Прямой метод расчета БИХ-фильтра по заданной АЧХ произвольной формы
Существует класс фильтров, к расчету которых не могут быть привлечены методы, основанные на использовании оптимальных аппроксимаций АЧХ. К таким фильтрам, например, относятся:
компенсационные фильтры, форма АЧХ которых выбирается в соответствии с требованиями к коррекции частотных потерь в обрабатываемом сигнале;
фильтры с различными затуханиями в области подавления;
специальные многополосные фильтры и т.д.
В ряде случаев расчет таких фильтров может быть успешно проведен рассмотренными ранее методами согласованного или стандартного ^-преобразований. Однако существуют и другие возможности, открываемые применением так называемых прямых методов расчета. Краткое описание одного из таких методов приводится в настоящем подразделе.
Отличительной особенностью этого метода является то, что процедура отыскания параметров фильтра (порядок, коэффициенты) производится по заданным характеристикам, которые непосредственно относятся к проектируемому фильтру, и такой расчет не требует привлечения аналога-прототипа.
Наиболее распространенным критерием, на котором базируется прямой метод расчета БИХ-фильтра, является критерий минимума среднеквадратичной ошибки (СКО) в воспроизведении заданной АЧХ Я(Ф), которая задается ограниченным набором выборок для дискретного ряда частот Ф/5 / = 1, 2, ..., М.
Параметры фильтра, варьируемые в ходе расчета, считаются оптимизированными, если минимум СКО принял требуемое значение.
Среднеквадратичная ошибка в воспроизведении АЧХ определяется следующим выражением:
где Я(Ф/) — реальная АЧХ проектируемого БИХ-фильтра, определяемая на тех же частотах Ф„ что и заданная АЧХ Я(Ф/).
Структура проектируемого БИХ-фильтра, как правило, задается в последовательной (каскадной) форме, и передаточная функция фильтра записывается в виде
Порядок Я фильтра ориентировочно задается заранее на основе эвристических оценок. Частотная характеристика БИХ-фильтра определяется из выражения (6.101) при z = ехр(у’Ф):
Реальная АЧХ Я(Ф) проектируемого БИХ-фильтра определяется как модуль |Я(уФ)|, вычисляемый при заданном наборе фиксированных частот. Таким образом, ошибки при воспроизведении АЧХ, оцениваемые величиной Е [см. формулу (6.100)], являются функцией коэффициентов фильтра ак, Ьк, ск, dk и масштабного множителя А.
Определение минимума CKO Emin сводится к задаче отыскания экстремума многомерной функции Е. Для этого определяются частные производные Е по каждой из переменных ак, bk, ск, dk и А. После приравнивания этих производных нулю образуется система уравнений, число которых п = 4(Я/2) + 1:
Совместное решение этих уравнений дает значения коэффициентов фильтра и множителя А, соответствующих вычисленной минимальной ошибке ^rmtn. Если полученная таким образом ошибка превышает заданный уровень, то процедура расчета повторяется при новом увеличенном значении порядка фильтра N.
Представленный здесь метод расчета описан весьма упрощенно. Алгоритмы поиска Zfmin достаточно сложны [10] и, как правило, включают в себя дополнения, позволяющие избежать увеличения ошибок, обусловленных неудачным выбором отсчетов требуемой АЧХ в ее переходных зонах или вблизи них.
