Особенности полных факторных планов 2k
- 1. Каждый фактор в полных факторных планах варьируется лишь на двух уровнях, которые нормируются: (- 1) - нижний и (+ 1) - верхний уровень. В ПФП 2к реализуются все возможные сочетания уровней факторов.
- 2. Общее число различных опытов в ПФП N = 2к, где к - число факторов; 2 - число уровней их варьирования.
3. По результатам ПФП 2к, в частности, можно получить линейное уравнение регрессии
Случай двух варьируемых факторов (k = 2) в нормализованных обозначениях
ПФП для двух факторов легко построить перебором всех сочетаний их верхних и нижних уровней. Например, в табл. 6.1 и 6.2 приведены два возможных варианта, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы - значениям факторов в эксперименте. Эти таблицы будем называть матрицами планирования эксперимента. Из таблиц видно, что два значения факторов (- 1) и (+ 1) принимаются во всевозможных сочетаниях, т.е. все их комбинации различны.
Таблица 6.1
|
Номер опыта |
Х |
Х2 |
|
1 |
-1 |
-1 |
|
2 |
+ 1 |
-1 |
|
3 |
- 1 |
+ 1 |
|
4 |
+ 1 |
+ 1 |
Таблица 6.2
|
Номер опыта |
Х |
Х2 |
|
1 |
-1 |
+ 1 |
|
2 |
-1 |
-1 |
|
3 |
+ 1 |
+ 1 |
|
4 |
+ 1 |
-1 |
Пример. Пусть исследуется влияние подачи на резец и2 и скорости резания V на шероховатость обрабатываемой поверхности при точении древесины: Х = и2: 0,4<и2< 1,2 мм; Х2 = У: 10
Составим теперь ПФП в натуральных обозначениях факторов (табл. 6.3), реализуя, например, матрицу планирования из табл. 6.1. По результатам эксперимента можно получить модель в виде
Таблица 6.3
|
Номер опыта |
и2 |
V |
|
1 |
0,4 |
10 |
|
2 |
1,2 |
10 |
|
3 |
0,4 |
20 |
|
4 |
1,2 |
20 |
Матрицы планов в табл. 6.1-6.3 указывают только условия проведения опытов. Последовательность постановки опытов, запланированных соответствующей матрицей, не должна соответствовать нумерации опытов. Этот вопрос требует специального рассмотрения (см. пп. 6.9 и 6.10).
Геометрическая интерпретация полного факторного плана
Наглядное представление об условиях постановки опытов можно получить, пользуясь геометрическими понятиями. В п. 3.1 было введено понятие факторной плоскости - координатной плоскости, по оси абсцисс которой отложены значения хи а по оси ординат - значения х2. Построим на этой плоскости точки, координаты которых соответствуют координатным значениям факторов в опытах 1, 2, 3 и 4 ПФП 22 (см. табл. 6.1).
Точки этого плана (рис. 6.2) образуют вершины квадрата, центр которого совпадает с началом координат. Внутренность квадрата является областью варьирования нормализованных факторов.
Рис. 6.2. Геометрическое изображение ПФП для к = 2 в нормализованных обозначениях факторов
Рис. 6.3. Геометрическое изображение ПФП для к = 2 в натуральных обозначениях факторов
Точки этого же плана для натуральных значений факторов (см. табл. 6.3) представляют собой прямоугольник (рис. 6.3). В этих координатах область варьирования факторов представляет собой внутренность прямоугольника.
Для геометрического изображения ПФП 23 потребуется уже факторное пространство с тремя координатами x,,jc2,jc3. В этих координатах опытам ПФП 23 соответствуют вершины куба, а в натуральных обозначениях факторов - вершины параллелепипеда. Геометрические представления оказываются полезными и при рассмотрении экспериментов с числом факторов к, большим трех, хотя в этом случае и нет возможности изобразить точки факторного пространства на чертеже. Так, опыты ПФП 24 образуют вершины куба в четырехмерном пространстве факторов. Такую фигуру обычно называют гиперкубом.
