ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В основе обработки результатов активного и пассивного экспериментов с количественными факторами лежит регрессионный анализ. Он включает метод отыскания параметров математической модели (метод наименьших квадратов) и статистическую обработку данных.

Основные предпосылки применения регрессионного анализа

Задачами регрессионного анализа являются: получение математической модели процесса; проверка адекватности полученной модели; оценка влияния каждого фактора на процесс.

Предпосылки, при которых может быть использован регрессионный анализ для получения математической модели, следующие.

  • 1. Независимые переменные х, не являются случайными величинами, и задаются они с высокой точностью.
  • 2. Измеряемые выходные величины являются независимыми нормально распределенными случайными величинами, и измеряются они с меньшей точностью (требования к точности менее жесткие).
  • 3. Каждая из независимых переменных не является линейной комбинацией остальных независимых переменных.
  • 4. Интервал между значениями факторов в соседних точках не должен быть меньше или равен ошибке, с которой задается этот интервал.
  • 5. Значения отклика в точках факторного пространства должны определяться независимо друг от друга.
  • 6. В исследуемом интервале варьирования факторов дисперсии воспроизводимости с27} должны быть равны, а их выборочные оценки

j2W - однородны (у = 1, 2,..., N). Проверка оценок дисперсии на однородность проводится по критериям Фишера, Кохрена и Бартлетта.

Основные виды математических моделей, применяемых при исследованиях в деревообработке

Зависимость выходной величины (отклика) у от варьируемых факторов Хх2,..., Хк, полученная с применением регрессионного анализа, называется регрессионной моделью:

где f(Xl,X2,...,Xk) - обозначение некоторой функции от варьируемых факторов, называемой функцией отклика.

Регрессионная модель, таким образом, является частным случаем математической модели объекта. Выходных величин может быть несколько. Например, в процессе обработки детали на станке могут измеряться размеры детали, силы резания и шероховатость поверхности. Тогда зависимость вида (5.1) строится для каждого отклика. При этом если по результатам каждого опыта замеряются сразу все отклики, то по сравнению со случаем единственной выходной величины возрастают только затраты на измерение нескольких откликов и на обработку результатов эксперимента.

Построенная регрессионная модель позволяет получить информацию о самом объекте и о способах управления им. С помощью регрессионной модели легко оценить степень и характер влияния каждого из факторов на выходную величину; модель может послужить основой для оптимизации процесса. Существенно, что вид регрессионной модели должен быть задан заранее, или до проведения эксперимента следует выбрать, к какому классу относится функция f(Xl,X2,...,Xk). Например, можно искать регрессионную модель в виде многочлена (полинома) определенного порядка либо в виде экспоненты, тригонометрического многочлена и т.д. Таким образом, при планировании эксперимента для математического описания объекта по результатам опытов рассчитываются только значения констант в регрессионной модели. Если, например, имеется единственный варьируемый фактор X, а моделью является экспонента Y = В0еВ]Х{, то для построения модели в явном виде следует по результатам эксперимента вычислить значения коэффициентов В0 и Вх. Возникает вопрос: как выбирается вид регрессионной модели? Здесь исследователю должны помочь знания об объекте, которыми он располагает до постановки эксперимента, - априорная информация (от латинского a priori - до опыта). Имеются в виду всевозможные исследования данного объекта, проведенные ранее экспериментаторами и теоретиками, сведения, накопленные технологами и производственниками.

Поскольку вид регрессионной модели постулируется, задается до проведения эксперимента, остается пока открытым вопрос о достоверности такой модели. Чтобы оценить применимость построенной модели, соответствие ее исследуемому объекту, в планировании эксперимента предусмотрена специальная процедура, называемая проверкой адекватности регрессионной модели. По результатам этой проверки исследователь имеет возможность принять или отвергнуть гипотезу о том, соответствует ли построенная модель результатам эксперимента и, следовательно, пригодна ли она для описания объекта. Наибольшее применение нашли методы планирования эксперимента, в которых регрессионные модели объектов представляются в виде многочленов первого и второго порядка от варьируемых факторов. Модель в виде многочлена первого порядка сокращенно называют регрессионной моделью первого порядка, или линейной. В общем случае, при наличии к варьируемых факторов линейная регрессионная модель объекта имеет вид

где В0х2,...,Вк - коэффициенты, числовые значения которых определяются по результатам эксперимента. Их называют коэффициентами регрессии, а уравнение (5.2) или, в общем случае, (5.1) - уравнением регрессии.

Коэффициенты В0х2,...,Вк, стоящие перед обозначениями факторов Хх2,...,Хк, называют линейными коэффициентами регрессии, а коэффициент В0 - свободным членом.

Пример. Проведено экспериментальное исследование зависимости предела прочности древесины а, МПа (выходная величина), от изменения влажности Хх = W, %, и температуры X2=t ,°С. Диапазоны варьирования факторов: 6 % < W < 30 %; 408 < t < 808. Условия и результаты опытов сведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Номер опыта

W,%

t,°C

а, МПа

Номер опыта

W,%

t,° С

о, МПа

1

6

40

9,0

4

6

80

7,5

2

18

40

5,5

5

18

80

4,2

3

30

40

3,0

6

30

80

2,0

Не рассматривая пока способ обработки данных, приведем результаты - линейную регрессионную модель:

Построенная модель позволяет перейти к графическому представлению зависимости выходной величины от факторов. Подставляя в (5.3) поочередно значения влажности W, равные, например, 10, 20, 30%, получим семейство линейных зависимостей предела прочности древесины только от температуры: а = 9,0-0,0315?; а = 6,6-0,0315?; с - 4,2-0,0315?.

Графиками этих зависимостей являются, очевидно, параллельные прямые (рис. 5.1). Аналогично можно построить семейство зависимостей

Графики зависимостей о =/(t)

Рис. 5.1. Графики зависимостей о =/(t)

Таким образом, выбор регрессионной модели первого порядка для описания объекта равносилен предположению о линейной зависимости выходной величины от каждого из факторов, т.е. утверждению о том, что выходная величина изменяется пропорционально изменению варьируемого фактора. Кроме того, представление регрессионной модели в виде многочлена первого порядка предполагает отсутствие эффектов взаимодействия между факторами. Это означает, что степень и характер влияния каждого фактора на выходную величину не зависят от уровней варьирования остальных факторов. На приведенных графиках (см. рис. 5.1) отсутствие эффектов взаимодействия между факторами t и W проявляется в параллельности прямых семейства.

Из сказанного следует, что линейная регрессионная модель дает, как правило, приближенное представление о влиянии факторов на объект. Применение таких моделей оправдано в следующих основных случаях: 1) на начальных этапах исследования объекта или в других ситуациях, когда экспериментатора удовлетворяет ограниченная точность линейного приближения; 2) при жестком ограничении на количество опытов, поскольку экспериментальные планы, позволяющие получить линейную модель, являются экономными; в деревообработке это относится прежде всего к экспериментам, проводимым в производственных условиях при исследовании процессов сушки, пропитки, пиления и ряда других; 3) в ситуации, когда экспериментатор уверен в достоверности линейной модели, например, по результатам теоретических исследований.

Обратимся к рассмотрению моделей второго порядка, т.е. моделей в виде многочленов второго порядка от варьируемых факторов. Построим вначале модель второго порядка (иначе - квадратичную модель), например, для трех варьируемых факторов:

Из уравнения (5.4) ясна общая структура квадратичной модели. Эта модель, рассматриваемая для произвольного числа к факторов, содержит, во-первых, все слагаемые линейной модели: свободный член В0, линейные члены В]Х], В2Х2,..., ВкХк. Дополнительно к этому модель второго порядка включает квадратичные члены, являющиеся произведениями коэффициентов регрессии на квадраты факторов: ВххХ ,Вг1Х,...,ВккХк - и члены с парными взаимодействиями, которые представляют собой коэффициенты регрессии, умноженные на произведения двух различных факторов, т.е. члены вида

Зависимость выходной величины от каждого из факторов, полученная на основе квадратичной модели, представляется на графике отрезком параболы, имеющей ветви, направленные либо вверх (рис. 5.2, а); либо вниз (рис. 5.2, б).

К описанию зависимостей моделями 2-го порядка

Рис. 5.2. К описанию зависимостей моделями 2-го порядка: а - ветви параболы направлены вверх; б - ветви параболы направлены вниз

Такое представление позволяет достаточно полно описать широкий круг реальных зависимостей. Действительно, в случае монотонного возрастания выходной величины при росте варьируемого фактора (кривые I и II на рис. 5.3, а) зависимость у = f(X) будет представлена на графике участком ДЕ параболы на рис. 5.2, б для кривой I или участком ВГ параболы на рис. 5.2, а для кривой II. Аналогично монотонно убывающие зависимости (кривые I и II рис. 5.3, б) отобразятся при работе с квадратичной моделью участками парабол ЖЗ (см. рис. 5.2) для кривой I или АБ - для кривой II. Модель второго порядка удовлетворительно «работает» также при наличии одного максимума или минимума выходной величины в пределах диапазона варьирования факторов (рис. 5.3, в). Этому случаю соответствуют участки парабол ЕЖ и БВ на рис. 5.2.

Графики зависимостей, удовлетворительно описываемых моделями второго порядка

Рис. 5.3. Графики зависимостей, удовлетворительно описываемых моделями второго порядка:

а - монотонно возрастают выходные величины от фактора X (кривые I и II); б - монотонно убывают зависимости (кривые I и II); в - удовлетворительно «работает» модель одного максимума I или минимума II

Описание объекта квадратичной моделью даст заведомо плохие результаты, если:

  • 1) истинная зависимость отклика от некоторого фактора Xt имеет более одного экстремума (рис. 5.4, а);
  • 2) зависимость у = f{Xj) имеет точку перегиба (рис. 5.4, б);
  • 3) при некотором значении Xi значение отклика резко (скачком) изменяется (рис. 5.4, в).
Различные случаи неудовлетворительного описания зависимостей моделями второго порядка

Рис. 5.4. Различные случаи неудовлетворительного описания зависимостей моделями второго порядка:

а - истинная зависимость отклика от фактора Xi имеет более одного экстремума; б-зависимость у = Ах,) имеет точку перегиба; в - при некотором значении Xt значение отклика изменяется скачками; г - истинной зависимостью является кривая, имеющая горизонтальную асимптоту (сплошная кривая)

В первых двух случаях можно рекомендовать для описания объекта многочлены третьего или более высокого порядка. Другим выходом из положения, пригодным для всех трех случаев, является деление диапазона варьирования факторов на более мелкие поддиапазоны и изучение объекта для каждой из полученных областей отдельно. Например, зависимость, показанная на рис. 5.4, а, будет удовлетворительно описана участками двух парабол: от точки 1 до точки 2 и от точки 2 до точки 3. Однако правильное выделение областей варьирования требует наличия априорной информации о характере исследуемой зависимости. Следует особо отметить случай, когда графиком истинной зависимости является кривая, имеющая горизонтальную асимптоту (сплошная кривая на рис. 5.4, г). Если такую зависимость описать квадратичной моделью, то соответствующая парабола может иметь экстремум - в данном случае минимум в точке А - внутри диапазона варьирования фактора, который совершенно не соответствует физической картине явления (штриховая кривая на рис. 5.4, г).

В данном случае разумно уменьшить диапазон варьирования фактора, исключив его правую часть.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >