностью аналогичен предыдущему случаю и поэтому не приводится. Замена, преобразующая передаточную функцию H(s₀) ФНЧ в передаточную функцию H(s) РФ с заданными частотами среза П_с1 и Q_c2, определяется выражением

Рис. 6.18. Частотно-преобразующая функция: ФНЧ -4 РФ

Рис. 6.19. Амплитудно-частотная характеристика Г1Ф

В качестве примера использования рассмотренного метода проведем расчет передаточной функции H(s) ПФ Баттерворта с заданными параметрами АЧХ (рис. 6.19): Л_с, = 390-10³ с^_|; О_з1 = 70-10³ с"¹; а_с2 =410 10³с-¹; Я_з2 = 430 • 10³ с"¹; Я_с = 0,9(-0,92 дБ); Я₃ = 0,1 (-20 дБ).

Используя эти данные, определим необходимые для последующего расчета четыре параметра фильтра Баттерворта нижних частот, который с помощью замены (6.88) будет пересчитан в ПФ. Этими параметрами являются Н'_с, Я₃, ю_с и со₃.

Величины Я_с' и Я' соответственно совпадают с заданными Я_с и Я₃. Частота среза по условию принятого нормирования должна равняться единице, а частотная граница со₃ области ослабления определяется в соответствии с частотно-преобразующей функцией (6.87). При этом следует иметь в виду, что из-за нелинейности функции (6.87) одинаковые по ширине переходные зоны ПФ (заштрихованы на рис. 6.19) пересчитываются в область частот ю в зоны различной ширины. Так, подстановка в выражение (6.87) Q = Q_3l = 370 • 10³ с'¹ дает отношение со₃|/оо_с = 3,1; подстановка ?2 = = Ю_з2 = 430 • 10³ с^-1 дает отношение со_з2/ю_с = 2,91. В расчете следует учитывать меньшую по ширине пересчитанную переходную зону (при со > 0), для обеспечения которой потребуется фильтр большего порядка. С учетом сказанного выбрано значение оо₃/со_с = 2,91.

Теперь, используя выражение (6.58), найдем порядок N и параметр <о₀ ФНЧ Баттерворта. Значения Я_с и Я₃ определены в децибелах (берутся абсолютные значения):

Так как N - 3, то из формул (6.64) выбираем выражение для полинома Баттерворта 3-го порядка B^So) и составляем запись для передаточной функции ФНЧ

где s_Q = s/ыо = s/(,21c) = 0,79Vg>_c.

Далее, используя замену (6.88), получаем выражение для пе редаточной функции H(s) ПФ Баттерворта:

которое после преобразований и подстановки числовых значений П_с) и Ф_с2 принимает вид

где fl₀ = 4,0883 10³³; a, = 8,0795 • 10²⁶; a₂ = 1,0106 10²⁰% а_г = = 1,0114 10‘⁶; o₄= 4,8033 10"; a₅ = 3,1600 1 0⁴; b = 8• 10¹².

При преобразовании ФНЧ в ПФ порядок фильтра увеличился вдвое. Такое же увеличение порядка происходит при преобразовании ФНЧ в РФ.

Частотное преобразование типа «аналоговый фильтр нижних частот — цифровой БИХ-фильтр требуемого типа». Рассматриваемый способ основан на модификации метода билинейного г-пре- образования и позволяет непосредственно пересчитать ФНЧ в БИХ-фильтр требуемого типа. Достоинство этого способа состоит в том, что его реализация не требует отыскания передаточной функции H(s) аналога-прототипа.

Рассмотрим возможности метода на примере преобразования типа «аналоговый ФНЧ — цифровой ПФ».

Вначале обратимся к частотным соотношениям при билинейном ^-преобразовании, которые описываются выражением (6.49), представленным так:

где Ф = QT — цифровая частота.

График функции (6.92) показан на рис. 6.20.

Частотно-преобразующая функция (6.92) позволяет перевести аналоговый фильтр в цифровой точно такого же типа (т. е. ФНЧ -» ЦФНЧ, ПФ -> ЦПФ и т.п.). Достаточно очевидно, как следует модифицировать график на рис. 6.20, чтобы получить возможность

Рис. 6.20. Частотно-преобразующая функция при билинейном г-преобразо- вании

Рис. 6.21. Модифицированная ча- стотно-преобразующая функция

осуществить перевод аналогового ФНЧ в цифровой ПФ. Такой модифицированный график показан на рис. 6.21. На этом же рисунке изображены АЧХ //(ю) фильтра нижних частот и пересчитанная АЧХ Я(Ф) полосового БИХ-фильтра. Математическое представление графика частотно-преобразующей функции удобнее всего составить с помощью котангенсоиды

Такой форме частотно-преобразующей функции соответствует фиксированное значение Ф₀ = п/2. Для того чтобы параметром Ф₀ можно было варьировать, выражение (6.93) следует видоизменить:

Теперь необходимо определить величины к и cosO₀, представив их как функции заданных частот среза Ф_с1 и Ф_с2 проектируемого полосового БИХ-фильтра. Для этого, используя равенство (6.94), составим систему из двух уравнений:

Решением этих уравнений определяются две неизвестные величины — cosO₀ и к:

Найдем замену s -» <р(г), позволяющую на основе передаточной функции Щз) аналогового ФНЧ непосредственно определить передаточную функцию H(z) полосового БИХ-фильтра. Для этого, умножив обе части равенства (6.94) на j и использовав формулы Эйлера

перепишем равенства (6.94) в следующем виде:

Таблица 6.1

Вид перехода от аналогового ФНЧ к заданному типу цифрового фильтра	Связь операторов аналогового s и цифрового z фильтров
ФНЧ -» ЦФВЧ
ФНЧ ЦПФ
ФНЧ -> ЦРФ

Преобразуя выражение (6.97), получим:

Введем в формулу (6.98) символы операторов s = у'со, z = exp (уФ) и получим окончательное выражение для замены s ->

где к и cosOq определяются формулами (6.96).

В табл. 6.1 приведена сводка формул, используемых для расчета рассмотренным способом БИХ-фильтров различных типов.