Проверка однородности нескольких дисперсий, найденных по выборкам различного объема

Экспериментаторы часто планируют получение выборок одинакового объема, однако если в опытах обнаруживаются промахи, то после их исключения объемы выборок оказываются различными. Пусть, как и в предыдущем пункте, проверяется однородность некоторого числа т дисперсий: s,..., s2m. Теперь эти дисперсии найдены по выборкам различного объема - соответственно щ, п2, ..., пт. В этом случае используют критерий Бартлетта. Предварительно вычисляют величину S2yi представляющую собой среднее взвешенное значение дисперсий, взятое с учетом числа степеней свободы:

где f=f +У2+---+fm, fm - числа степеней свободы соответствующих дисперсий: f = и, - 1. Далее рассчитывают величину В, равную отношению V/C. Здесь Уи С соответственно равны:

Затем из табл. 4 приложения при уровне значимости q и числе степеней свободы к = т - 1 отыскивают значение Хтабл • Гипотеза об однородности дисперсий принимается, если В < х?абл ? В данной проверке требуется, чтобы объем каждой выборки был не менее четырех. Поскольку величина С заведомо больше единицы, то после вычисления значения V можно уже проверить выполнение неравенства V < х^бл • Если оно окажется справедливым, то гипотезу об однородности дисперсий можно принять. Если V > Хтабл > следует вычислить С и довести проверку до конца. Применение критерия Бартлетта, как видно, является достаточно трудоемким. Кроме того, следует иметь в виду, что он весьма чувствителен к отклонениям от нормальности распределения.

Проверка однородности средних

Здесь исследуются две выборки, имеющие различные средние арифметические. Данная проверка позволяет установить, вызвано ли расхождение между средними случайными ошибками измерения или оно связано с влиянием каких-либо неслучайных факторов. Эта процедура находит широкое применение, например, в случаях, если требуется установить идентичность параметров одинаковых изделий, изготавливаемых на разном оборудовании. Проверка проводится с применением /-критерия Стьюден- та. Пусть п и «2 - объемы выборок; у, и у2 - соответствующие средние; s и s - оценки дисперсий, найденные по этим выборкам.

Предстоит рассмотреть два случая.

1. Оценки дисперсий sf и sj однородны. Вычисляется расчетное /-отношение по формуле

Из таблиц распределения Стьюдента при уровне значимости q и числе степеней свободы / = щ + л2 - 2 находят табличное значение /табл (см. табл. 1 приложения). Если /расч > /табл, то расхождение между средними значимо. В противном случае можно принять гипотезу об однородности средних. Формула (4.20) упрощается, если обе выборки имеют одинаковый объем, т.е. щ = л2 = п. В этом случае

Пример. Сравнивалась шероховатость шлифованной поверхности щитов, облицованных буковым и ясеневым шпоном. С помощью микроскопа МИС-11 на образце каждой породы получено 10 значений величины Rz, мкм. Эти данные приведены ниже.

Порода

древесины

Rz, мкм

Бук

49

32

23

44

38 40

36

30

46

37

Ясень

47

33

38

50

61 52

39

42

58

40

Поскольку в данном примере п = и2 = п = 10, то для вычисления /расч использована формула (4.21). Были получены следующие результаты расчетов средних и дисперсий по каждой выборке: у, = 37,5 мкм,

= 61,39; у2 = 46 мкм, s = 84; /расч - (46 - 37,5)/-7(61,39 + 84)/10 = 2,23.

Из табл. 1 приложения при q = 0,05 и f - 2п - 2 - 18 найдено /табл = 2,1. Полученное соотношение /расч > /табл позволило утверждать, что между величинами шероховатости поверхности шпона древесины бука и ясеня имеется значимое различие.

2. Оценки дисперсий sf и sf неоднородны. Как и в предыдущем случае, здесь можно использовать /-критерий Стьюдента, но формула для /расч имеет уже следующий вид [15]:

Далее вычисляют величину/по формуле

Найденное значение / округляют до целого и принимают за число степеней свободы. По этой величине и по уровню значимости q из таблиц распределения Стьюдента отыскивается /табл. Дальнейший ход проверки не отличается от предыдущего случая.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >