Применение метода наименьших квадратов (МНК) для многофакторных экспериментов

Применение МНК для получения линейной модели с тремя факторами

Пусть был поставлен эксперимент (табл. 5.3), в котором факторы , Х2 и Хг принимали значения XU,XX2,...,XW X2i,X22,...,X2N;

X3iЪ2,...,X3N. Введем в табл. 5.3 фиктивную переменную Х0.

Для отыскания в уравнении регрессии у = В0хХх2Х2 + В3Х3 коэффициентов В0, Вх, В2 и В3 составим систему нормальных уравнений. Первое уравнение получим умножением величин из первого столбца Х0 сначала на самих себя, а затем на все остальные по очереди. Второе уравнение получим умножением величин из второго столбца на все величины из остальных столбцов по очереди, начиная со столбца Х0, в том числе и на самих себя.

Табл ица5.3

Номер

опыта

Значения факторов

*0

*1

*2

*3

Л

1

*01

*11

*2.

*31

У2

2

*02

*12

*22

*32

Уз

N

*0 N

*1N

x2N

*3 W

У*

Во всех уравнениях расположим коэффициенты Bi в одинаковом порядке, как показано в системе (5.24):

Решая совместно систему (5.24), получим значения В0, Вх, В2 и В3.

Случай линейной регрессионной модели с k варьируемыми факторами

Регрессионная модель здесь имеет вид (5.2). Значения факторов, принимаемые в каждом опыте, можно свести в табл. 5.4.

Таблицы, составленные по типу табл. 5.4, в которых записаны условия опытов, называют матрицами планов. Прежде чем проводить вычисления, запишем регрессионную модель (5.2) в более симметричном виде, введя фиктивный фактор Х0 (как и в табл. 5.3):

В связи с этим дополним матрицу плана в табл. 5.4, введя в нее столбец значений фиктивного фактора Х0 (табл. 5.5)

Т а б л и ц а 5.4

Номер

Значения

факторов

опыта

*1

*2

**

1

*21

**.

2

*12

*22

**2

3

*13

*23

**3

N

*1»

*2 N

**ЛГ

Т а б л и ц а 5.5

Номер

опыта

Значения факторов

*0

*1

*2

**

1

*0.

*1.

*2.

2

*02

*12

*22

**2

3

*03

*13

*23

**3

N

*0 N

*1*

*2*

Теперь каждому слагаемому модели (5.25) соответствует определенный столбец этой матрицы: слагаемому В0Х0 - столбец Х0; слагаемому В1Х[ - столбец Хх и т.д. Такая матрица называется матрицей базисных функций. В табл. 5.5, таким образом, построена матрица базисных функций модели (5.25) для плана в табл. 5.4. Для отыскания коэффициентов регрессии В0, 2?,, ..., Вк модели (5.25) необходимо проделать выкладки, аналогичные тем, которые были проведены выше для получения коэффициентов В0 и В{ линейной модели с единственным фактором. Опуская их, приведем промежуточный результат - систему нормальных уравнений (5.26). Она построена по тому же принципу, что и система нормальных уравнении (5.24) для линейной модели с тремя факторами. Ее легко написать, имея матрицу базисных функций (см. табл. 5.5):

Отметим, что число уравнений этой системы равно числу коэффициентов регрессии, подлежащих определению, т.е., в данном случае к + . Ясно также, что в случае применения метода наименьших квадратов число опытов N должно быть не меньше числа р оцениваемых коэффициентов регрессии: N>p. План, для которогор = N, называется насыщенным планом. Насыщенные планы не позволяют проверить адекватность математической модели. План, для которого p, называется ненасыщенным.

Расчет коэффициентов регрессии и интерпретация результатов эксперимента существенно упрощаются, если преобразовать все факторы в безразмерные параметры, варьируемые в одинаковых диапазонах. Это можно сделать, введя нормализованные обозначения факторов следующим образом.

Пусть в эксперименте варьируются к факторов и X - любой из них, i = 1,2,..., к. Его диапазон варьирования X/min <Xt Imax. Величина XImax называется верхним уровнем фактора Х(., а величина X,min - его нижним уровнем. Середину диапазона варьирования фактора Х( назовем его основным уровнем и обозначим Xj0): Х/0) =(X(min+X(max)/2. Разность A, = X/max - X;(0) = X0) - Ximm называется интервалом варьирования фактора Хг Сопоставим теперь произвольному фактору X,. его нормализованное обозначение xj по следующей формуле:

Значения X будем теперь называть натуральными значениями фактора. Таким образом, строчные буквы х. присваивают нормализованным значениям факторов, а прописные буквы Х( - натуральным значениям факторов.

Введение нормализованных обозначений факторов по формуле (5.27) удобно по ряду причин. Можно заметить, что независимо от диапазона варьирования любого фактора его нижнему уровню соответствует (-1) в нормализованных обозначениях, верхнему уровню - (+1), основному - нуль. Математическая модель объекта, записанная в нормализованных обозначениях факторов, позволяет облегчить интерпретацию результатов, поскольку диапазоны варьирования всех факторов оказываются одинаковыми и равными (-1) - (+1), а все коэффициенты регрессии имеют одинаковую размерность. Это дает возможность, например, сравнивать степень влияния факторов непосредственно по абсолютным величинам коэффициентов регрессии линейной модели.

Пример. Покажем, как были обработаны результаты эксперимента в п. 5.2 (в нем исследовалось влияние влажности W = и температуры

t = Х2 древесины на предел прочности с=у, МПа).

Построим матрицу базисных функций линейной модели, дополнив матрицу в табл. 5.1 столбцом Х0 (см. столбцы 2-4 табл. 5.6).

Согласно экспериментальному плану фактор Х{ варьируется на верхнем, нижнем и основном уровнях, а фактор Х2 - только на верхнем и нижнем уровнях.

Перейдем к нормализованным факторам. Распишем вначале формулы (5.27) для каждого из варьируемых факторов: имеем Х min = 6 %; Хх max = 30 %; X= (6 + 30)/2 = 18 %; Л, =18-6 = 12 %. В этом случае формула (5.27) для первого фактора имеет вид хj = {Хх -18)/12. Аналогичным образом формула, связывающая нормализованные и натуральные обозначения для второго фактора, запишется в виде х2 = (Х2 -60)/20.

Перепишем матрицу базисных функций в нормализованных обозначениях факторов; она приведена в столбцах 2-4 табл. 5.7.

Табл и ца 5.6

Номер

опыта

x,=w,

%

X2=t,

°с

У = °>

МПа

1

2

3

4

5

1

1

6

40

9

2

1

18

40

5,5

3

1

30

40

3

4

1

6

80

7,5

5

1

18

80

4,2

6

1

30

80

2

Табл ица5.7

Номер

опыта

*0

*1

*2

У

У

1

2

3

4

5

6

1

+1

-1

-1

9

8,7

2

+1

0

-1

5,5

5,83

3

+1

+1

-1

3

2,95

4

+1

-1

+1

7,5

7,44

5

+1

0

+1

4,2

4,57

6

+1

+1

+1

2

1,69

Для составления системы нормальных уравнений необходимо вычислить суммы произведений элементов каждой пары столбцов (см. систему (5.26)):

Теперь система нормальных уравнений (5.26), записанная для нормализованных факторов, сводится к виду: 660=31,2; 46, =-11,5;

662 = -3,8, откуда Ь0 = 5,2; 6, =-2,875; Ь2 = -0,63. Таким образом, получена следующая линейная модель для нормализованных факторов:

у = 5,2 - 2,875х, - 0,63х2.

Для иллюстрации точности, с которой построенная модель предсказывает результаты эксперимента, в последнем столбце табл. 5.7 приведены значения отклика у, рассчитанные по уравнению регрессии для каждого опыта. При переходе к натуральным факторам следует воспользоваться полученными выше формулами, связывающими нормализованные и натуральные обозначения факторов. Подставив в найденное уравнение регрессии значения х, = (X, -18)/12 и х2 = (Х2 -60)/20, получим

у = 5,2 - 2,875(Х, -18)/12-0,63(Х2 — 60) / 20. После преобразований будем иметь математическую модель в натуральных обозначениях факторов: у = а = 11,4 - 0,24Х, - 0,0315Х,.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >