Метод итерации
Метод итерации состоит в построении производных объектов научной теории из ее исходных объектов, когда осуществляется последовательное применение (путем повторения) некоторой элементарной операции сначала к ее исходным объектам, а затем и производным. В результате происходит порождение всего множества возможных объектов теории [ 1,10,12]. Метод итерации применяется в основном в арифметике, логике и теории множеств. Например, этим методом создаются все числа натурального ряда в качестве множества всех объектов такой теории, как арифметика натуральных чисел. Исходным идеальным объектом арифметики натуральных чисел является число 1 или 0 (это дело конвенции), а каждое другое ее число (производный объект) создается путем прибавления единицы к предшествующему ему числу. Посредством последовательного повторения (итерации) этой простейшей операции прибавления единицы к любому натуральному числу начиная с исходного создается весь ряд натуральных чисел как последовательно возрастающая их последовательность. Очевидно, что к любому сколь угодно большому натуральному числу в принципе (логически) всегда может быть прибавлена еще одна единица. Это означает, что потенциально число членов натурального ряда бесконечно (хотя реально всегда конечно), и что в принципе не может существовать самого большого натурального числа. Как по этому поводу замечает Г. Вейль, ряд натуральных чисел создается как «многообразие возможного, развертывающегося путем итерации и простирающегося в бесконечность» [1. С. 13]. Аналогично, по Вейлю, создается и такой производный объект математики, как пространство, а именно как «конструктивное задание всех возможных местоположений (places)» [1. С. 14].
Методом итерации создаются также другие производные объекты математики — любые рациональные числа (числа вида т, деленное на п, где mwn любые натуральные числа) и любые действительные числа (числа вида т, пкс,..., где т, п, к, с — любые натуральные числа; «...» означает открытый характер последовательности натуральных чисел после запятой в действительном числе). При этом, как строго доказано, количество действительных чисел не просто бесконечно, как количество натуральных или количество рациональных чисел, но еще и несчетно, т.е. бесконечное множество действительных чисел «больше» по своей мощности бесконечного множества натуральных или рациональных чисел, которые счетны и равномощны по количеству своих элементов. Методом итерации создаются также все производные объекты следующих математических и логических теорий: теория множеств (ее исходным объектом является либо пустое множество, либо множество, состоящее только из одного элемента), все алгебраические теории, теория вероятности, все формализованные теории математики и логики. Конечно, метод итерации также является редукционистским методом отношения производных объектов некоторой теории к ее исходным идеальным объектам. Поскольку, как было строго показано в математике в конце XIX в., исходные понятия всех математических теорий могут быть определены в понятиях арифметики и алгебры, а все понятия последних в конечном счете могут быть определены в понятиях арифметики натуральных чисел, постольку вся математика в принципе представляет собой глобальную конструкцию различного рода идеальных объектов и их взаимосвязей, основу которой составляет арифметика натуральных чисел.
Однако все же имеются некоторые различия между методом редукции и методом итерации. Во-первых, метод редукции при построении производных объектов опирается на работу воображения, по И. Канту, «продуктивного воображения», тогда как метод итерации — на глобальную интуицию, на способность различения и отождествления минимальных порций когнитивной информации. Во-вторых, метод редукции допускает больше свободы в конструировании производных объектов теории, чем метод итерации. В-третьих, метод редукции в отличие от метода итерации может приводить к тому, что в теорию будут введены неконструктивные объекты, например актуальная бесконечность в теории множеств, сингулярность в космологии, актуальная бесконечная прямая линия, непредикативные множества и функции (множества и функции, включающие себя в качестве своих элементов или аргументов) и т.д. Метод итерации хотя и «беднее» по своим возможностям, чем метод редукции, но зато гарантирует невозможность введения в теорию неконструктивных сущностей, использование которых часто приводит теорию к логическим противоречиям, как это было, например, с теорией множеств Кантора, понятием бесконечной вселенной в космологии, понятиями абсолютного пространства и времени в классической физике, понятием непрерывного характера энергии, понятием абсолютной истины в эпистемологии и т.п.
Сравнение методов редукции и итерации позволяет утверждать, что метод итерации более жестко обеспечивает сведение производных понятий теории к ее исходным, нежели метод редукции. Но оба метода сходны в том, что не допускают использования в производных объектах и понятиях теории такого содержания, которого нет в ее исходных объектах и понятиях. Именно благодаря этому все теории, построенные с помощью этих методов, имеют строго аналитический характер, а обоснование их истинности не требует выхода за пределы самих теорий. Они, так сказать, самодостаточны вследствие использования рассмотренных выше методов при своем построении. Понятно, что такими являются в основном математические и логические теории. Совсем другое дело конкретно-научные, естественные и социально-гуманитарные теории, которые призваны быть моделями определенных аспектов объективной действительности и которые поэтому не могут быть чисто аналитическими и замкнутыми по отношению к миру «вещей в себе» (И. Кант). Основным методом построения производных объектов и понятий в этих теориях является конструктивно-генетический метод.
