Проверка гипотезы об однородности двух дисперсий

Результаты экспериментальных исследований часто используют, например, для сравнения условий функционирования объектов, оценки сравнительной эффективности различных технологий, разных способов измерения и т.д. Во многих случаях соответствующие выводы делают на основе анализа и сравнения нескольких выборок. Одна из простых задач такого типа возникает, когда надо сравнивать точность двух измерительных приборов. В этом случае, очевидно, следует сравнить оценки дисперсий соответствующих выборок.

Пусть имеются две выборки объемом п и П2, по которым найдены выборочные дисперсии х,2 и х2. Они являются оценками для генеральных дисперсий <т2 и соответственно. Предположим, что х2 Ф s. Требуется выяснить, можно ли утверждать, что обе выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности. Если это так, то а2 = а. В этом случае выборочные дисперсии s? и х2 называются однородными, а различие между ними объясняется влиянием случайных ошибок. В противном случае генеральные дисперсии а2 и не равны друг другу. Тогда говорят, что различие между выборочными дисперсиями значимо.

Для проверки статистической гипотезы об однородности двух дисперсий используется /^критерий Фишера. Вначале вычисляется величина

Fpac4, равная отношению большей из выборочных дисперсий к меньшей. Пусть для определенности sf>sl Тогда

Далее задаются уровнем значимости q и вычисляют числа степеней свободы дисперсий числителя и знаменателя по формуле (4.5): f = щ - 1 и f2 = п2 - 1. По трем величинам q,f uf2 из таблиц распределения Фишера отыскивают величину F = FTабл (см. табл. 2 в приложении). Если ^гРасч>^табл, то выборочные дисперсии считаются неоднородными (различие между ними значимо) для выбранного уровня значимости q. Если FpacH - ^табл? то можно принять гипотезу об однородности дисперсий.

Пример. Для сравнения точности двух электровлагомеров ЭВ-2К каждым из них проведено 10 измерений влажности одного и того же участка доски. Результаты замеров влажности W, %, первым и вторым приборами следующие:

Первый прибор 35 41 47 38 41 43 42 37 49 39

Второй прибор 42 39 42 43 45 40 37 44 44 43

Вычисленные значения средних и выборочных дисперсий для

каждого прибора соответственно равны ух= 41,2; у2= 41,9; sf= 18,84; s= 6,32. Дисперсии отличаются почти втрое. Следует ли отсюда, что точность первого влагомера меньше, чем второго? Вычислим Fpac4 по формуле (4.18). В данном случае в числителе должна быть дисперсия s*. Т^расч - Sj2/s = 18,84/6,32 = 2,98. Зададимся уровнем значимости q = 0,05. Числа степеней свободы каждой из дисперсий равны f =f2 = 10 - 1 = 9. Из табл. 2 приложения для q = 0,05,f -f2 - 9 найдем FTa6jI = 3,18. Полученное соотношение FpaC4 < FTa6n не дает оснований сделать вывод о значимости расхождения в точности исследуемых влагомеров по результатам данного эксперимента. Для окончательного решения вопроса необходимо повторить эксперимент, существенно увеличив объем каждой выборки.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >